精品解析：河北省辛集中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题（12.30）

河北辛集中学2025-2026学年度第一学期周考(2025.12.30) 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 点的坐标是 11. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的取值范围是 D. 当倾斜角为时，的周长为8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.） 12. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 13. 椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为______. 14. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ________． 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知数列的前项和，且，，其中. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前20项和. 18. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，讨论在区间上零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025-2026学年度第一学期周考(2025.12.30) 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系，集合间的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，所以，则， 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边同时平方，结合同角三角函数平方关系及正弦二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，两边同时平方得 ， 由同角三角函数平方关系得， 则. 故选：B. 4. 已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式计算可得结果. 【详解】在等腰三角形中，是的中点， 所以，所以， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，所以，， 则. 故选：D. 5. 已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，再分别求出两个函数的最大值即可得解. 【详解】，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 而时，， 由题意得，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 6. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得函数是以3为周期的周期函数，根据函数的周期性分别求出即可得解. 【详解】解：因为为偶函数， 所以函数关于直线对称，则有， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以 所以是以3为周期的周期函数， 故，， 所以. 故选：A. 7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 8. 设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求得，由等差数列项之间的关系求得公差和首项，即得数列通项，然后化简数列的通项公式，利用裂项相消法即得答案. 【详解】设等差数列的公差为，，解得， 则，∴， ∴， ∴， 设数列的前项和为， 则 . 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判定、线面垂直的判定、线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A： 要判定两平面平行，则需要一平面内的两条相交直线都平行于另一平面才能成立， 而A中直线不一定相交，所以A错误； 对于B： 由于，所以，因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以垂直于平面内的任意直线，而，所以能在内找到与直线平行的直线， 所以，C正确； 对于D： 因为，所以或者,而n⊄α，所以，D正确. 故选：BCD. 10. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 点的坐标是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数图象性质可得函数的周期，从而得的值；根据函数过结合正弦函数对称性可得的值；根据函数的周期性与对称性可得点的横坐标，即可得点的坐标；于是可得的值，从而得答案. 【详解】因为，所以相邻两对称轴间的距离为， 即最小正周期，所以，故A不正确； 又因为点在的图象上，所以，即， 结合图象可知，所以， 又，所以，故C不正确； 由图可得之间的对称轴为， 则点的横坐标为，故，故D正确； 所以，解得，故B正确. 故选：BD. 11. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的取值范围是 D. 当倾斜角为时，的周长为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，，可求其离心率判断A，并可得椭圆；根据椭圆定义和基本不等式判断B；设，利用向量数量积的坐标运算得，再根据椭圆上点的范围可判断C；当倾斜角为时，直线垂直平分，结合椭圆定义求的周长，判断D. 【详解】对于A，根据题意，，所以椭圆的离心率， 又，， 所以椭圆，故A正确； 根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B错误； 设，又， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，C正确； 当倾斜角为时，直线垂直平分， 所以的周长为： ， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.） 12. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 13. 椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系列出点的坐标，然后根据共线向量得到的关系式，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】设，，过点作轴，因为垂直于轴， 将代入椭圆方程，得，所以， 又因为，所以，， 所以，，即，代入椭圆方程得， 即，因为，所以，. 故答案为：. 14. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得到的大致图象，再由零点的个数且，数形结合有在上有两个解，根据对勾函数的性质求参数范围. 【详解】令，可得，则或， 结合一次函数、二次函数性质，易知，大致图象如下， 令，则，要使原函数有六个不同的零点， 结合图象知在区间上有两个解，所以在上有两个解， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，且时趋向正无穷， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 16. 如图，在三棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由平面，平面，故， 又，，，平面， 则平面，又平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）由平面可得，则可建立适当空间直角坐标系，再求出直线的方向向量与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，故， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、，则， 则，，，， 由，则， 则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 则. 所以直线与平面所成角的余弦值为 17. 已知数列的前项和，且，，其中. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前20项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，当，求出，当得出，然后结合已知条件得出证明； （2）由（1）得出，然后对进行讨论，结合对数运算性质和等差数列求和公式以及裂项相消法求数列和，分别求出和，然后相加即可得出. 【小问1详解】 证明：对于，， 当时，，， 当时，由，① 得，② ①②两式相减得， 由于， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得出， 所以当为奇数时， ，， 所以奇数项以为首项，公差为2的等差数列， 又，所以， 当为偶数时，， ， 所以 ， 所以. 18. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，先得到的值，再根据椭圆上的点可求，得到椭圆的标准方程. （2）方法1：设直线方程：，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理，表示出，进而表示出的面积，利用基本不等式求三角形面积的最大值.方法2：设直线方程：，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理，表示出，进而求弦的长，结合点到直线的距离，求三角形的高，可表示三角形的面积，再利用导数分析函数的单调性，求三角形面积的最大值. 【小问1详解】 设椭圆的右焦点，则， 由点在椭圆上可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：如图： 由题意，直线的斜率显然不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，则，其中，解得， 设，则， ， 令，由得，， （当且仅当时，等号成立）， 所以面积的最大值为. 法二：由题意，直线的斜率一定存在，设的方程为，代入椭圆的方程， 则，其中，解得， 设，则，可得， 点到直线的距离为， ， 令，令， 在区间上递增，在上递减， 所以时，， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，讨论在区间上零点的个数． 【答案】（1）； （2）； （3）3个. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）法一：应用分离参数法有，再应用导数研究右侧的单调性求最小值，即可得参数范围；法二：应用必要性探路，问题化为，令，再证明，时，恒成立，确保充分性成立，即可得； （3）由题设得是函数的一个零点，讨论、、，并利用导数研究函数的零点个数，即可得. 【小问1详解】 由，则，显然，所以切线方程为； 【小问2详解】 ，此时， 法一：分离参数法，从而， 令，则， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； 法二：必要性探路，， 令，， 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， 所以恒成立，故的取值范围为； 【小问3详解】 在区间上有3个零点，理由如下： 由于，所以是函数的一个零点，， 当时，此时恒成立，又由（1）知恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； 当时，此时，， 若是的导数，则， 由于恒成立，所以，即在上单调递增， 从而存在使得，且，， 即在区间上递减，区间上递增，从而， 又，所以在有唯一零点，即在上有唯一零点； 当时，此时，从而， 由于时，，所以， 又，从而恒成立， 即在上恒成立，所以在区间上单调递增， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $