精品解析：天津市南开大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次阶段检测（12月月考）数学试题

南开大学附中25-26学年上学期第三次阶段检测 高三数学学科试卷 一、单选题 1. 已知，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合类型结合交集的概念可得. 【详解】因为集合为数集，集合为点集，故. 故选：D 2. “，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求满足点在第二象限的范围，在根据充分不必要条件即可求解. 【详解】由题意有或， 所以“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是. 故选：B. 3. 下列说法中正确的是（    ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据样本中心点求得，进而求得预测值判断B；根据正态分布的对称性求解判断C；根据期望和方差的性质判断D． 【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误； 对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，错误； 对于C，随机变量服从正态分布，则， 由，得， 则，C正确； 对于D，由，则，，D错误. 故选：C 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性得出范围进而比较大小. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 5. 若为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】A 【解析】 分析】根据定义域关于原点对称得，再利用求出值，最后验证即可. 【详解】由题意得，则， 因为为奇函数，则其定义域关于原点对称，则， 则，其定义域为， 则，则， 则，定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数，满足题意. 则. 故选：A. 6. 若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 7. 若函数是函数的两个零点，且的最小值为，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先进行辅助角公式的计算可得，结合三角函数的性质可得所以，再结合三角函数的单调性即可得解. 【详解】，可得， 所以，或，， 根据三角函数图像和性质可知若要的值最小， 可得，所以， ，由， 可得， 故选：B 8. 已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 9. 双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 又，所以，即， 整理得，所以，所以， 所以双曲线的离心率大小为3 .故选：A. 二、填空题 10. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设复数，确定复数z对应的点在圆上，结合的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 即复数z对应的点在圆上， 而表示的是z对应的点和复数对应的点之间的距离， 则的最大值即为圆上的点和点之间的距离的最大值， 由于，即在圆外， 则圆上的点和点之间的距离的最大值为， 即的最大值为， 故答案为： 11. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 12. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据全概率公式即可得到答案；空2：设事件，再利用条件概率即可得到答案. 【详解】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为： ； 设事件“失踪的飞机后来被找到”， 事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则， ，，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪， 它被找到的概率为： ， 故答案为：；． 14. 在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用向量的数量的定义及向量的投影，即可求出； ②将和分别用和表示代入，利用基本不等式求解即可. 【详解】① 如图，作，垂足为，因为， 所以，所以，即， 又，，所以，即 所以； ②因为，，所以,, 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量. 15. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或， 即或， 由图可知有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下： 令函数，则由，结合图象可得或或， 即或或， 由图可知，有2个解，有3个解， 又有6个零点，则需使有1个解， 即需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 三、解答题 16. 的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想、切化弦、两角和的余弦公式以及二倍角的正弦公式，经化简求出的值，结合角的取值范围可求出角的值； （2）利用正弦定理得出，，利用三角形面积公式以及三角恒等变换思想将的面积转化为以角为自变量的三角函数，求出角的取值范围，利用三角函数的基本性质求出面积的取值范围. 【详解】（1）， ， 即，即， 由正弦定理，得， 已知，，，且， ，即，得，，，，因此，； （2）由正弦定理，，. ， ，则，， 则，，因此，面积的取值范围为. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，涉及了切化弦、两角和的余弦公式以及二倍角公式的应用，同时也考查了三角形面积的取值范围，对于这类问题，一般利用正弦定理将问题转化为以某角为自变量的三角函数的值域来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 17. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱长均为2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°. （1）求证:A1C⊥B1D1； （2）求对角线AC1的长； （3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小. 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明B1D1⊥平面A1ACC1，再根据线面垂直推证线线垂直即可； （2）由平面推证出为直角三角形，再用勾股定理求解即可； （3）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再根据向量夹角的求解公式，即可求得. 【详解】（1）证明：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2， ∴AD1=AB1=2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，如下图所示： ∵∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.∴AO⊥B1D1， ∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1， ∴B1D1⊥平面A1ACC1， ∵A1C⊂平面A1ACC1， ∴B1D1⊥A1C. （2）在△AB1D1中，AO 又，AA1=2， ∴，∴AO⊥A1O， ∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1， ∴AO⊥OC1， ∴AC12. （3）由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1， 以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系， A(0,0,)，B1(0,,0)，C1(,0,0)， (0,)，(,0,)， 设平面AB1C1的法向量 则， 取x=1，得(1,﹣1,﹣1)， 平面AB1D1的法向量(1,0，0)， 设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ， 则cosθ. ∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为. 【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及利用线面垂直求线段的长度，涉及用向量法求解二面角的大小，属综合性中档题. 18. 椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． （1）求椭圆方程； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于，，方程组，求出，，即可得解. （2）由向量共线得出的值、直线斜率存在且不为，设直线方程为，联立椭圆方程求出值和韦达定理，利用得出，结合所得韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 由题，解得，， 因此椭圆方程为即． 【小问2详解】 由题意可知向量起点相同，终点共线， 又由得， 故，即，即， 显然直线斜率存在且不为，设其方程为， 联立方程，消去，得，所以， 设，，则，， 又由得，即， 因此，从而，， 所以， 整理得，显然， 所以， 解得或．经检验，此时， 因此的取值范围是. 19. 数列的前n项和为，数列满足（），且数列的前n项和为. （1）求，，并求数列的通项公式； （2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求. （3）求证：. 【答案】（1），， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，代入数据，可得，，再由前n项和与通项的关系得出数列的通项公式； （2）分析可得，所求数列奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列，分别求和，即可得答案； （3）分类讨论，两种情况，由分组求和法得出，再由的单调性得出证明. 【小问1详解】 由题意得，① 当时，， 当时，，所以. 当时，，② ①－②得，， 所以， 当时，，也适合上式， 所以， 所以，两式相减得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 数列为：，，，，，，……， 所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列. 所以当时， . ， 所以 【小问3详解】 当时， 所以， 所以， 显然是关于k的减函数， 当时，的最大值为3， 所以； 所以当时， . 所以， 所以， 显然是关于k的减函数， 当时，的最大值为， 所以； 综上所述，. 20. 已知函数. （1）时，求曲线在点处的切线方程； （2）有2个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解； （2）（i）令，时，不成立时，得，构造函数，利用导数法，求单调性，结合图像求解即可.（ii）利用的增减性，通过构造 函数，求的导数，构造函数，求的导数，通过增减性求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）令，时，不成立， 时，得， 设，则， 由解得单调增区间为， 由解得单调减区间为，； 作出函数图像. 要使函数有2个零点， 则方程在内有2个根，即直线与函数的图象有2个交点. 又，故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 要证；即证； 又，，在上为增函数，则只需要证， 又，则只需要证，， 则构造辅助函数， ， 令，， 故为减函数， 所以，，， 所以， 所以为减函数， 所以，所以， 所以，所以， 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中25-26学年上学期第三次阶段检测 高三数学学科试卷 一、单选题 1. 已知，，（ ） A. B. C. D. 2. “，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（ ）. A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（    ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. －2 6. 若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若函数是函数的两个零点，且的最小值为，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6 二、填空题 10. 复数满足，则的最大值为________. 11. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 12. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______． 14. 在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______． 15. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 三、解答题 16. 内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，求面积的取值范围． 17. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱长均为2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°. （1）求证:A1C⊥B1D1； （2）求对角线AC1的长； （3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小. 18. 椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． （1）求椭圆方程； （2）求的取值范围． 19. 数列的前n项和为，数列满足（），且数列的前n项和为. （1）求，，并求数列通项公式； （2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求. （3）求证：. 20. 已知函数. （1）时，求曲线在点处切线方程； （2）有2个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $