37.抽象函数周期性判定（f(x+a)=1除f(x)型）【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 37.抽象函数周期性判定（f(x+a)=1/f(x)型）【中档】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的周期性 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得对任意的，都有且，则称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的一个周期。 ￮ 数学符号/表达式：且 ￮ 关键特征：① 是非零常数；② 定义域内任意均满足周期性等式；③ 周期函数存在无数个周期，最小的正周期称为最小正周期。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数、分段函数、抽象函数 2. 【概念2】型抽象函数的周期性 ￮ 定义表述：对于定义域内任意（），满足（）的抽象函数，推导可得其周期为，该类型是抽象函数周期性判定的典型模型。 ￮ 数学符号/表达式：，周期（，） ￮ 关键特征：① 等式两边是函数值的倒数关系；② 替换变量为可完成周期推导；③ 周期是而非，且函数值恒不为。 ￮ 跨章节关联：关联函数的奇偶性、值域范围，常与分式型函数、三角函数的周期性综合考查 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 型函数的周期 若（），则的周期 误认为周期是；忽略的前提条件；推导时未完成变量替换的完整步骤 抽象函数满足，推导得，周期为，而非 周期函数与函数值符号的关系 若满足，则在定义域内的函数值符号保持一致 误认为函数值符号会随周期交替变化；忽略定义域中的限制 若满足且，则对任意，，不存在的情况 三、题型分类与例题精析 题型1：直接利用判定周期（基础型） 题型特征：已知抽象函数满足（为具体常数），直接推导函数的周期，或利用周期求函数值。 解题步骤：1. 将中的替换为，得到；2. 结合原式，推导得，确定周期；3. 利用周期将所求函数值转化到已知区间内求解。 例题1 已知抽象函数的定义域为（），且对任意，都有，求的最小正周期。 解析： 1. 已知，将替换为，得； 2. 化简得，又因为，所以； 3. 因此的最小正周期为。 答案： 举一反三1-1 已知的定义域为（），满足，且，求的值。 解析： 1. 由，替换为得，周期； 2. ； 3. 已知，故。 答案： 举一反三1-2 已知满足（），，且，求的值。 解析： 1. 由得周期； 2. ，余数为，故； 3. 已知，因此。 答案： 举一反三1-3 已知的定义域为（），，且，求的值。 解析： 1. 由得周期； 2. ； 3. 已知，故。 答案： 题型2：与奇偶性结合判定周期（综合型） 题型特征：已知抽象函数满足，且函数具有奇偶性，综合推导周期或利用性质求函数值。 解题步骤：1. 利用奇偶性得到与的关系；2. 结合，替换变量推导周期；3. 利用周期和奇偶性将所求函数值转化到已知区间计算。 例题2 已知是定义在上的偶函数（），且满足，求的最小正周期，并计算的值（已知）。 解析： 1. 由，替换为得，周期； 2. ； 3. 已知，且是偶函数不影响周期内函数值的转化，故。 答案：最小正周期为， 举一反三2-1 已知是奇函数（），且对任意，都有，，求的值。 解析： 1. 由得周期； 2. （奇函数性质）； 3. 已知，故。 答案： 举一反三2-2 已知是偶函数，（），且，求的值。 解析： 1. 由得周期； 2. 偶函数性质； 3. 。 答案： 举一反三2-3 已知是奇函数，满足（），且，求的值。 解析： 1. 由得周期； 2. ； 3. 由周期和奇函数性质，，故。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知的定义域为（），且满足，则的最小正周期为（） A. B. C. D. 解析：由，替换为得，周期为，选B。 答案：B 2. 多选题 已知抽象函数满足（），，则下列说法正确的有（） A. 的周期为 B. C. D. 的函数值恒为正数 解析：由得周期，A正确；，B正确；，C错误；函数值可正可负，只要不为，D错误。 答案：AB 3. 填空题 已知满足（），且，则______ 解析：周期，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知的定义域为（），，且，求的值。 解析：周期，，。 答案： (2) 已知满足（），，判断是否为周期函数，若为周期函数，求出最小正周期。 解析：替换为得，故是周期函数，最小正周期为。 答案：是周期函数，最小正周期为 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的奇函数（），且，，则的值为（） A. B. C. D. 解析：周期，，选A。 答案：A 2. 多选题 已知满足（），且是偶函数，则下列说法正确的有（） A. 的周期为 B. C. D. 的周期为 解析：由得周期，A正确，D错误；偶函数，B正确；，C正确。 答案：ABC 3. 填空题 已知是奇函数，（），且，则______ 解析：周期，，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知是偶函数，满足（），，求的值。 解析：周期，。 答案： (2) 已知的定义域为（），，且的图象关于对称，判断的奇偶性并说明理由。 解析：周期，图象关于对称，则，又，故；替换为得，结合得，所以是偶函数。 答案：是偶函数，理由见解析 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 37.抽象函数周期性判定（f(x+a)=1/f(x)型）【中档】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的周期性 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得对任意的，都有且，则称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的一个周期。 ￮ 数学符号/表达式：且 ￮ 关键特征：① 是非零常数；② 定义域内任意均满足周期性等式；③ 周期函数存在无数个周期，最小的正周期称为最小正周期。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数、分段函数、抽象函数 2. 【概念2】型抽象函数的周期性 ￮ 定义表述：对于定义域内任意（），满足（）的抽象函数，推导可得其周期为，该类型是抽象函数周期性判定的典型模型。 ￮ 数学符号/表达式：，周期（，） ￮ 关键特征：① 等式两边是函数值的倒数关系；② 替换变量为可完成周期推导；③ 周期是而非，且函数值恒不为。 ￮ 跨章节关联：关联函数的奇偶性、值域范围，常与分式型函数、三角函数的周期性综合考查 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 型函数的周期 若（），则的周期 误认为周期是；忽略的前提条件；推导时未完成变量替换的完整步骤 抽象函数满足，推导得，周期为，而非 周期函数与函数值符号的关系 若满足，则在定义域内的函数值符号保持一致 误认为函数值符号会随周期交替变化；忽略定义域中的限制 若满足且，则对任意，，不存在的情况 三、题型分类与例题精析 题型1：直接利用判定周期（基础型） 题型特征：已知抽象函数满足（为具体常数），直接推导函数的周期，或利用周期求函数值。 解题步骤：1. 将中的替换为，得到；2. 结合原式，推导得，确定周期；3. 利用周期将所求函数值转化到已知区间内求解。 例题1 已知抽象函数的定义域为（），且对任意，都有，求的最小正周期。 举一反三1-1 已知的定义域为（），满足，且，求的值。 举一反三1-2 已知满足（），，且，求的值。 举一反三1-3 已知的定义域为（），，且，求的值。 题型2：与奇偶性结合判定周期（综合型） 题型特征：已知抽象函数满足，且函数具有奇偶性，综合推导周期或利用性质求函数值。 解题步骤：1. 利用奇偶性得到与的关系；2. 结合，替换变量推导周期；3. 利用周期和奇偶性将所求函数值转化到已知区间计算。 例题2 已知是定义在上的偶函数（），且满足，求的最小正周期，并计算的值（已知）。 举一反三2-1 已知是奇函数（），且对任意，都有，，求的值。 举一反三2-2 已知是偶函数，（），且，求的值。 举一反三2-3 已知是奇函数，满足（），且，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知的定义域为（），且满足，则的最小正周期为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知抽象函数满足（），，则下列说法正确的有（） A. 的周期为 B. C. D. 的函数值恒为正数 3. 填空题 已知满足（），且，则______ 4. 解答题 (1) 已知的定义域为（），，且，求的值。 (2) 已知满足（），，判断是否为周期函数，若为周期函数，求出最小正周期。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的奇函数（），且，，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知满足（），且是偶函数，则下列说法正确的有（） A. 的周期为 B. C. D. 的周期为 3. 填空题 已知是奇函数，（），且，则______ 4. 解答题 (1) 已知是偶函数，满足（），，求的值。 (2) 已知的定义域为（），，且的图象关于对称，判断的奇偶性并说明理由。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $