20.定义法判定抽象函数单调性（类线性型f(x+y)=f(x)+f(y)）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 20.定义法判定抽象函数单调性（类线性型f(x+y)=f(x)+f(y)）【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合辨析） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】类线性型抽象函数的定义 ￮定义表述：形如（ 定义域）的抽象函数称为类线性型抽象函数，其原型为正比例函数，具备可加性的核心特征。 ￮数学符号/表达式： （为函数定义域），有 ￮关键特征：满足，当定义域关于原点对称时为奇函数；单调性可通过定义法结合转化判定。 ￮跨章节关联：关联正比例函数、一次函数的性质，可类比推导抽象函数的单调性、奇偶性。 2. 【概念2】抽象函数单调性的判定方法（定义法） ￮定义表述：设抽象函数的定义域为，区间，任取且，通过赋值法将转化为含的形式，再结合已知条件判断的符号，进而确定函数在区间上的单调性。 ￮数学符号/表达式： ， ￮关键特征：赋值法是核心技巧，需构造的形式；单调性判定依赖在正数区间内的符号。 ￮跨章节关联：关联函数单调性的定义，适用于所有满足可加性的抽象函数单调性判定。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 赋值的技巧 判定单调性时，需构造，利用转化 直接令或为0，无法建立与已知条件的联系 判定在上的单调性，不能直接令，需构造的形式 的取值 对，令，可得 误认为的值不确定，或忽略在奇偶性判定中的作用 对，令，结合可证为奇函数 单调性与符号的关系 若时，则在定义域上单调递增；若时，则单调递减 混淆时的符号与单调性的对应关系 若时，则，函数递减 三、题型分类与例题精析 题型1： 已知时的符号，判定的单调性 题型特征：函数的定义域为，满足，且已知时的正负，需用定义法判定其在上的单调性。 解题步骤： 1. 取值：任取，且，计算； 2. 转化：利用，将转化为； 3. 定号：根据时的符号，判断的正负； 4. 下结论：根据的正负，结合单调性定义得出结论。 例题1 已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，，用定义法证明在上是增函数。 举一反三1-1 已知函数的定义域为，满足，且当时，，证明在上是减函数。 举一反三1-2 已知函数的定义域为，满足，且当时，，证明在上是增函数。 举一反三1-3 已知函数的定义域为，满足（类可加性变形），且当时，，证明在上是增函数。 题型2： 单调性与奇偶性综合判定 题型特征：函数满足，定义域关于原点对称，需先证奇偶性，再结合时的符号判定单调性。 解题步骤： 1. 证奇偶性：令得，再令证，确定函数为奇函数； 2. 取值转化：任取且，转化； 3. 定号判断：结合时的符号判断的正负； 4. 下结论：结合奇偶性和单调性定义得出函数在上的单调性。 例题2 已知函数的定义域为，对任意，有，且当时，，求证：是奇函数且在上是减函数。 举一反三2-1 已知函数的定义域为，满足，当时，求证：是奇函数且在上是增函数。 举一反三2-2 已知函数的定义域为，满足（变形类线性型），当时，求证在上是增函数。 举一反三2-3 已知函数的定义域为，满足，且，求证在上是减函数。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数满足，且时，则在上的单调性为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 不增不减 D. 无法确定 2. 多选题 关于满足的函数，下列说法正确的有（ ） A. B. 定义域关于原点对称时为奇函数 C. 时则函数递减 D. 一定是正比例函数 3. 填空题 已知满足，任取，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，满足，且时，证明在上是增函数。 (2) 已知函数满足，且是奇函数，时，证明在上是减函数。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数满足，，则在上是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 无法确定 2. 多选题 已知函数满足，当时，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是增函数 C. D. 3. 填空题 已知满足，且在上是增函数，若，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，满足，且，证明在上是减函数。 (2) 已知函数满足，定义域为，且对任意，都有，若，解不等式。 是否需要我帮你整理类线性型抽象函数单调性判定的赋值技巧清单，方便学生快速掌握核心方法？ |（注：文档部分内容可能由 AI 生成) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 20.定义法判定抽象函数单调性（类线性型f(x+y)=f(x)+f(y)）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合辨析） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】类线性型抽象函数的定义 ￮定义表述：形如（ 定义域）的抽象函数称为类线性型抽象函数，其原型为正比例函数，具备可加性的核心特征。 ￮数学符号/表达式： （为函数定义域），有 ￮关键特征：满足，当定义域关于原点对称时为奇函数；单调性可通过定义法结合转化判定。 ￮跨章节关联：关联正比例函数、一次函数的性质，可类比推导抽象函数的单调性、奇偶性。 2. 【概念2】抽象函数单调性的判定方法（定义法） ￮定义表述：设抽象函数的定义域为，区间，任取且，通过赋值法将转化为含的形式，再结合已知条件判断的符号，进而确定函数在区间上的单调性。 ￮数学符号/表达式： ， ￮关键特征：赋值法是核心技巧，需构造的形式；单调性判定依赖在正数区间内的符号。 ￮跨章节关联：关联函数单调性的定义，适用于所有满足可加性的抽象函数单调性判定。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 赋值的技巧 判定单调性时，需构造，利用转化 直接令或为0，无法建立与已知条件的联系 判定在上的单调性，不能直接令，需构造的形式 的取值 对，令，可得 误认为的值不确定，或忽略在奇偶性判定中的作用 对，令，结合可证为奇函数 单调性与符号的关系 若时，则在定义域上单调递增；若时，则单调递减 混淆时的符号与单调性的对应关系 若时，则，函数递减 三、题型分类与例题精析 题型1： 已知时的符号，判定的单调性 题型特征：函数的定义域为，满足，且已知时的正负，需用定义法判定其在上的单调性。 解题步骤： 1. 取值：任取，且，计算； 2. 转化：利用，将转化为； 3. 定号：根据时的符号，判断的正负； 4. 下结论：根据的正负，结合单调性定义得出结论。 例题1 已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，，用定义法证明在上是增函数。 解析： 第一步：取值 任取，且，则。 第二步：转化 由，可得： 移项得： 第三步：定号 已知当时，，又，故，即。 第四步：下结论 由得，根据函数单调性的定义，在上是增函数。 答案：证明过程如上。 举一反三1-1 已知函数的定义域为，满足，且当时，，证明在上是减函数。 解析： 第一步：任取，且，则。 第二步：，故。 第三步：由时，，得，即。 第四步：，故在上是减函数。 答案：证明过程如上。 举一反三1-2 已知函数的定义域为，满足，且当时，，证明在上是增函数。 解析： 第一步：任取，且，则。 第二步：，故。 第三步：由时，得，即。 第四步：，故在上是增函数。 答案：证明过程如上。 举一反三1-3 已知函数的定义域为，满足（类可加性变形），且当时，，证明在上是增函数。 解析： 第一步：任取，且，则。 第二步：，故。 第三步：由时，得，即。 第四步：，故在上是增函数。 答案：证明过程如上。 题型2： 单调性与奇偶性综合判定 题型特征：函数满足，定义域关于原点对称，需先证奇偶性，再结合时的符号判定单调性。 解题步骤： 1. 证奇偶性：令得，再令证，确定函数为奇函数； 2. 取值转化：任取且，转化； 3. 定号判断：结合时的符号判断的正负； 4. 下结论：结合奇偶性和单调性定义得出函数在上的单调性。 例题2 已知函数的定义域为，对任意，有，且当时，，求证：是奇函数且在上是减函数。 解析： 第一步：证明是奇函数 令，则，即，解得。 令，则，即。 由得，即，故是奇函数。 第二步：证明在上是减函数 任取，且，则。 由得： 移项得。 已知时，，故，即，。 综上，是奇函数且在上是减函数。 答案：证明过程如上。 举一反三2-1 已知函数的定义域为，满足，当时，求证：是奇函数且在上是增函数。 解析： 证奇偶性：令得；令得，故是奇函数。 证单调性：任取，，，故，在上是增函数。 答案：证明过程如上。 举一反三2-2 已知函数的定义域为，满足（变形类线性型），当时，求证在上是增函数。 解析： 第一步：任取且，则，。 第二步：。 第三步：，故。 第四步：在上是增函数。 答案：证明过程如上。 举一反三2-3 已知函数的定义域为，满足，且，求证在上是减函数。 解析： 第一步：任取，则，设（，为整数），； 第二步：对任意正数，可证（赋值法推广）； 第三步：，即； 第四步：在上是减函数。 答案：证明过程如上。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数满足，且时，则在上的单调性为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 不增不减 D. 无法确定 解析：根据题型1的判定方法，时，，故为增函数，选A。 答案：A 2. 多选题 关于满足的函数，下列说法正确的有（ ） A. B. 定义域关于原点对称时为奇函数 C. 时则函数递减 D. 一定是正比例函数 解析：A、B、C说法正确，D错误，抽象函数不一定是正比例函数，仅具备相似性质。 答案：ABC 3. 填空题 已知满足，任取，则______。 解析：，故。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，满足，且时，证明在上是增函数。 解析： ① 任取且，则； ② ，故； ③ 由时，得，即； ④ ，故在上是增函数。 答案：证明过程如上。 (2) 已知函数满足，且是奇函数，时，证明在上是减函数。 解析： ① 任取，则，； ② ； ③ ，故在上是减函数。 答案：证明过程如上。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数满足，，则在上是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 无法确定 解析：，得，时可证，故为增函数，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数满足，当时，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是增函数 C. D. 解析：令得，A正确；任取，，B正确；令得，C正确；，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知满足，且在上是增函数，若，则______。 解析：。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，满足，且，证明在上是减函数。 解析： ① 令得；令得，； ② 任取，，（）； ③ ，即； ④ 在上是减函数。 答案：证明过程如上。 (2) 已知函数满足，定义域为，且对任意，都有，若，解不等式。 解析： ① 由是减函数，； ② 原不等式化为； ③ 由单调性得，解得或。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $