重难点突破02 解三角形中的最值与取值范围（寒假预习讲义，必备知识+8大题型精讲+过关）高一数学沪教版

重难点突破02 解三角形中的最值与取值范围 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 （制作说明：学课本，重在教材知识的预习和剖析，基础知识尽量全梳理，里面内容干货多多益善，可以包括易错辨析、概念比较、重点记忆等内容） 知识点1 ：基础知识梳理 1.1核心定理与公式 1正弦定理：（为△外接圆半径），变形为、、，可实现边与角的互化. 2余弦定理：、，常用于已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角，是利用代数方法求最值的核心工具. 3面积公式：，结合正、余弦定理可转化为关于单一变量的函数求最值. 4三角恒等变换公式：和差角公式、二倍角公式、辅助角公式（，其中），是化简三角函数式、求最值的关键手段. 1.2约束条件 1角的约束：△中，，故、、，且. 2边的约束：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即、. 3三角函数值约束：由得，可正（锐角）、可负（钝角）、可零（直角）. 知识点2：易错辨析 2.1忽略角的取值范围导致最值偏差 易错点：将角的范围简单等同于，未结合题目条件缩小范围.例如，已知，则，若进一步已知，则，故、. 辨析：求与角相关的三角函数最值时，需先根据已知条件（如边的大小关系、角的已知值）确定目标角的准确范围，再结合三角函数单调性求最值.例如，在上单调递增，最大值小于，而非. 2.2误用均值不等式的前提条件 易错点：使用均值不等式求最值时，未验证“一正、二定、三相等”是否成立.例如，在△中，由余弦定理，若直接得出，未考虑是否符合题目约束. 辨析：均值不等式的“相等”条件是最值取得的关键，需确保等号成立时对应的边或角满足三角形的存在条件.若等号成立时无法构成三角形，则需改用其他方法（如函数单调性）求最值. 2.3边化角或角化边时的转化错误 易错点：正弦定理边化角时遗漏外接圆半径，或角化边时计算失误.例如，误将写成，导致后续计算偏差. 辨析：边化角或角化边是解三角形最值问题的核心转化手段，转化时需严格遵循正弦定理的完整形式，可先将等式两边同时转化为边或角，再进行化简计算. 2.4忽略三角形存在性条件 易错点：求出最值后未验证对应的三边是否满足“两边之和大于第三边”的条件.例如，求出、、，未发现，无法构成三角形. 辨析：所有最值结果必须以三角形存在为前提，求解完成后需代入边的约束条件验证，确保结果有效. 知识点3：常见思路方法 3.1函数法（转化为三角函数或二次函数求最值） 1三角函数法：利用正、余弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换将表达式化为或的形式，再根据角的取值范围求最值. 示例：在△中，已知，求的最大值.解析：由得，则，结合，当时，最大值为. 2二次函数法：利用余弦定理将角转化为边，得到关于某一边的二次函数，结合二次函数的定义域（边的约束条件）求最值. 示例：在△中，已知、，求的最大值.解析：由余弦定理得，结合均值不等式，得，即，当且仅当时取等号. 3.2均值不等式法 适用场景：表达式中存在边的乘积或平方和形式，且满足均值不等式的“一正、二定、三相等”条件.核心是利用、、等公式转化求解. 注意：使用时需明确等号成立的条件，且该条件需符合三角形的存在性. 3.3几何法（利用外接圆或图形直观分析） 1外接圆法：对于已知一边及对角的问题，可利用正弦定理将边与外接圆半径关联，结合圆周角的性质分析角的范围，进而求最值.例如，已知、，则点在以为弦、圆周角为的外接圆上，通过圆的性质可直观判断或的最值. 2图形法：通过构造三角形，结合已知条件画出图形，利用图形的直观性分析边或角的取值范围.例如，已知两边之和为定值，分析第三边的取值范围时，可结合三角形三边关系直观判断. 知识点4：常考结论 4.1角相关的最值结论 1在△中，，当且仅当（正三角形）时取等号. 2，当且仅当时取等号. 3若为定值，且，则，当且仅当时，取得最大值. 4.2边相关的最值结论 1已知及（定值），则，当且仅当时，取得最小值. 2已知及（定值），则，由得，当且仅当时，取得最小值. 3若为定值，则当△为正三角形时，取得最大值（由推导）. 4.3面积相关的最值结论 1已知及（定值），则面积，由正弦定理得，结合化简得，当且仅当时，取得最大值. 2已知（周长定值），则由海伦公式，结合均值不等式可知，当时，取得最大值（正三角形面积最大）. 4.4常见比值与乘积的结论 1在△中，，故（定值，与外接圆半径相关）. 2若，则，结合 【题型1 求三角形周长的最值或取值范围】 例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）结合，，在中利用正弦定理得到 ，再根据为锐角三角形，求得B的范围，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）在中由正弦定理得，又， 所以，， 所以， ， ， 因为为锐角三角形， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 例2．在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求的最大值，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由， 得 . 由正弦定理，可得. 由余弦定理，， 又角为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，得 ， 即 . 又，所以， 所以 （当且仅当时取等号）. 所以当为正三角形时，周长取得最大值，为9. 变式1．在中，A，B，C所对应的边为a，b，c，点D是的中点，且，． (1)求的值； (2)求a及周长的取值范围． 【答案】(1) (2)，周长的取值范围为 【分析】（1）根据平面向量线性运算可得，两边平方求解即可； （2）利用余弦定理可得：，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围. 【详解】（1）因为在中，点是的中点， 所以， 可得， 则， 即， 解得：； （2）由，可得：， 由余弦定理可得：，故， 由于，解得：， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为 即， 所以， 则周长的取值范围为. 变式2．设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 【题型2 求三角形面积的最值或取值范围】 例1．在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）由即可求解. （3）余弦定理可得，所以，令，则，即，即，所以，解得，即可得解. 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2），， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 例2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 变式1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题设及正弦定理可得，即，根据，可得角A； （2）由正弦定理可得，从而，由为锐角三角形，得，即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为B为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 而因为为锐角三角形， 故，解得， 从而，所以， 故的取值范围是. 变式2．记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围； （2）根据二倍角公式和辅助角公式先得，由正弦定理表示，再由三角形面积公式列式，根据三角函数恒等变换即可得到面积的范围. 【详解】（1）因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是； （2）因为， 根据二倍角公式得， 也就是， 所以，则， 由于锐角三角形，所以，则， 则，得， 由正弦定理， 得， ， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 则，所以. 【题型3 求四边形面积最值或取值范围】 例1．如图，平面四边形中，，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的范围； (3)当为何值时，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助正弦定理可得，再借助四点共圆性质可得，从而可得，最后再用正弦定理即可得解； （2）法一：由，则可先借助面积公式计算出，再利用同弧所对的圆周角相等，结合面积公式，用表示出，再利用范围得到范围即可得解；法二：由，则可结合三角形面积公式用表示出从而得解； （3）法一：借助面积公式计算可得，则，解出即可得；法二：借助相交弦定理与三角形面积公式计算可得，则，即可得，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，有， 即，又，故， 又因为，所以四点共圆， 则， 由于，所以根据正弦定理， 有，即； （2）解法一：， 因为，所以， 因同弧所对的圆周角相等，， ， 由于，所以， 故； 解法二：， 因为是直径，所以， 又因为，所以， ， 由于，所以， 则； （3）法一：， ， ， ， 因为，所以， 又因为，所以， 从而，即时，； 法二：， 因为， 所以；根据相交弦定理，， 两式相除，得，即， 在中，，即，此时. 例2．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上运动，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的取值范围； (3)求四边形的面积的最大值； (4)求证：的长为定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）设，表达出，得到答案； （2）表达出，结合求出最值，得到答案； （3）利用和差化积公式得到； （4）由余弦定理得到，利用三角恒等变换和和差化积公式得到答案. 【详解】（1）设，则， 其中，同理可得． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最大值为． （2） ， 因为，所以，， 故的取值范围是； （3） ， 当且仅当，即时，等号成立，所求最大值为． （4）由余弦定理得 ， 所以，即的长为定值． 变式1．如图，在四边形中，，，，. (1)当、、、四点共圆时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件得出，可求出的值，然后在利用余弦定理可求得的长； （2）设，其中，由余弦定理得出，利用正弦定理求出，结合两角和的正弦公式可得出，再利用三角形的面积公式结合辅助角公式、三角函数的有界性可求得四边形面积的最大值； （3）设，则，设，利用正弦定理得出、，结合余弦定理得出可得出关于的三角函数，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）当、、、四点共圆时，，， 所以， 由余弦定理得， 故. （2）设，其中， 由余弦定理得， 故， 因为，则为钝角，且， 在中，由正弦定理得， 故， 因为为钝角，则为锐角， 故， 所以 ， 故， 故. 其中为锐角，且， 因为，则，故当时， 四边形的面积取最大值. （3）因为为钝角，则为锐角，故， 设， ， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 在中，由正弦定理得，代入数据化简得， 在中，，即， 代入数据并化简得， 结合可得， 所以，则， 由可得， 由、和可得 ，其中为锐角，且， 因为，则，故当时，取最大值， 且的最大值为. 变式2．如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【详解】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 【题型4 求边长的最值或取值范围】 例1．在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可根据共圆的性质求解，由余弦定理即可求解， （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解， （3）根据正余弦定理，结合辅助角公式可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得, 结合，，故， 由于为的内角，所以， 因此， 由于A，B，C，D四点共圆，故, 因此在中， （2）由（1）知，，，， 设，，则， 则四边形的面积为， 又， 因此， 故，结合， 可得，结合为锐角， 故，因此， 故, 因此,且,, 故‘ （3）由（2）可知， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 结合，故， 由于，所以， 故， 因此 例2．已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出的关系，进而可得到与的表达式，最后利用基本不等式的性质求出范围进而求出的范围. 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. （2）如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以的周长为. （3）令三角形内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上，的取值范围为. 变式1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果； （2）首先根据正弦定理表示，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1） 由正弦定理得： ， ，， （2）， 由正弦定理得， ， ， 所以的取值范围为 变式2．已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，求的面积； (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理将已知等式变形可得； （2）由向量的线性运算两边平方后结合正弦定理得到方程①，再由余弦定理和角度关系得到方程②，解方程求出，然后再由三角形的面积公式可得； （3）设，在中，由正弦定理得，再由中，由正弦定理得，利用二倍角的正弦公式，降幂公式，辅助角公式最后结合正弦函数的值域可得. 【详解】（1）由题意得 根据正弦定理可得：， 根据余弦定理可得：，即； （2）由知， 两边同时平方得， 即，化简得.① 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 而， ， ，即，② 由①②得，由于，得，代入②得. 的面积为. （3）如图， 设，则， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得： ， 是锐角三角形， ， ，当时，可得的最大值是. 【题型5 求边长比值类的最值或取值范围】 例1．在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先对等式左边通分，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理、诱导公式，可对等式进行化简，又为锐角三角形，化简可得，进而可求得角； （2）由正弦定理，可得，代入整式，结合三角恒等变换化简可得，又为锐角三角形，可得，结合三角函数定区间求值域即可求得其取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以且， 所以由，得，即，所以. （2）由（1）可得， 由正弦定理，得， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，即. 例2．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，，进而化简可得，结合的范围，可得，设，进而利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，则， 则， 根据正弦定理得，， 因为，所以，则， 又，所以. （2）由正弦定理得，， 则，， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 设，， 则， 所以时，． 变式1．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）结合是锐角三角形可得，进而根据正弦定理、两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系化简可得，进而根据正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得， 则， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. （2）因为是锐角三角形，且由（1）知， 所以，即，解得， 由正弦定理得： ， 因为，所以， 又，则， 所以，则， 所以的范围为. 变式2．已知分别为内角的对边，且． (1)求． (2)若，求． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理和化简式子，再通过平方、辅助角公式或半角公式求出或等，结合角范围确定. （2）由正弦定理将边化为角，用二倍角公式和两角差余弦公式化简，代入算出结果. （3）根据的范围确定范围，进而得到范围，结合正弦函数性质求出式子范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 在中，， 所以，由，得， 两边平方得，得或 （舍）， 此处也可利用辅助角公式转化为，或利用半角公式得到，进而求出 在中，，所以． （2）由正弦定理得，则由二倍角公式可得 . （3）由（2）知， 由，，得， 则， 所以， 从而， 所以的取值范围为． 【题型6 求角的最值或范围】 例1．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 例2．在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦定理化简得，再由正弦定理化边为角，得到，最后根据基本不等式求最值的可求得结果. 【详解】由余弦定理，即， 由正弦定理知，， 即，即， 在中，且、同号，故， 所以.当且仅当时，等号成立 故. ∵， ∴，时.取得最小值. 故选：B. 变式1．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求出边角关系，判断各角的范围，再根据正弦定理转边为角，再依据基本不等式，求出最值即可，也可直接根据余弦定理求出的表达式，直接根据基本不等式，求出余弦值的范围，判断角的范围，进而求出正切值的最大值. 【详解】法一：由余弦定理得，所以， 即，又，代入可得：， 化简得，解得， 故， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以最大值为； 法二：由余弦定理得， 所以，则，所以最大值为． 故选：C. 变式2．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题设，根据正弦定理及同角三角函数的基本关系可得，进而根据两角差的正切公式及基本不等式求解即可. 【详解】由，显然，则均为锐角， 根据正弦定理得， 两边同时除以，得， 则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值， 即取得最大值. 故选：A. 【题型7 与外接圆与内接圆半径有关的最值或范围】 例1．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦定理化简，可得，利用辅助角公式结合三角函数值即可求解； （2）（ⅰ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，利用余弦定理可得，由正弦定理化简可得即可求解；（ⅱ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，从而得到即可求解. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而，故， 易知，故， 即，由可知 （2）（ⅰ）记的面积为，则，即，， 而，即，故， 于是，解得， 而，故，同理， 故，得到 （ⅱ） ， 而，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 例2．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得进而可求； （2）由三角形的面积，利用正弦䆙理求得，可求的面积S的取值范围； （3）利用正余弦定理求得，利用基本不等式可求得，利用三角形面积可求得，再结合的关系可求得的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， ， ， ， 又， ．· （2）由，得． 由正弦定理得， 则． 又为锐角三角形， 得， 则，即， ，于是， 即的面积S的取值范围为．· （3）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r． 由（1）如，． 由余弦定理得，即， ， ．· ， （当且仅当时，等号成立）．· ， · （当且仅当时，等号成立）． 显然此时为等边三角形，满足题意， 故内切圆半径的最大值为．· 变式1．已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，． (1)求角B； (2)求的内切圆半径r的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理题干中的等式，根据余弦定理，可得答案； （2）由题意明确内角的取值范围，利用正弦定理以及三角函数的恒等式，可得三角形的周长范围，根据三角形的面积计算，整理内切圆半径的函数解析式，可得答案. 【详解】（1）因为，则， 可得，由余弦定理可得， 因为为锐角，故， （2）因为为锐角三角形，则，解得， 因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值． 变式2．在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的周长； (2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长， （2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增， ，即的取值范围是. 【题型8 解三角形实际应用中的最值或取值范围】 例1．A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理即可； （2）在中利用余弦定理，再利用辅助角公式和二倍角公式化简，结合三角函数的最值求解. 【详解】（1）在中利用正弦定理可得，， 因，，，则， 则，； （2）因，，则， 在中利用余弦定理可得， ， 因，则， 则当，即时，有最大值，有最大值千米， 故当搅拌站P与小区S的距离最远时. 例2．（25-26高三上·上海·月考）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 【答案】(1)8m (2) 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即 ； （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．    (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形（是钝角），那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度． 【答案】(1)米 (2)平方米，米 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，进而求得，再利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解． 【详解】（1）由，解得， 由是钝角，得， 由余弦定理得， 所以需要修建米的隔离防护栏． （2）由题意，， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 则 ， 由，则，当， 即时，取得最大值平方米， 此时米． 变式2．为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示．    (1)若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ (2)B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 【答案】(1)千米 (2)时，. 【分析】（1）根据题意得到,，，利用两角差的余弦得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据面积公式得到，，从而得到，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示：    因为,，则. 又因为为等腰直角三角形，为直角，所以, 所以，. . , 所以千米. （2）， ，所以. . 所以. 当时，即，时，. 一、底层逻辑：边角转化+约束边界 1.核心转化工具 正弦定理：实现边与角的线性转化，适配边的比例、三角函数和差类问题 余弦定理：关联边的平方关系与角的余弦值，适配边的乘积/和差平方类代数最值问题 三角恒等变换：化简复杂三角函数式为单变量形式（如辅助角公式），为函数求最值奠基 2.核心约束边界 内角和约束：，限定单一角的取值范围（如则） 存在性约束：两边之和>第三边、等，用于验证结果有效性 二、方法选择逻辑：按条件特征匹配 优先选·函数法（适配80%基础题型）：已知一角或含边的比例/三角函数表达式时使用；解题链：边角转化→构造单变量函数（三角/二次）→结合范围求最值 辅助选·均值不等式法：含边的平方和/乘积且可凑定值（如、）时使用；关键：验证“一正二定三相等”及三角形存在性 直观选·几何法：已知一边及对角（如），求、或面积最值时使用；核心：利用外接圆性质定位极值位置（如等腰时取最值） 三、场景化速配表：题型-方法-步骤对应 核心题型 最优方法 关键步骤 已知一角，求两角三角函数和/积最值（如） 三角函数法 内角和消元→辅助角化简→结合角范围求最值 已知一边及对角，求另一边/两边和/面积最值 几何法/三角函数法 外接圆定位极值点，或正弦定理转化为三角最值 已知边的和/积定值，求第三边/面积最值 均值不等式法 余弦定理构建关系→凑均值形式→验证等号条件 一、填空题 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，则 ； （2）的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）根据三角恒等变换直接化简可得解； （2）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角函数与对勾函数性质可得解. 【详解】（1）由二倍角公式得， 而，得到， 可得，得到， 又，所以，所以， 又，所以； （2）由（1）知，， 在中，或， 即或，即或， 若，则，则无意义，所以， 故， 又，所以，所以， 所以 ， 令，则， 设，，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 故答案为：，. 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知等式结合余弦定理从而得角的大小，再根据正弦定理边化角，将三角形周长转换为正弦型函数，根据三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 故答案为：． 3．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，则 ，若为锐角三角形.，则的最大值为 . 【答案】 /0.5 【分析】根据正弦定理边角互化和余弦定理，解三角形，求出角的余弦值；根据角的余弦值，求出角，根据三角形形状，求出三个角范围，进而根据正弦定理，以及正弦函数最值，求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以， 又， 所以，即，所以， 又，所以； 若为锐角三角形，有，解得. 由正弦定理得.则，， 所以， 其中，又，所以当时，取到最大值1，所以的最大值为. 故答案为：，. 4．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 【答案】 . 【分析】作出辅助线，表示出，利用正弦定理表达出，从而得到，构造，，利用辅助角公式求出，从而求出的取值范围. 【详解】①连接，则，， 由勾股定理得：， 因为，所以， 在中，，故 在中，， 由正弦定理得：， 即， 故， ②故 ， 令，， 则， 当时，，故， 所以. 故答案为：①；②. 5．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则 ， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 6．已知非直角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，其角的对边分别为a、b、c，已知，且内角A、B、C满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】易知，根据三角恒等变换的化简计算可得.易证当时不符合题意；当时，利用三角恒等变换和正弦定理的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题意知，，. 由， 得， 得 ； 由， 得 ， 所以， 即， 当时，，即， 得，此时，不符合题意； 当时，即，此时， 由正弦定理得， 所以， 所以 ， 又，所以，所以， 则， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 二、解答题 7．（24-25高一下·上海·期中）如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. (1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； (2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 【答案】(1)m (2)，当时， 【分析】（1）先设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，得出，，由余弦定理可得答案. （2）先得出，，由正弦定理可以把表示为的函数，由三角函数的性质得出最值. 【详解】（1）在，，由，得， 设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，则，， 由余弦定理，得，解得， 所以乙出发后的第末甲乙之间的距离为. （2）由（1）知，，， 在中，，则， ，，则， 由，即，得， 因此，，所以当时，y取最小值. 8．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围. 【详解】（1）由可得， 化简得， 则由正弦定理得 ， 又由余弦定理， 因，所以； （2）如图， 因内心为，则和分别平分和， 则，则， 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为. 9．在中，角所对的边分别是，且.    (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 10．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 11．已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可解； （2）在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【详解】（1） 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 12．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理， ， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理， . 又 . 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 13．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，再利用三角形的面积公式进行求解即可. （2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，再结合角的范围进行计算即可. 【详解】（1）根据题意，以及正弦定理可得， 因为 ，因为，所以， 所以，又，所以， 由余弦定理可得，可得， 即，因为，所以， 所以. （2）由正弦定理可得，因为，所以， 因为角为钝角，所以，可得，则，，即， 所以的取值范围为. 14．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，利用辅助角公式得，结合角的范围即可求解. （2）利用正弦定理得，然后利用三角恒等变换得 ，结合，利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 15．已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形内角的取值范围，即可求得答案； （2）利用正弦定理得出，代入得，再利用余弦定理和基本不等式，即可求得答案； 【详解】（1） 因为，所以不为； 所以， 所以， 又因为，所以，故， 所以； （2）由（1）得：，所以， 所以，所以； 由余弦定理：； 根据基本不等式得：，代入得：，仅当时，等号成立， 解得：，所以的最大值为. 16．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对化简利用和差公式得到，再由三角形三角关系化简得到，结合同角的平方公式求出. （2）先利用锐角三角函数得到，再由正弦定理化简得到，利用余弦定理和基本不等式求出，从而得到，进而求出的最大值为. 【详解】（1）因为， 所以； 即 即 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以. （2）因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 . 17．在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理、和角的正弦公式以及诱导公式，即可得解； （2）运用余弦定理，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 交叉相乘后可整理得， 即，，， 又因为在中，，因此可得，即. （2）由余弦定理可得，，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 因此，故， 即的面积的最大值为. 18．在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小； （2）运用正弦定理和二倍角的余弦公式化简，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】（1）在中，由及余弦定理得， 由正弦定理得， 则， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. （2）由（1）知，，则， 因为A不为直角，所以， 则，得， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 19．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，又，进而得，即可求，由为锐角三角形，即可求解； （2）设得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即，利用三角恒等变换即可得最大值，进而求解. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以， 故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得， 所以的取值范围为. （2）因为， 所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 20．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． (1)若，求c的值； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)72 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【详解】（1）由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . （2）因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破02 解三角形中的最值与取值范围 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 （制作说明：学课本，重在教材知识的预习和剖析，基础知识尽量全梳理，里面内容干货多多益善，可以包括易错辨析、概念比较、重点记忆等内容） 知识点1 ：基础知识梳理 1.1核心定理与公式 1正弦定理：（为△外接圆半径），变形为、、，可实现边与角的互化. 2余弦定理：、，常用于已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角，是利用代数方法求最值的核心工具. 3面积公式：，结合正、余弦定理可转化为关于单一变量的函数求最值. 4三角恒等变换公式：和差角公式、二倍角公式、辅助角公式（，其中），是化简三角函数式、求最值的关键手段. 1.2约束条件 1角的约束：△中，，故、、，且. 2边的约束：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即、. 3三角函数值约束：由得，可正（锐角）、可负（钝角）、可零（直角）. 知识点2：易错辨析 2.1忽略角的取值范围导致最值偏差 易错点：将角的范围简单等同于，未结合题目条件缩小范围.例如，已知，则，若进一步已知，则，故、. 辨析：求与角相关的三角函数最值时，需先根据已知条件（如边的大小关系、角的已知值）确定目标角的准确范围，再结合三角函数单调性求最值.例如，在上单调递增，最大值小于，而非. 2.2误用均值不等式的前提条件 易错点：使用均值不等式求最值时，未验证“一正、二定、三相等”是否成立.例如，在△中，由余弦定理，若直接得出，未考虑是否符合题目约束. 辨析：均值不等式的“相等”条件是最值取得的关键，需确保等号成立时对应的边或角满足三角形的存在条件.若等号成立时无法构成三角形，则需改用其他方法（如函数单调性）求最值. 2.3边化角或角化边时的转化错误 易错点：正弦定理边化角时遗漏外接圆半径，或角化边时计算失误.例如，误将写成，导致后续计算偏差. 辨析：边化角或角化边是解三角形最值问题的核心转化手段，转化时需严格遵循正弦定理的完整形式，可先将等式两边同时转化为边或角，再进行化简计算. 2.4忽略三角形存在性条件 易错点：求出最值后未验证对应的三边是否满足“两边之和大于第三边”的条件.例如，求出、、，未发现，无法构成三角形. 辨析：所有最值结果必须以三角形存在为前提，求解完成后需代入边的约束条件验证，确保结果有效. 知识点3：常见思路方法 3.1函数法（转化为三角函数或二次函数求最值） 1三角函数法：利用正、余弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换将表达式化为或的形式，再根据角的取值范围求最值. 示例：在△中，已知，求的最大值.解析：由得，则，结合，当时，最大值为. 2二次函数法：利用余弦定理将角转化为边，得到关于某一边的二次函数，结合二次函数的定义域（边的约束条件）求最值. 示例：在△中，已知、，求的最大值.解析：由余弦定理得，结合均值不等式，得，即，当且仅当时取等号. 3.2均值不等式法 适用场景：表达式中存在边的乘积或平方和形式，且满足均值不等式的“一正、二定、三相等”条件.核心是利用、、等公式转化求解. 注意：使用时需明确等号成立的条件，且该条件需符合三角形的存在性. 3.3几何法（利用外接圆或图形直观分析） 1外接圆法：对于已知一边及对角的问题，可利用正弦定理将边与外接圆半径关联，结合圆周角的性质分析角的范围，进而求最值.例如，已知、，则点在以为弦、圆周角为的外接圆上，通过圆的性质可直观判断或的最值. 2图形法：通过构造三角形，结合已知条件画出图形，利用图形的直观性分析边或角的取值范围.例如，已知两边之和为定值，分析第三边的取值范围时，可结合三角形三边关系直观判断. 知识点4：常考结论 4.1角相关的最值结论 1在△中，，当且仅当（正三角形）时取等号. 2，当且仅当时取等号. 3若为定值，且，则，当且仅当时，取得最大值. 4.2边相关的最值结论 1已知及（定值），则，当且仅当时，取得最小值. 2已知及（定值），则，由得，当且仅当时，取得最小值. 3若为定值，则当△为正三角形时，取得最大值（由推导）. 4.3面积相关的最值结论 1已知及（定值），则面积，由正弦定理得，结合化简得，当且仅当时，取得最大值. 2已知（周长定值），则由海伦公式，结合均值不等式可知，当时，取得最大值（正三角形面积最大）. 4.4常见比值与乘积的结论 1在△中，，故（定值，与外接圆半径相关）. 2若，则，结合 【题型1 求三角形周长的最值或取值范围】 例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 例2．在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 变式1．在中，A，B，C所对应的边为a，b，c，点D是的中点，且，． (1)求的值； (2)求a及周长的取值范围． 变式2．设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【题型2 求三角形面积的最值或取值范围】 例1．在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 例2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 变式1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 变式2．记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 【题型3 求四边形面积最值或取值范围】 例1．如图，平面四边形中，，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的范围； (3)当为何值时，. 例2．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上运动，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的取值范围； (3)求四边形的面积的最大值； (4)求证：的长为定值． 变式1．如图，在四边形中，，，，. (1)当、、、四点共圆时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求的最大值． 变式2．如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【题型4 求边长的最值或取值范围】 例1．在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 例2．已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 变式1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 变式2．已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，求的面积； (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 【题型5 求边长比值类的最值或取值范围】 例1．在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)求的取值范围. 例2．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 变式1．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 变式2．已知分别为内角的对边，且． (1)求． (2)若，求． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【题型6 求角的最值或范围】 例1．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 变式1．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 与外接圆与内接圆半径有关的最值或范围】 例1．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 例2．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 变式1．已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，． (1)求角B； (2)求的内切圆半径r的最大值． 变式2．在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的周长； (2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围. 【题型8 解三角形实际应用中的最值或取值范围】 例1．A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 例2．（25-26高三上·上海·月考）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．    (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形（是钝角），那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度． 变式2．为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示．    (1)若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ (2)B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 一、底层逻辑：边角转化+约束边界 1.核心转化工具 正弦定理：实现边与角的线性转化，适配边的比例、三角函数和差类问题 余弦定理：关联边的平方关系与角的余弦值，适配边的乘积/和差平方类代数最值问题 三角恒等变换：化简复杂三角函数式为单变量形式（如辅助角公式），为函数求最值奠基 2.核心约束边界 内角和约束：，限定单一角的取值范围（如则） 存在性约束：两边之和>第三边、等，用于验证结果有效性 二、方法选择逻辑：按条件特征匹配 优先选·函数法（适配80%基础题型）：已知一角或含边的比例/三角函数表达式时使用；解题链：边角转化→构造单变量函数（三角/二次）→结合范围求最值 辅助选·均值不等式法：含边的平方和/乘积且可凑定值（如、）时使用；关键：验证“一正二定三相等”及三角形存在性 直观选·几何法：已知一边及对角（如），求、或面积最值时使用；核心：利用外接圆性质定位极值位置（如等腰时取最值） 三、场景化速配表：题型-方法-步骤对应 核心题型 最优方法 关键步骤 已知一角，求两角三角函数和/积最值（如） 三角函数法 内角和消元→辅助角化简→结合角范围求最值 已知一边及对角，求另一边/两边和/面积最值 几何法/三角函数法 外接圆定位极值点，或正弦定理转化为三角最值 已知边的和/积定值，求第三边/面积最值 均值不等式法 余弦定理构建关系→凑均值形式→验证等号条件 一、填空题 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，则 ； （2）的取值范围是 . 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ． 3．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，则 ，若为锐角三角形.，则的最大值为 . 4．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 5．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 6．已知非直角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，其角的对边分别为a、b、c，已知，且内角A、B、C满足，则的最大值为 . 二、解答题 7．（24-25高一下·上海·期中）如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. (1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； (2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 8．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 9．在中，角所对的边分别是，且.    (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 10．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 11．已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 12．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 13．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 14．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 15．已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 16．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 17．在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 18．在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 19．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 20．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． (1)若，求c的值； (2)求面积的最小值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $