专题06 三角函数的图像及其性质（题型专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题06 三角函数的图像及其性质 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 求三角函数的定义域、值域（最值） 题型02 三角函数的单调性 题型03 三角函数的周期性 题型04 三角函数的奇偶性 题型05 三角函数的对称性 题型06 三角函数的零点问题 题型07 三角函数图像变换 题型08 由图像确定函数解析式 题型09 由三角函数值相等或相反求参数 题型10 由三角函数最值求参数 【解答题破译】 题型01 三角函数的性质综合 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 求三角函数的定义域、值域（最值） 【例1-1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）函数的定义域是 . 【例1-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 1、 求三角函数值域常见的方式有： （1） 化简合并三角函数为，然后根据定义域来确定此三角函数值的范围 （2） 题目虽然是三角函数求值域，但是题目里的三角函数可以全部换元，变成了初等基本的复合函数求最值，可以按函数单调性等来求值域。 2、求三角函数定义域：通常是复合函数求定义域，按平常的函数求定义域方式一致。 【变式1-1】（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型02 三角函数的单调性 【例2-1】（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 1、对于， 2、对于， 3、若已知单调区间，则。 【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）已知，则 ．若在上单调递减，则 ． 【变式2-2】（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 . 题型03 三角函数的周期性 【例3-1】（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高三上·北京·开学考试）函数的最小正周期 ，函数的长度为的一个单调递减区间为 ．（只需写出一个） 对与，其最小正周期：．对 其最小正周期： 【变式3-1】（25-26高三上·北京海淀·期中）已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 题型04 三角函数的奇偶性 【例4-1】（2024·北京·三模）已知函数，是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 . 【例4-2】（25-26高三上·北京海淀·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B． C．是奇函数 D． 根据奇偶性的定义有，关于y轴对称的为偶函数，关于原点对称的为奇函数，对于正弦函数、正切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数。注意奇函数与偶函数的定义域必须关于y轴对称。 【变式4-1】（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（    ） A．为偶函数且最小正周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 【变式4-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（    ）． A．是偶函数 B． C． D． 题型05 三角函数的对称性 【例5-1】（25-26高三上·北京·月考）已知且函数的图象恰有三条对称轴在上，则其在上共有 个极大值点． 【例5-2】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 【变式5-1】（25-26高三上·北京房山·开学考试）若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（25-26高三上·北京西城·月考）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 题型06 三角函数的零点问题 【例6-1】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【例6-2】（2025·北京海淀·三模）已知函数，且函数在，内恰有2025个零点，则满足条件的有序数对（    ） A．有且仅有1对 B．有且仅有2对 C．有且仅有3对 D．有无数对 讨论三角函数或在区间内零点的个数问题： 1、 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 2、 根据零点个数判断的范围，的范围 3、 根据上述两点可以计算出的取值范围 【变式6-1】（25-26高三上·北京西城·月考）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·北京·期中）已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型07 三角函数图像变换 【例7-1】（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（25-26高三上·北京·月考）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 三角函数的变换与函数的变换方法一致 1、 左右移动：变量左加右减，如左移k个单位， 2、 上下移动：函数值y上加下减，如上移k个单位， 3、 横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则变，横坐标缩小倍，则变 注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量的变换 【变式7-1】（2025·北京昌平·二模）已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为 ． 【变式7-2】（25-26高三上·北京·月考）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为 . 题型08 由图像确定函数解析式 【例8-1】（25-26高三上·北京·月考）如图为函数的部分图象，则函数解析式为 ，若，则的最大值为 . 【例8-2】（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 根据三角函数图像写解析式有以下： 1、 从图像上判断函数的周期，根据周期求值 2、 从图像的最值计算出值 3、 从图像的对称轴或者对称点计算值 【变式8-1】（25-26高三上·北京·月考）若函数的部分图象如图所示，可得 ；将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ． 【变式8-2】（25-26高三上·北京·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 题型09 由三角函数值相等或相反求参数 【例9-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【例9-2】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）已知函数（），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1、 当同一个周期内的两个变量对应的三角函数值相等时，则为函数的对称轴，即对应的函数值为最大值或最小值。 2、 当同一个周期内的两个变量对应的三角函数值互为相反数时，则可能为函数的对称点，或者 【变式9-1】（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 【变式9-2】（2025·北京·三模）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型10 由三角函数最值求参数 【例10-1】2025·北京·二模）设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为 ． 【例10-2】（2025·北京平谷·一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 1、对于正弦函数，当函数取得最大值,当 2、对于，当 函数取得最大值,当 【变式10-1】（25-26高三上·北京·月考）已知函数 ，若存在 使得 ，则 的最大值为 ， 的一个取值为 . 【变式10-2】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 题型01 三角函数的性质综合 【例1-1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)求的最小正周期，并求的图象的对称轴方程； (2)若函数在区间上无最小值，求实数的取值范围. 【例1-2】（25-26高三上·北京西城·期中）已知，是函数（，）的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求m的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 函数的综合性质，可以利用前面的方法，大题综合跟小题的方法一致。 【变式1-1】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数. (1)求的值； (2)将的图象向左平移后得到的函数图象关于轴对称，求的最小值和此时在上的取值范围. 【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:； 条件②:； 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 1．（2024·北京海淀·二模）已知函数. （i）若，则函数的最小正周期为 . （ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 . 2．（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是 . 3．（2025·北京丰台·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 4．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，则“”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高三上·北京·专题练习）若在区间上是增函数，则的最大值是 . 6．（25-26高三上·北京·开学考试）设函数在上有零点且有唯一极大值点，同时存在，使得且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，现给出下列四个命题， ①函数的最小正周期为 ②函数的最大值为 ③函数在上单调递增 ④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 8．（25-26高三上·北京·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 9．（2025·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 10．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的一部分图像如图所示. 其中 点是图像与轴的交点，点横坐标，且. (1)求的解析式： (2)将的图像向左平移个单位得到的图像，令函数 ，求的单调递减区间，和在上的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数的图像及其性质 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 求三角函数的定义域、值域（最值） 题型02 三角函数的单调性 题型03 三角函数的周期性 题型04 三角函数的奇偶性 题型05 三角函数的对称性 题型06 三角函数的零点问题 题型07 三角函数图像变换 题型08 由图像确定函数解析式 题型09 由三角函数值相等或相反求参数 题型10 由三角函数最值求参数 【解答题破译】 题型01 三角函数的性质综合 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 求三角函数的定义域、值域（最值） 【例1-1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】定义域是两个函数定义域的交集. 【详解】因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 【例1-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【分析】首先将拆分为两个函数，通过它们的最小正周期得到的最小正周期，由倍角公式将进行变形，通过二次函数的性质求得最值. 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 1、 求三角函数值域常见的方式有： （1） 化简合并三角函数为，然后根据定义域来确定此三角函数值的范围 （2） 题目虽然是三角函数求值域，但是题目里的三角函数可以全部换元，变成了初等基本的复合函数求最值，可以按函数单调性等来求值域。 2、求三角函数定义域：通常是复合函数求定义域，按平常的函数求定义域方式一致。 【变式1-1】（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由，解出即可求解. 【详解】由，得到，， 即， 所以函数的定义域为，， 故选：A． 题型02 三角函数的单调性 【例2-1】（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为. 故选：D. 【例2-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得到进而求出关于的方程，再由计算分析取得的值得出函数解析式，再由正弦函数单调性列不等式计算即可求解. 【详解】若对恒成立，则， 所以， 又，所以，即， 则，由周期性可取， 所以函数， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C 1、对于， 2、对于， 3、若已知单调区间，则。 【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）已知，则 ．若在上单调递减，则 ． 【答案】 1 【分析】由，求得，即可求解第一空，再由在上单调递减，得到，再结合，即可求解第二空. 【详解】由，可得， 所以，即， 所以， 由， 可得或，， 即或，， 又在上单调递减， 所以，， 可得：， 解得：， 又或，， 所以当时，满足题意， 故答案为：1； 【变式2-2】（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 . 【答案】（答案不唯一，可取内任意实数） 【分析】利用辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算可得范围，即可得解. 【详解】， 当时，， 则有， 解得且，， 当时，无解； 当时，无解； 故，即有. 故答案为：（答案不唯一，可取内任意实数） 题型03 三角函数的周期性 【例3-1】（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的周期性求解即可． 【详解】，则函数的最小正周期为. 故选：C 【例3-2】（25-26高三上·北京·开学考试）函数的最小正周期 ，函数的长度为的一个单调递减区间为 ．（只需写出一个） 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】先利用二倍角公式化简，进而结合余弦函数的周期公式、余弦函数的单调性求解即可. 【详解】由，则； 令，，则，， 则函数的长度为的一个单调递减区间为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 对与，其最小正周期：．对 其最小正周期： 【变式3-1】（25-26高三上·北京海淀·期中）已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得. 【详解】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数. 所以，即.所以充分性成立. 反过来，当，即， 根据正切函数的性质可得，存在，使得，即. 所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 【答案】 2 /0.6 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值；进而得到，再由二倍角公式计算即得. 【详解】依题意，函数，其中锐角由确定， 且函数的最小值为，最大值为， 由，得函数的图象关于对称， 又两个不等的实数满足且， 则函数在处同取最大值或同取最小值，且函数的最小正周期， ，又，则，解得， 于是，则，即， 所以 故答案为：2； 题型04 三角函数的奇偶性 【例4-1】（2024·北京·三模）已知函数，是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性分析可知，即可得结果；结合对称性可知圆面在y轴右侧仅覆盖1个图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解. 【详解】因为是偶函数，则， 且，所以； 可得，设的最小正周期为， 因为和均关于y轴对称， 可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点， 对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）； 可得，解得， 且，则，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：；. 【例4-2】（25-26高三上·北京海淀·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，结合导数确定正确答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数，则是奇函数，A选项错误. ，B选项正确. 为偶函数，C选项错误. ，D选项错误. 故选：B 根据奇偶性的定义有，关于y轴对称的为偶函数，关于原点对称的为奇函数，对于正弦函数、正切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数。注意奇函数与偶函数的定义域必须关于y轴对称。 【变式4-1】（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（    ） A．为偶函数且最小正周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 【答案】C 【分析】由二倍角公式得，再根据余弦函数性质判断即可； 【详解】解：因为， 所以，函数为偶函数且最小正周期为，在上单调递减. 所以，ABD选项错误，C选项正确. 故选：C 【变式4-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（    ）． A．是偶函数 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数，结合可推导得到，知C正确，并可确定且，根据可确定A正确；由知B正确；求导后，根据导数值可求得D错误. 【详解】对于C，（其中，）， ，即， 整理可得：，解得：，C正确； 对于A，， ， ，是偶函数，A正确； 对于B，， 在处取得最大值，， 即，，B正确； 对于D，， ，D错误. 故选：D. 题型05 三角函数的对称性 【例5-1】（25-26高三上·北京·月考）已知且函数的图象恰有三条对称轴在上，则其在上共有 个极大值点． 【答案】2 【分析】利用函数图像的伸缩关系，即可得出判断. 【详解】先作出函数的图象，如图．    由图可知函数图象在轴右侧靠近的四条对称轴分别是： 由于，，则把函数的图象横坐标缩短为原来的倍， 即可得函数的图象， 为了满足函数的图象恰有三条对称轴在上， 则只需要将函数图象对称轴压缩倍到区间内， 且将函数图象对称轴压缩倍不能到区间内， 因此其在上共有2个极大值点． 故答案为：2 【例5-2】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式，再结合三角函数的对称性和周期性来进行各选项判断即可. 【详解】由函数， 可知，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，所以的对称中心是， 而的对称中心是，故C错误； 由，所以的对称轴是， 而的对称轴是，故D正确； 故选：C 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 【变式5-1】（25-26高三上·北京房山·开学考试）若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称性可得，再将代入求解即可. 【详解】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数， 将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3， 因此，的最小值为3，所以B正确. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高三上·北京西城·月考）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 【答案】 1(满足且为正数即可） 4 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又且要求的最小值，故，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一，满足且为正数即可）；. 题型06 三角函数的零点问题 【例6-1】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 【例6-2】（2025·北京海淀·三模）已知函数，且函数在，内恰有2025个零点，则满足条件的有序数对（    ） A．有且仅有1对 B．有且仅有2对 C．有且仅有3对 D．有无数对 【答案】C 【分析】由的零点个数等价于方程实根的个数．先研究方程在内实根的个数．分类讨论进行求解. 【详解】的零点个数等价于方程实根的个数． 先研究方程在内实根的个数． 当时，方程在内实根的个数为1； 当时，方程在内实根的个数为2； 当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2． 因为是周期为的函数，所以当时，在，，，，内方程实根的个数均为2． 因为在内恰有2025个零点，且2025为奇数，所以不合题意． 当时，；当时，．所以满足条件的有序实数对只有3对． 在上的图像： 故选：C. 讨论三角函数或在区间内零点的个数问题： 1、 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 2、 根据零点个数判断的范围，的范围 3、 根据上述两点可以计算出的取值范围 【变式6-1】（25-26高三上·北京西城·月考）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高三上·北京·期中）已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简得，由及进行求解． 【详解】 ， 若恒成立，则函数的一个周期为， 则，得 由，得， 而在内至少有3个零点， 则， 得，由， 得的最小值是， 故选：B 题型07 三角函数图像变换 【例7-1】（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出，再利用正弦函数性质求解. 【详解】函数，则， 由为奇函数，，得，解得， 所以的最小值为. 故选：A 【例7-2】（25-26高三上·北京·月考）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先得到函数平移后的解析式，再由其图象关于直线对称，列出等式，进而可求出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象， 因为平移后的函数图象关于直线对称，所以， 则，又，所以的最小值是2. 故选：B. 三角函数的变换与函数的变换方法一致 1、 左右移动：变量左加右减，如左移k个单位， 2、 上下移动：函数值y上加下减，如上移k个单位， 3、 横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则变，横坐标缩小倍，则变 注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量的变换 【变式7-1】（2025·北京昌平·二模）已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值. 【详解】将函数的图象向右平移得到的图象， 又的图象关于原点对称，所以， 即，，当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式7-2】（25-26高三上·北京·月考）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为 . 【答案】 【分析】根据函数图象的平移过程写出解析式即可. 【详解】由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故答案为： 题型08 由图像确定函数解析式 【例8-1】（25-26高三上·北京·月考）如图为函数的部分图象，则函数解析式为 ，若，则的最大值为 . 【答案】 6 【分析】由函数的部分图像，先求得，，得到，再由，得到，结合，求得，即可得到函数的解析式；再结合二次函数的性质，求的最大值. 【详解】由题意，根据函数的部分图像，可得， 由，得，则，即， 又由，即， 解得，，即，， 又因为，所以，所以. ， 由，所以时，有最大值6. 故答案为：. ；6 【例8-2】（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 根据三角函数图像写解析式有以下： 1、 从图像上判断函数的周期，根据周期求值 2、 从图像的最值计算出值 3、 从图像的对称轴或者对称点计算值 【变式8-1】（25-26高三上·北京·月考）若函数的部分图象如图所示，可得 ；将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】第一空：利用函数的图象即可求解；第二空：先将函数的图象变换得到的解析式，再利用函数的零点与图象的关系即可求解. 【详解】第一空：由图可知，周期，则， 则， 将点代入中得，，即， ，， ，当时，，故； 第二空：将的图象向右平移个单位长度得到， 再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到， ，， 在上恰有3个零点，，解得， 则的取值范围为. 故答案为：；. 【变式8-2】（25-26高三上·北京·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题图得到，令并结合求参数，即可得. 【详解】由题图知，且，则， 不妨令，则，且， 则，可得， 此时，. 经验证，其他取值组合所得最简函数式均为上式. 故选：A 题型09 由三角函数值相等或相反求参数 【例9-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 【例9-2】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）已知函数（），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，由正弦函数的图像的性质及已知条件得到函数对称轴，即可求得的最小值. 【详解】， ∵，要求的最小值，则函数周期，即. ∴函数关于对称，，即， ∴的最小值为， 故选：B. 1、 当同一个周期内的两个变量对应的三角函数值相等时，则为函数的对称轴，即对应的函数值为最大值或最小值。 2、 当同一个周期内的两个变量对应的三角函数值互为相反数时，则可能为函数的对称点，或者 【变式9-1】（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解. 【详解】因为，则该函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的对称轴方程为， 因为，则或， 故选：B. 【变式9-2】（2025·北京·三模）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和角公式化简函数，结合设，确定，再由确定的值，利用确定的值，求出函数解析式，代值计算即可. 【详解】由，设， 由可得，由可得或，， 由题意，可知，故得， 又，所以，，即，， 故，即或， 又因为，故，故. 故选：A. 题型10 由三角函数最值求参数 【例10-1】2025·北京·二模）设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质求出的范围，即可得解. 【详解】因为，则， 令，所以， 因为在区间上存在最大值， 所以， 则， 又，即，所以或， 所以符合题意的一个值为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 【例10-2】（2025·北京平谷·一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ， 点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值. 1、对于正弦函数，当函数取得最大值,当 2、对于，当 函数取得最大值,当 【变式10-1】（25-26高三上·北京·月考）已知函数 ，若存在 使得 ，则 的最大值为 ， 的一个取值为 . 【答案】 2； 4（答案不唯一）. 【分析】对函数利用辅助角公式变形，分和两种情况由正余弦函数的性质可得. 【详解】 又，， 所以，即的最大值为2； 又， 或， ①当时，即， 则， 所以， ，而，，所以， 代入得，所以， 又，所以， 当时，可取； ②时， 同理， 则， ，而，，所以， 代入得，所以， 又，所以， 当时，可取； 综上的一个取值为：4（答案不唯一） 故答案为：2；4（答案不唯一）. 【变式10-2】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 0（答案不唯一） 【分析】先判断是上的单调递减函数，结合分界点的函数值的大小关系可得a的取值范围；根据函数的单调性，分别求解每一段上的值域，即可分类讨论求解. 【详解】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 题型01 三角函数的性质综合 【例1-1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)求的最小正周期，并求的图象的对称轴方程； (2)若函数在区间上无最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）利用辅助角公式把合并成正弦型函数，然后利用正弦函数周期与对称轴的求法可得答案； （2）以为整体，根据题意结合正弦函数的有界性和对称性分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）因为， ， 所以函数的最小正周期； 令，解得：， 所以函数的对称轴方程为 ，. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在区间上无最小值， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【例1-2】（25-26高三上·北京西城·期中）已知，是函数（，）的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求m的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案详见解析； (2) 【分析】（1）可选择条件①与条件②，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件②，由极值点定义计算可得；或条件①与条件③，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③计算可得；不能选择条件②与条件③，结合极值点定义计算可得，但使用条件③时会导致多解； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. 【详解】（1） ； 若：选择条件①：与条件②：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为极值点，可得， 则，则，又，则， 故； 若：选择条件①：与条件③：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件②与条件③，理由如下： 若：选择条件②：与条件③：： 由为极值点，可得， 则，则，又，则， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； （2）当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 函数的综合性质，可以利用前面的方法，大题综合跟小题的方法一致。 【变式1-1】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数. (1)求的值； (2)将的图象向左平移后得到的函数图象关于轴对称，求的最小值和此时在上的取值范围. 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）方法1：先利用和角、差角、倍角的余弦公式和二倍角公式化简函数解析式，即可求得函数值；方法2：直接将代入函数解析式中求解即可. （2）先求出平移后的函数解析式，然后根据图象关于轴对称列出等式，求出的最小值，然后根据的范围求出函数值的范围即可. 【详解】（1）方法1： 所以. 方法2：. （2）平移后的解析式为， 因为平移后图象关于轴对称，则， 解得，因为，所以的最小值为2. 此时，因为，所以. 【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:； 条件②:； 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】（1） ， 由，则，可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，则当时，即， 由函数在上单调递增，则，解得. 由函数在上至少存在个零点，则，解得. 选择条件①： 由，解得，即， 令，化简可得，即或，不符合题意. 选择条件②： 由，且，则直线为函数图像上的一条对称轴， 令，化简可得，则，化简可得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 选择条件③： 由，且，则点为函数图像上的一个对称中心， 令，化简可得，则，化简可得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 1．（2024·北京海淀·二模）已知函数. （i）若，则函数的最小正周期为 . （ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】当时，,所以最小正周期为， ， 当时，，且二次函数开口向下， 要使得在区间上的最小值为，则需要， 且当时取最小值，故，解得， 故答案为：， 2．（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据得到方程，结合余弦函数性质及诱导公式得到方程，求出答案. 【详解】因为，即， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 3．（2025·北京丰台·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又且要求的最小值，故，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一）； 4．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，则“”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例、判断即可. 【详解】若，此时满足，但不存在，使得，充分性不成立； 若时，此时为偶数，满足，但无意义，必要性不成立； 故“”是“存在，使得”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．（2025高三上·北京·专题练习）若在区间上是增函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论. 【详解】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 6．（25-26高三上·北京·开学考试）设函数在上有零点且有唯一极大值点，同时存在，使得且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先将函数化为标准正弦函数形式，然后根据题目条件确定的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为在上有零点且有唯一极大值点， 所以且，解得． 因为存在，使得且， 所以，，即，，解得，， 结合，取，可得符合题意． 故选：C． 7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，现给出下列四个命题， ①函数的最小正周期为 ②函数的最大值为 ③函数在上单调递增 ④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，结合三角函数的最小正周期的公式，以及三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，逐个判断，即可求解. 【详解】由函数 ， 对于①，由函数的最小正周期为，所以①不正确； 对于②，当时，即，函数取得最大值，所以②正确； 对于③，由，可得，令，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在不是单调递增函数，所以③不正确； 对于④，将函数的图象向左平移个单位长度， 得到，所以④正确. 故选：B. 8．（25-26高三上·北京·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 9．（2025·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 【答案】 2 【分析】先根据|MN|与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则. 且，则，则，同理， 因此.解得. 因为函数的图象过点，可得， 所以，，则，. 由于，则，那么. 将代入可得：. 故答案为：2； . 10．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的一部分图像如图所示. 其中 点是图像与轴的交点，点横坐标，且. (1)求的解析式： (2)将的图像向左平移个单位得到的图像，令函数 ，求的单调递减区间，和在上的值域. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由，得到，求得，再由，求得，得到，即可求得函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，得到，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的一部分图像， 因为，可得点的纵坐标为，即， 根据正弦函数图象的五点法，可得， 又因为，所以，所以 又由点横坐标，可得，即， 可得，解得， 又因为，可得，所以， 所以函数 （2）解：由（1）知：， 将的图像向左平移个单位得到， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为； 当时，可得， 当时，即时，，所以； 当时，即时，，所以， 所以的最大值为，最小值为，所以函数的值域为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $