精品解析：云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

曲靖一中沾益清源高级中学2025年高一年级秋季学期12月月考 数学学科试卷 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题（本题型共8个题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，则至少经过（参考数据：（ ） A. 110年 B. 115年 C. 112年 D. 120年 8. 已知，对任意，，都有，那么实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（本题型共3个题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定为 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D. 命题“若，则”是假命题 10. 下列函数最小值为4的是（   ） A. B. C. D. 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 若，则 B. 是单调函数 C. 若，则在上没有最值 D. 若，则a的取值范围为 三、填空题（本题型共3个题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，则____________． 14. 已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为___________. 四、解答题（本题型共5个题，其中15题13分，16题、17题各15分，18题、19题各17分，共77分） 15. 求值： （1） （2） 16. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求集合，，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）当时，解关于的方程：； （3）若,求时，的值域. 18. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为． （1）写出与的函数关系式，并求出它的定义域； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中沾益清源高级中学2025年高一年级秋季学期12月月考 数学学科试卷 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题（本题型共8个题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的运算即可求出． 【详解】因为，而， 所以． 故选：B． 2. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质一一验证选项中的定义域能不能使函数的值域为. 【详解】的对称轴为：，开口向上. 对于A：由定义域在对称轴的左侧，可知在上单调递减，可得到值域为，故A正确； 对于B：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故B正确； 对于C：可得到对称轴在定义域内，且左端点离对称轴远一些， 所以函数在对称轴处取最小值，在处取最大值，所以值域为，故C正确； 对于D：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故D错误. 故选：D 3. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a,b,c的范围即可比较其大小关系. 【详解】由题意可知：，则：. 故选C. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数， 且该函数在上为增函数，A选项不满足要求； 对于B选项，函数是定义域为的偶函数，且该函数在上为增函数， B选项不满足要求； 对于C选项，函数是定义域为的奇函数，且该函数在上为减函数， C选项不满足要求； 对于D选项，函数是定义域为的奇函数，且该函数在上为增函数， D选项满足要求. 故选：D. 5. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点， 即由函数在区间上没有零点，可得， 而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点， 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性及函数值的范围，运用排除法求解． 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，又， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B； 当时，，，排除选项D； 当时， ，排除选项C． 故选：A 7. 已知放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，则至少经过（参考数据：（ ） A. 110年 B. 115年 C. 112年 D. 120年 【答案】A 【解析】 【分析】设经过年，得到，结合对数的运算性质，求得，进而得到答案. 【详解】设经过年（为正整数），“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%， 原有“锶90”的含量为，则， 解得，所以， 所以“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，则至少经过年 故选：A. 8. 已知，对任意，，都有，那么实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得在上单调递减，在区间都是减函数，且左段的最低点不低于右段的最高点,得到关于a的不等式组，即可求出a的取值范围. 【详解】任意，，不妨设， ， 在上单调递减， 解得，， 的取值范围是. 故选:D 【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及到二次函数的单调性和对数函数的单调性，要注意分段函数各段有相同的单调性合并后也具有相同单调性的限制条件，是解这类题容易忽略的点，属于中档题. 二、多选题（本题型共3个题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定为 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D. 命题“若，则”是假命题 【答案】CD 【解析】 【分析】根据否定的定义判断A，应用特殊值法判断B，D，根据二次函数对称轴判断C. 【详解】命题，则命题的否定为，A选项错误； 当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，B选项错误； 对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，C选项正确； 当时，得，则命题“若，则”是假命题，D选项正确. 故选：CD. 10. 下列函数最小值为4的是（   ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】二次函数求最值判断A；利用基本不等式求最值判断BCD. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当即，不成立，C错误； 对于D，当时，， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 若，则 B. 是单调函数 C. 若，则在上没有最值 D. 若，则a的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算判断A；利用指数函数、对数函数单调性判断B；确定单调性求出最小值判断C；由定义域及单调性列出不等式求解判断D. 【详解】对于A，由，得，则，，A正确； 对于B，（且）具有相同的单调性， 因此无论还是，函数在上均是单调函数，B正确； 对于C，，，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数有最小值，C错误； 对于D，函数的定义域为，则，即，函数在上单调递增， 由，得，解得，因此a的取值范围为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题型共3个题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图象求出定点的坐标，代入求出的值，然后计算函数值即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 令，解得，则， 所以点坐标为， 又点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的奇函数，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，进而代入即可求解. 【详解】由题意可知，即. 又是奇函数，故，即， ∴对任意都成立，则， ∴.所以， 故答案为： 14. 已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图像，结合图像得到，，，计算得到，将和代入得到，利用此函数的单调性即可得到所求的最小值. 【详解】，对称轴为， 的图像为： 有四个不同的解，且， ，，， ，，，， ， ，是单调递减函数，是单调递减函数， 在范围内是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题型共5个题，其中15题13分，16题、17题各15分，18题、19题各17分，共77分） 15. 求值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根式和指数式的运算性质即可计算求解； （2）由对数的运算性质即可计算求解； 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式． 16. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求集合，，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出集合，，利用补集的定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分和两种情况讨论，根据题意得出关于实数的不等式（组），解出即可． 【小问1详解】 解不等式，即，解得，得， 对于函数，由，解得，则， ，则； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，得到，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 17. 已知函数. （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）当时，解关于的方程：； （3）若,求时，的值域. 【答案】（1） 偶函数，证明如下： ， 为偶函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系来判断的奇偶性； （2）可利用换元法，令简化计算； （3）可利用换元法，令，再结合的范围与函数单调性求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，令，则有， 得或（舍）， 即解得. 【小问3详解】 ，令，则有： ， 得，即的值域为. 18. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为． （1）写出与的函数关系式，并求出它的定义域； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用几何法，根据圆和等腰梯形的性质，列出周长表达式； （2）利用周长关系式，结合二次函数性质求出周长最大值，进而得出相关参数求出面积，令，结合图形形状讨论求出解析式； （3）根据的解析式和已知值，列方程求，进而求出． 【小问1详解】 如图，过作于，圆心为，连接，设，则， 由，得， 整理得，， ， ，，即，解得． 与的函数关系式为，． 【小问2详解】 ，， 当时，取得最大值，此时，，，， 故等腰梯形的底角为，面积为， 令，当时，； 当时，； 当时，； ． 【小问3详解】 ， 令，则时，，解得（舍去）； 当时，，解得满足条件； 当时，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，，故． 19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）、是；不是，理由如下： ， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”． （2）12 （3）证明：因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点． 【解析】 【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $