精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（四）（12月）数学试卷

长郡中学2026届高三月考试卷（四） 数学 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边的中点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 椭圆的离心率为 11. 对于定义域为的函数，若存在，使得，则称为的不动点.已知有三个零点，，，则（ ） A. 当，时，是的不动点 B. 当时， C. 若，，则为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______. 13. 已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为___________. 14. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 （1）求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； （2）已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，. 16. 设数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，为数列的前项和，证明：. 17. 如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. （1）证明：平面； （2）若直线与直线所成角的余弦值为，求. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）当时，设，证明：，. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，. （ⅰ）求动点的轨迹方程； （ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2026届高三月考试卷（四） 数学 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质和定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系列式求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. 从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从4，5，6，7，8这五个数中任取两个数， 包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个； 则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，共个； 所以这两个数都是奇数的概率是. 故选：B 4. 在中，为边的中点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦和差公式和齐次化得到，再代入求值即可. 【详解】， 故. 故选：C 6. 已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设挖去的圆柱的半径为，根据圆台中挖去一个圆柱所得几何体的结构结合圆台、圆柱的侧面积公式计算得到所求的几何体的表面积表达式，再结合一元二次函数性质即可得解. 【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为， 由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为， 所以得到的几何体的表面积为. 所以当时得到的几何体的表面积最大为. 故选：B 7. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，构造，整理可得，结合单调性分析判断选项ABD，并举反例说明选项C错误. 【详解】因为，且，可得， 又因为，且， 即， 构造，可得， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可知B正确，AD错误； 令，则，可得， 构造，则，， 可知在内存在零点，即方程有根， 所以符合题意，但不成立，故C错误； 故选：B. 8. 设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出点，再利用题意和焦半径公式求出，再代入求出即可由焦半径公式求解. 【详解】由题，抛物线即， 所以点A处的切线方程为， 同理点B处的切线方程为， 联立，即， 因为，则即，则， 所以 ， 所以，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为， 所以函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，， 所以直线不是图象的一条对称轴，C错； 对于D选项，当时，，故函数在上不单调，D错. 故选：AB. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用面积得出，再结合相似可得；B结合椭圆的定义可得；C根据三线合一得出，再结合以及椭圆的定义可得；D在、中利用余弦定理可得. 【详解】A选项，因为，所以, 则，由相似可得，故A正确； B选项，因为直线过点， 则由椭圆的定义可知，的周长为， 又，故B错误； C选项，因为为线段的中点，平分，所以， 因为，所以可设，， 则由椭圆的定义可知，， 则，得， 故，故C正确； D选项，由C选项可知，， 在、中利用余弦定理可得， ， 即，得， 故椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD 11. 对于定义域为的函数，若存在，使得，则称为的不动点.已知有三个零点，，，则（ ） A. 当，时，是的不动点 B. 当时， C. 若，，则为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A解方程即可；B举反例；C根据韦达定理求出，代入化简即可；D对求导，再代入化简即可. 【详解】A选项，，即，得或， 故是的不动点，A正确； B选项，， 则，则， 故当时，不成立，故B错误； C选项， 因为，，是的三个零点， 则 ， 故， 又，得，，即， 故，故C正确； D选项，因为， 所以， 则，， ， 故， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 13. 已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合仅存在一个正整数，使进行分析求得参数范围即可. 【详解】已知，， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在时，在递减，递增，最小值为. 因为仅存在一个正整数，使，则这个正整数只能是， 因此需满足，代入得 解得. 故答案为： 14. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 （1）求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； （2）已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，. 【答案】（1）3；. （2）；万辆. 【解析】 【分析】（1）根据平均数的概念和上四分位数的概念求值. （2）根据公式和数据求的值，可得回归方程，再令，可预测2025年10月份的销售量. 【小问1详解】 这6个月销售量数据的平均数为； 因为，所以这6个月销售量数据的上四分位数为第5个数，是. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以. 所以. 当时，（万辆）， 即预测2025年10月份的销售量约为万辆. 16. 设数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，为数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，得到，由为等差数列，即可求解； （2）由（1）得到裂项得到，再求和，进而可判断. 【小问1详解】 由， 令，， 则，等式两端同乘， 得，， 即是首项为2，公差为1的等差数列， 则， 所以，， 所以 【小问2详解】 由（1）， 即， 所以 ，， 即， 所以. 17. 如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. （1）证明：平面； （2）若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】（1） 连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理即得证； （2）取线段的中点，连如图建系，设，其中，运用空间向量法求出的值，再结合模的公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）当时，设，证明：，. 【答案】（1）递减区间是，无增区间； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，由即可求解； （2）通过即可求证； （3）由（1）得，将转换成，即证在上恒成立，进而构造函数，通过二次求导即可求解. 【小问1详解】 当时， ， 由，即函数定义域为， 则，求导得： ， 因为，则恒成立， 即当，， 所以在上单调递减； 故的递减区间是，无增区间； 【小问2详解】 因为函数定义域为， 所以 ， 所以曲线的对称中心为， 即曲线是中心对称图形； 【小问3详解】 由（1）得，当时，时， ， 即，即， 令，则， 即，， 即，都有，即， 又， 要证，，即证， 即证：， 即证：， 即证：在上恒成立， 令， 则，令， 则在上恒成立， 则在上单调递增， 则， 所以在上单调递增， 所以， 则在上恒成立， 即，. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，. （ⅰ）求动点的轨迹方程； （ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线写出渐近线方程，再根据直线倾斜角与斜率的关系，最后代入已知点，可得答案； （2）（i）设出双曲线的切线方程，联立方程组并化简整理一元二次方程，利用切线的判别条件，可化简切线方程，代入动点坐标并整理一元二次方程，根据韦达定理，可得答案；（ii）由切线垂直可得切点坐标的等量关系，设出直线方程并联立方程组，化简整理一元二次方程，写出韦达定理，由此表示弦长以及直线的一般式方程，求得三角形高线，求得面积差的解析式后可得答案. 【小问1详解】 由双曲线，则渐近线方程为， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，即， 将点代入双曲线的方程可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知分别过的两条切线斜率存在，设为，设则M不在双曲线渐近线上， 则切线方程为， 代入，化简可得， 由得， 整理得， 设的斜率为，的斜率为， 则为的解， 因为，则，故即， 又因为M不在双曲线渐近线上，所以，可得， 故动点的轨迹方程为. （ii）设，由题设不为顶点， 由（i）可得， 且由可得， 故，故，同理可得， 由两切线垂直，可得，整理可得. 当直线的斜率存在时，设直线， 代入，可得， ，且， 由韦达定理可得， 则， 代入韦达定理可得化简可得，此时， ， 又，同理， 故，， 故，同理， 故， 因为在的同一侧，故， 故 ， 由可得且， 则. 当的斜率不存在时，则，故，， 由对称性可得不妨设在第一象限，则，故， 此时，，故， 综上所述，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $