精品解析：河南省叶县高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025~2026学年上学期高一年级12月月考数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章~第五章5.4.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算可得，即可得到其子集的个数. 【详解】因为，所以， 所以的子集个数为. 故选：B. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 第一象限的角是锐角 B. 第二象限角必大于第一象限角 C. 圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D. 1弧度角的大小与圆的半径无关 【答案】D 【解析】 【分析】根据象限角的定义判定A、B，由弧度和弧长得定义及相关公式判断C、D. 【详解】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负， 而锐角仅指大于小于的角，故A错误； B，为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故B错误； C，圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关， 半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 举特值并结合充分、必要条件的定义可得答案. 【详解】当时，满足，但是，不满足； 当时， ，满足，但不满足， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求解方法，列出不等式，求解即可. 【详解】若使得函数有意义，则且，解得， 故的定义域为. 故选：B. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. （2，3） D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】原不等式等价于，即， 因为，所以， 即，解得或， 所以不等式解集为. 故选：D. 6. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合配凑法即可求解函数解析式. 【详解】由，可得. 故选：D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较的大小关系，并判断c的范围，即可得答案. 【详解】由于， 且， 故， 故选：C 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值. C. 最小值 D. 最大值 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数是上的奇函数且单调递增，将原不等式形为恒成立，再令，判断出为R上奇函数，且单调递增，从而可得不等式恒成立，最后令，将问题转化为恒成立，结合及二次函数的性质，求出的最小值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 又因为 ， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令， 则， 所以为R上奇函数， 又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令，即有恒成立， 即，所以恒成立， 所以恒成立， 因为，所以， 所以，当时，等号成立， 所以，所以实数有最大值. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. rad化成角度是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制的互化计算可得结论. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误. 故选：AB. 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于B，举反例即可判断；对于ACD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 【答案】 【解析】 【分析】确定扇形的圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得该公园护栏的总长度. 【详解】因为，所以，扇形的圆心角为，半径为， 所以，该花园的护栏的总长度为. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 14. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对互化及在上单调递增得，从而，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取得等号. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）化简； （2）若为第四象限角，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式进行化简. （2）利用同角三角函数的平方关系求值，注意判断符号. 【小问1详解】 由三角函数诱导公式有：. 【小问2详解】 因为为第四象限角，所以， 所以， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间； （2）求函数在上的最值及其对应的的值． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，减区间为； （2）时，最小值为，时，最大值为7． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，准确计算，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得函数最小正周期为， 令，解得，所以对称中心为， 再令，解得， 所以函数的减区间为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以当，即时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为7． 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求解即可； （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，解不等式得解. 【小问1详解】 令，由，则， 所以 当时，取最小值为当时，取最大值为3， 即 故值域为. 【小问2详解】 由， 令，则，且， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故， 所以实数的取值范围. 18. 已知． （1）设，若对任意恒成立，求的取值范围； （2）当时，若函数的最小值为1，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为当时，，然后按照和分类讨论，当时，参变分离得，进而利用基本不等式求解最值，即可得解； （2）设，则，，然后按照、和分类讨论，求解最小值，利用最值列方程求解的值． 【小问1详解】 当时，恒成立，即恒成立， 则，当时，不等式恒成立； 当时，， 因为，当时取“”，所以； 综上，． 【小问2详解】 因为，设，则， ，开口向上，其对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 则，解得（舍）； 当，即时，函数在上单调递减， 则，解得； 当时，函数在上单调递减，上单调递增， 则，所以，解得或（舍）． 综上，． 19. 函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 【答案】（1） （2） 任取，， 则有， 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 又因为函数是偶函数，所以函数在对称区间单调性相反，所以函数在和上均单调递减. 故函数的单调递减区间为：，；单调递增区间为：，. （3）0 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，，可得的值，再根据，可求的值，即可明确函数的解析式. （2）利用单调性的定义证明函数在区间和上的单调性，再结合函数的奇偶性，判断函数在，上的单调性. （3）先研究函数性质，得到，再结合函数奇偶性得到，进而可求所给式子的值. 【小问1详解】 因为函数是偶函数， 所以，即，所以，即， 又因为，所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则，即， 又因为函数是偶函数，即，所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期高一年级12月月考数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章~第五章5.4.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 第一象限的角是锐角 B. 第二象限角必大于第一象限角 C. 圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D. 1弧度角的大小与圆的半径无关 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. （2，3） D. 6. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值. C. 最小值 D. 最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. rad化成角度是 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 13. 函数的单调递减区间为__________. 14. 已知，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）化简； （2）若为第四象限角，且，求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间； （2）求函数在上的最值及其对应的的值． 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知． （1）设，若对任意恒成立，求的取值范围； （2）当时，若函数的最小值为1，求的值． 19. 函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $