精品解析：福建省龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共60分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（） A. 185 B. 180 C. 119 D. 120 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. （1，2） D. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第四象限角，则是第二或第四象限角 B. 经过30分钟，钟表的分针转过弧度 C. 若角终边上一点P的坐标为（其中），则 D. 终边在直线上的角的集合是 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若，则___________． 13. 已知 ，则 _____. 14. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算. （2）化简. 16. 计算： （1）已知为第二象限角，，求 （2） （i）求的值 （ii）求的值 17. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. （1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本. 18. 已知函数． （1）若，求a的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围． 19. 已知指数函数 （1）若函数在上具有奇偶性，求的值； （2）若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若，求函数在上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共60分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合的交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：B 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】因为均为上的增函数，故为上的增函数， 而，， 故的零点所在的区间为， 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得 ， ， ， 所以， 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，，所以，故排除D. 故选：C 6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（） A. 185 B. 180 C. 119 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案． 【详解】设外弧长为，外弧半径为，内弧长为，内弧半径为，该扇面所在扇形的圆心角为, ∵扇形的弧长为， ∴，， ∵扇形的面积为， ∴该扇面画的面积为， 故选：C． 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的定义域，再利用函数的单调性可求得的解集． 【详解】函数，所以定义域为，解得， 因为是单调递增函数，是单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 由不等式得，解得， 故选：C． 8. 若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. （1，2） D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性特点列不等式，考虑复合函数单调性，对数函数单调性解不等式即可列不等式求得实数的取值范围. 【详解】解：若在上单调递增， 则解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第四象限角，则是第二或第四象限角 B. 经过30分钟，钟表的分针转过弧度 C. 若角终边上一点P的坐标为（其中），则 D. 终边在直线上的角的集合是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据是第四象限角，得到，分为奇数和偶数两种情况，得到其所在象限；B选项，根据角的定义和弧度制得到答案；C选项，由三角函数定义得到答案；D选项，分位于第四象限的部分和第二象限的部分两种情况，得到角的集合. 【详解】A选项，是第四象限角，故， 解得， 当为奇数时，为第二象限角， 当为偶数时，为第四象限角， 则是第二或第四象限角，A正确； B选项，钟表的分针顺时针转动， 经过30分钟，钟表的分针转过半圈，即弧度，B正确； C选项，若角终边上一点P的坐标为（其中）， 则，C正确； D选项，终边为位于第四象限的部分时，角的集合是， 终边为位于第二象限的部分时，角的集合是， 故终边在直线上的角的集合是或，D错误. 故选：ABC 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得，由不等式性质判断A，由指数函数性质判断BD，由对数函数性质判断C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，故B正确；，故D正确； 对于C，当时，此时，故C错误. 故选：BD. 11. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域即可判断A；利用换元法即可判断B；由不等式的解集可得且，关于的方程的解为，再利用韦达定理求出的关系即可判断C；先根据指数函数的图象求出，再根据反比例函数的图象即可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 则，所以， 所以函数的定义域为， 由，得，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，令，则， 则， 所以，故B正确； 对于C，因为关于的不等式的解集为或， 所以且，关于的方程的解为， 则，所以， 则，故C错误； 对于D，令，则， 所以函数恒过定点， 所以， 则，其图象不过第四象限，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，则，即. 故答案为：6. 13. 已知 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故. 故答案为： 14. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据 ，可推断在上单调递减，又由于是偶函数，可知在单调递增．分区间判断的取值情况，可得不等式的解集． 【详解】定义在上的偶函数满足对任意的，都有， 所以在上单调递减， 根据偶函数的对称性可得，在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 当或或时，， 则不等式可得或， 所以或. 故答案为：或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算. （2）化简. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数和对数运算法则得到答案； （2）利用诱导公式化简，得到答案. 【详解】（1）原式＝. （2）原式. 16. 计算： （1）已知为第二象限角，，求 （2） （i）求的值 （ii）求的值 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式列出方程求解. （2）（i）（ii）利用齐次式法求解. 【小问1详解】 由为第二象限角，得，由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得（i）； （ii）. 17. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. （1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本. 【答案】（1） （2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式， （2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案 【小问1详解】 由题意知，当时，，所以a=300. 当时，； 当时，. 所以， 【小问2详解】 当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740； 当时，， 当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990. 因为， 所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 18. 已知函数． （1）若，求a的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围． 【答案】（1） （2） 为奇函数，证明如下： 由，解得：或，所以定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解. 【小问1详解】 ，，即，解得， 所以a的值为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数， 由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是 19. 已知指数函数 （1）若函数在上具有奇偶性，求的值； （2）若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若，求函数在上的最大值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出的值，即可得出结论； （2）由函数的单调性得出. 解法一：由参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围； 解法二：令，对参数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出该函数在上的最小值，根据可求得实数的取值范围； （3）当，则，，令，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出的表达式. 【小问1详解】 若函数为偶函数. 且， 由，即， 整理可得对任意的恒成立，则，解得； 若函数为奇函数， 由，即对任意的恒成立， 所以，，解得. 综上得：当时，是偶函数；当时，是奇函数. 【小问2详解】 解法一：因为,所以是单调增函数，故由得， 因为，且，所以恒成立，所以，， 设，令，则，， 令，， 则函数在上单调递减，所以，，故； 解法二：因是单调增函数，故由得， 即对于任意的恒成立， 令，则， 若，即时，函数在上单调递增， 只需，因为，则； 若，即时，不合乎题意； 若且，即时，只需，此时无解． 综上得的取值范围是． 【小问3详解】 因为，则，， 令，因，故，令，其中， 当时，在上递增，则； 当时，令，其中， 若，函数在上单调递增，则； 若，则，则函数在上单调递增，； 若，则，则. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $