湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（四）（12月）数学试卷

长郡中学2026届高三月考试卷（四）

数学

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

6. 已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

7. 已知正数，满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数，则（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称

C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调

10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（    ）

A.  B. 的周长为

C.  D. 椭圆的离心率为

11. 对于定义域为的函数，若存在，使得，则称为的不动点.已知有三个零点，，，则（    ）

A. 当，时，是的不动点

B. 当时，

C. 若，，则为定值

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______.

13. 已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为___________.

14. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________.

①；②事件，相互独立；

③；④

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表：

月份	4月	5月	6月	7月	8月	9月
月份代号	1	2	3	4	5	6
销售量	1.5	2.3	2.8	3.2	3.7	4.5

 

（1）求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数；

（2）已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量.

附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，.

16. 设数列满足，.

（1）求的通项公式；