专题03 期末复习之轴对称（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以“轴对称”为核心，通过考情分析表格系统梳理8个期末考点，明确复习目标与考察形式，结合错题警示和题型分层（基础、提升、培优）构建知识体系，突出等腰三角形等核心考点与各知识点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如最短路径问题通过“饮马模型”转化线段和培养推理能力，情境化识别（镜子里的数字）发展几何直观，易错点总结助学生规避多解漏解，适合分层教学，为教师精准复习提供支持。

专题03 轴对称 期末考点 复习目标 考察形式 1.轴对称图形识别 1.掌握轴对称图形定义及对称轴特征 2.能在生活情境中识别轴对称图形 基础必考题，多为选择（1题）/填空（1题），情境贴合生活 2.轴对称的性质与作图 1.理解对称点连线被对称轴垂直平分； 2.会画图形的轴对称图形及对称轴 基础/中档题，选择/填空/解答（作图题），常结合网格或实际场景 3.坐标与轴对称 1.掌握点关于x轴、y轴对称的坐标 2.能在坐标系中作轴对称图形 基础题，选择/填空（1题），偶见网格作图解答题 4.线段垂直平分线 1.理解并运用垂直平分线的性质与判定； 2.会用尺规作垂直平分线 基础/中档题，覆盖全题型，常与等腰三角形综合 5.等腰（等边）三角形性质与判定 1.掌握“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”； 2.会判定等边三角形 核心考点，覆盖全题型：基础题（选择/填空）、中档题（解答）、压轴题（综合） 6.含30°角的直角三角形性质 1.掌握“30°角对的直角边是斜边的一半”； 2.能运用性质进行线段计算 中档题，多在选择/填空或解答题中嵌套考查 7.最短路径问题 1.掌握“饮马模型”“造桥模型”的解题思路； 2.能运用轴对称转化线段和 中档/压轴题，解答题（1题），常结合生活情境（物流、规划） 8.折叠与轴对称综合 1.理解折叠的轴对称本质； 2.能结合全等、等腰三角形求解折叠问题 压轴题，解答题最后1-2题，近3年教育强省真题高频考点 【易错题型】 【题型1】等腰三角形的多解分类讨论 1.易错点总结 忽略三边关系：已知两边求周长时，未验证“两边之和大于第三边”导致错解。 未分顶角/底角：已知一个内角求角度时，忽略锐角可能是顶角或底角的情况。 高的位置混淆：钝角等腰三角形腰上的高在形外，易误按形内高计算。 2.纠错技巧 分类讨论后必验证：无论边或角分类，均需满足“三边关系”或“内角和”。 明确角的身份：若已知角，则只能是顶角；锐角需分两种情况。 画图辅助判断：涉及高、中线时，先画图确定线段位置（形内/形外）。 【例题1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知等腰 中，， 是 的外角． (1)尺规作图：作 的平分线，与的延长线交于点 E． (2)在(1)的条件下，设 ①求α与β之间的数量关系． ②若 为等腰三角形，求α的值． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 【基础题型】 【题型2】轴对称图形的情境化识别 1.期末考点总结 核心考点：轴对称图形的定义（沿直线折叠后两旁部分完全重合）。 拓展考点：结合生活场景（剪纸、建筑、标志）识别，区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”。 2.解题技巧 核心方法：折叠验证法，想象沿某直线对折，观察两边是否完全重合。 快速技巧：抓对称轴特征（直线、可1条或多条），排除无对称轴或折叠后不重合的图形。 易错提醒：对称轴是直线，而非线段或射线（如“角的对称轴是平分线所在直线”而非角平分线）。 【例题2】.（25-26八年级上·福建福州·月考）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为 ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式题2-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）平面镜中看到“”，实际电子钟示数为 ． 【变式题2-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】坐标与轴对称变换 1.期末考点总结 核心考点：点关于x轴对称、关于y轴对称的坐标规律。 拓展考点：在网格坐标系中作图形的轴对称图形，结合坐标计算线段长度。 2.解题技巧 记准规律：x轴对称纵变号，y轴对称横变号，原点对称全变号（拓展）。 解题步骤：先求特殊点（顶点、端点）的对称坐标，再描点连线形成图形。 验证方法：计算对称点与对称轴的距离，确保距离相等且连线垂直于对称轴。 【例题3】.（25-26八年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，三个顶点都在格点上． (1)若点C的纵坐标不变，横坐标乘，所得的点与点C关于________对称； (2)在图中画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)请直接写出点的坐标_______； (3)在轴上画出一点使的值最小． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）在平面直角坐标系中，． (1)在图中作关于轴对称的； (2)在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____； (3)如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 由图可知：； 【题型4】线段垂直平分线的基础应用 1.期末考点总结 核心考点：垂直平分线的性质（上的点到线段两端距离相等）与判定（到两端距离相等的点在垂直平分线上）。 拓展考点：尺规作线段垂直平分线的作图依据。 2.解题技巧 互化思路：看到“垂直平分线”→联想“距离相等”；看到→联想“在的垂直平分线上”。 尺规作图步骤：以线段两端为圆心，大于线段长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。 易错提醒：判定时需满足“两个点到线段两端距离相等”，才能确定垂直平分线。 【例题4】.（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若点在线段的垂直平分线上，且，则 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中．直线垂直平分，交于点D，交于点E，若，，求的周长． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【提升题型】 【题型5】平面内构成等腰三角形的点的个数探究 1.期末考点总结 核心考点：以给定线段为边或底，在平面（直线、网格、坐标系）中确定能构成等腰三角形的点的个数，本质是利用“两边相等”或“到线段两端距离相等”的性质。 拓展考点：结合图形对称性、垂直平分线性质，分类讨论“给定线段为腰”“给定线段为底”两种情况，避免漏解。 2.解题技巧 分类讨论框架：①以线段为底：作的垂直平分线，垂直线上所有点（除中点与共线的特殊情况）均满足条件；②以线段为腰：分别以、为圆心，长为半径画圆，圆上除、及延长线与圆的交点外，其余点均满足条件。 辅助工具：用圆规画弧（模拟圆）、直尺作垂直平分线，直观呈现交点个数，避免遗漏。 易错提醒：①排除与已知点重合或共线导致无法构成三角形的点；②网格或坐标系中需注意格点限制（若为格点问题），仅统计符合条件的格点；③直线上找点时，需分线段两侧、延长线等位置逐一分析。 【例题5】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式题5-2】.（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． (2)在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 【题型6】等腰三角形的性质与判定综合 1.期末考点总结 核心考点：“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、高重合）。 拓展考点：等腰三角形两腰上的高、中线、角平分线相等。 2.解题技巧 角度计算：抓“相等角”，设未知数（如底角为），结合内角和列方程。 线段证明：利用“三线合一”转化，如遇等腰底边中点，可连接得或。 判定技巧：已知两角相等→直接用“等角对等边”；已知一边相等→需证对应角相等或另一边相等。 【例题6】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求证：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【培优题型】 【题型7】折叠问题与轴对称综合 1.期末考点总结 核心考点：折叠的本质是轴对称，折叠后对应边相等、对应角相等、对称点连线被折痕垂直平分。 拓展考点：结合等腰三角形、直角三角形、勾股定理求解线段长度。 2.解题技巧 关键步骤：①标记对应边、对应角（如折叠后点，则，）；②利用折叠性质得等腰或直角条件；③用勾股定理列方程求解（常用技巧）。 易错提醒：折叠后重叠部分是等腰三角形，需注意隐藏的相等角（如折痕是角平分线）。 真题模型：矩形折叠、三角形折叠、剪纸折叠。 【例题7】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·湖北黄石·月考）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点，连接交于点，若，则 ；若，则的长为 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·广西钦州·期中）综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】（1）在中，若， 猜想与的大小关系； 【操作证明】（2）如图1 ，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的 E点，折线交于点 D，连接，发现，……， 请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】（3）同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．如图3，在中，，，点 E 、F 分别是边、上的动点．当四边形为“筝形”时，请直接写出的度数． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【题型8】最短路径的经典模型与拓展应用 1.期末考点总结 核心考点：利用轴对称性质转化线段和，结合“两点之间线段最短”求解，涵盖“饮马模型”（单直线+两点）、“牧马饮马模型”（两直线+两点）、“造桥模型”（两平行线+两点）。 能力要求：能将生活情境抽象为几何模型，掌握“一次对称”（基本模型）和“多次对称”（拓展模型）的转化方法。 2.解题技巧 基本模型（饮马模型：直线同侧、→直线上点）：①作（或）关于直线的对称点；②连接，与直线交点即为，最小。 拓展模型：①牧马饮马（）：作关于的对称点，关于的对称点，连接与、交点即为所求；②造桥模型（两平行线、，桥）：将平移长度得，连接与交于，作得。 核心思想：将折线和转化为直线段，对称是关键转化工具。 【例题8】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图1，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜，要求建自助取货柜的地方到甲、乙两个居民楼的距离之和最短．如图2，如果把甲、乙两个居民楼和自助取货柜所在的位置分别看作点，道路看作一条直线（点看作在直线上），请用尺规在如图2所示的图形中作出点．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式题8-1】.（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境：“哨塔观测与物资调度”问题——如何为巡逻哨兵设计最短巡查路径？如何让补给车队以最低成本抵达前线？这类问题在军事物流、城市规划、网络路由等领域有着广泛的应用． 问题原型：如图1，一位将军每日需从军营出发，到河边（直线）饮马后，再前往哨所．如何选择饮马点，使得总路程最短？ 数学模型：作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． (1)利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的___________，思想．（填选项字母） A．转化与化归    B．数形结合    C．方程    D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从电站A出发，需先到地面基站边缘进行数据采集，再到河边取水冷却设备，最后返回站．已知，请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹），并根据所画图示计算全程最短路程． 【变式题8-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题． (1)如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 理由：如图3，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，， 因为点，关于直线对称，点，在直线上， 所以 ， ， 所以 ， 在中，依据 ， 可得， 所以， 即最小． (2)迁移应用：如图4，是等边三角形， 是的中点，是边上的中线，，是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，可以拼成多种不同的图形．下列用七巧板拼成的动物图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B．C．D． 2．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数为（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2015·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 7．（重庆市双桥教育集团2025-2026学年八年级上学期第二次阶段检测数学试题）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 8．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 9．（18-19八年级上·吉林延边·期中）如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是 ． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合，则度数为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的两个端点均在格点上． (1)请在图1中找一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形； (2)请在图2中找一个格点D，使得是以为底的等腰三角形，这个三角形的面积为 ； (3)在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 13．（2025八年级上·江苏·专题练习）两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 14．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）综合与实践 如图所示，点O是线段的中点，，，．    (1)如图1，的形状为________； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P． ①求证：；②求的长度． (3)如图2，若动点M在线段上，是等边三角形，则的度数为________；若点M沿着线段从点B运动到点C，点N随之运动，则点N的运动路径的长度为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 期末考点 复习目标 考察形式 1.轴对称图形识别 1.掌握轴对称图形定义及对称轴特征 2.能在生活情境中识别轴对称图形 基础必考题，多为选择（1题）/填空（1题），情境贴合生活 2.轴对称的性质与作图 1.理解对称点连线被对称轴垂直平分； 2.会画图形的轴对称图形及对称轴 基础/中档题，选择/填空/解答（作图题），常结合网格或实际场景 3.坐标与轴对称 1.掌握点关于x轴、y轴对称的坐标 2.能在坐标系中作轴对称图形 基础题，选择/填空（1题），偶见网格作图解答题 4.线段垂直平分线 1.理解并运用垂直平分线的性质与判定； 2.会用尺规作垂直平分线 基础/中档题，覆盖全题型，常与等腰三角形综合 5.等腰（等边）三角形性质与判定 1.掌握“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”； 2.会判定等边三角形 核心考点，覆盖全题型：基础题（选择/填空）、中档题（解答）、压轴题（综合） 6.含30°角的直角三角形性质 1.掌握“30°角对的直角边是斜边的一半”； 2.能运用性质进行线段计算 中档题，多在选择/填空或解答题中嵌套考查 7.最短路径问题 1.掌握“饮马模型”“造桥模型”的解题思路； 2.能运用轴对称转化线段和 中档/压轴题，解答题（1题），常结合生活情境（物流、规划） 8.折叠与轴对称综合 1.理解折叠的轴对称本质； 2.能结合全等、等腰三角形求解折叠问题 压轴题，解答题最后1-2题，近3年教育强省真题高频考点 【易错题型】 【题型1】等腰三角形的多解分类讨论 1.易错点总结 忽略三边关系：已知两边求周长时，未验证“两边之和大于第三边”导致错解。 未分顶角/底角：已知一个内角求角度时，忽略锐角可能是顶角或底角的情况。 高的位置混淆：钝角等腰三角形腰上的高在形外，易误按形内高计算。 2.纠错技巧 分类讨论后必验证：无论边或角分类，均需满足“三边关系”或“内角和”。 明确角的身份：若已知角，则只能是顶角；锐角需分两种情况。 画图辅助判断：涉及高、中线时，先画图确定线段位置（形内/形外）。 【例题1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 【详解】解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论等腰三角形的腰（或底）的情况是解题的关键．先求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形时的可能值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 情况1：当时， ∵， ∴， ∴， 情况2：当时， ∵， ∴，此时，点P不在线段上，不符合题意，应舍去； 情况3：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知等腰 中，， 是 的外角． (1)尺规作图：作 的平分线，与的延长线交于点 E． (2)在(1)的条件下，设 ①求α与β之间的数量关系． ②若 为等腰三角形，求α的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），以点B为圆心，以为半径画弧，交于点H，再以点G，H为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交的延长线于点E，则即为所求作； 对于（2），①根据等边对等角得则可得，再根据角平分线定义得，然后整理可得关系式； ②分两种情况：当时，根据求出，进而得出答案；当时， 根据三角形内角和定理求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．       （2）解：①∵ ∴ ∴, ∵平分 ， ∴； ②∵， ∴有下列两种情况： a．当时，是等腰三角形， ∵， b．当时，是等腰三角形， ． 综上所述，α的值为或． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 (4)或 【分析】（1）依题意补全图形；根据轴对称可知：，得出，则可得出答案； （2）由等腰三角形的性质可求的度数，由外角性质可求解； （3）在上截取，由对称可知：，得出，则，证明，得出，则可得出结论； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质及轴对称的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图， 为等边三角形， ， 根据轴对称可知：， ，， ； （2）解：由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 在上截取，如图： 是等边三角形， ， 由对称可知：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由对称可知：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （4）解：分以下三种情况： ①当时，延长交于点，如图所示： ，， 垂直平分，即垂直平分， 为等边三角形， ， ， 根据轴对称可知：； ②当时，如图： 根据轴对称可知：， ， 是等边三角形， ， ； ③当时，如图： ，， 垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， 三点在同一条直线上， （不合题意，舍去）， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【基础题型】 【题型2】轴对称图形的情境化识别 1.期末考点总结 核心考点：轴对称图形的定义（沿直线折叠后两旁部分完全重合）。 拓展考点：结合生活场景（剪纸、建筑、标志）识别，区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”。 2.解题技巧 核心方法：折叠验证法，想象沿某直线对折，观察两边是否完全重合。 快速技巧：抓对称轴特征（直线、可1条或多条），排除无对称轴或折叠后不重合的图形。 易错提醒：对称轴是直线，而非线段或射线（如“角的对称轴是平分线所在直线”而非角平分线）。 【例题2】.（25-26八年级上·福建福州·月考）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式题2-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）平面镜中看到“”，实际电子钟示数为 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，熟练掌握原理和性质是解题的关键； 平面镜成像左右颠倒，但数字0和1对称，且时间字符串“”自身对称，故实际时间与镜中时间相同． 【详解】平面镜中看到的时间是实际时间的左右镜像．电子钟数字中，数字0和1在镜中保持不变，冒号对称．将镜中时间“”反转顺序并考虑数字对称性，得到实际时间仍为“”． 故答案为：． 【变式题2-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 【题型3】坐标与轴对称变换 1.期末考点总结 核心考点：点关于x轴对称、关于y轴对称的坐标规律。 拓展考点：在网格坐标系中作图形的轴对称图形，结合坐标计算线段长度。 2.解题技巧 记准规律：x轴对称纵变号，y轴对称横变号，原点对称全变号（拓展）。 解题步骤：先求特殊点（顶点、端点）的对称坐标，再描点连线形成图形。 验证方法：计算对称点与对称轴的距离，确保距离相等且连线垂直于对称轴。 【例题3】.（25-26八年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标规律． 关于y轴对称的点坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点Q关于y轴对称， ∴点Q的坐标为． 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，三个顶点都在格点上． (1)若点C的纵坐标不变，横坐标乘，所得的点与点C关于________对称； (2)在图中画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)y轴 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题意求出所得点的坐标即可得到答案； （2）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为， 则点C的纵坐标不变，横坐标乘，所得的点的坐标为， ∴所得的点与点C关于y轴对称； （2）解：如图所示，即为所求，则． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)请直接写出点的坐标_______； (3)在轴上画出一点使的值最小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换——轴对称，线段最短问题，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两点间线段最短是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）点的坐标为； （3）如图，点为所作． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）在平面直角坐标系中，． (1)在图中作关于轴对称的； (2)在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____； (3)如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)或或 【分析】本题考查坐标与图形．熟练掌握轴对称的画法，全等三角形的性质，是解题的关键． （1）找到关于y轴的对称点，再进行连线，即可得到； （2）利用关于轴对称求出、，直接进行计算即可； （3）画出与全等的以B，C，D为顶点的三角形，根据图形确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：点关于轴对称点为， 所以,， 则， 故答案为：4； （3）解：如图，共有3个以B，C，D为顶点的三角形与全等， 由图可知：； ∴以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点坐标为：或或． 【题型4】线段垂直平分线的基础应用 1.期末考点总结 核心考点：垂直平分线的性质（上的点到线段两端距离相等）与判定（到两端距离相等的点在垂直平分线上）。 拓展考点：尺规作线段垂直平分线的作图依据。 2.解题技巧 互化思路：看到“垂直平分线”→联想“距离相等”；看到→联想“在的垂直平分线上”。 尺规作图步骤：以线段两端为圆心，大于线段长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。 易错提醒：判定时需满足“两个点到线段两端距离相等”，才能确定垂直平分线。 【例题4】.（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若点在线段的垂直平分线上，且，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等解答即可得． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上，且， ∴， 故答案为：7． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角等知识，先根据“是三边垂直平分线的交点”得到，，从而可知，，用三角形的内角和求出，从而得到，则，最后再用三角形内角和求解即可． 【详解】如图，连接． ∵是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式题4-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中．直线垂直平分，交于点D，交于点E，若，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分， ， ，， 的周长． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 【提升题型】 【题型5】平面内构成等腰三角形的点的个数探究 1.期末考点总结 核心考点：以给定线段为边或底，在平面（直线、网格、坐标系）中确定能构成等腰三角形的点的个数，本质是利用“两边相等”或“到线段两端距离相等”的性质。 拓展考点：结合图形对称性、垂直平分线性质，分类讨论“给定线段为腰”“给定线段为底”两种情况，避免漏解。 2.解题技巧 分类讨论框架：①以线段为底：作的垂直平分线，垂直线上所有点（除中点与共线的特殊情况）均满足条件；②以线段为腰：分别以、为圆心，长为半径画圆，圆上除、及延长线与圆的交点外，其余点均满足条件。 辅助工具：用圆规画弧（模拟圆）、直尺作垂直平分线，直观呈现交点个数，避免遗漏。 易错提醒：①排除与已知点重合或共线导致无法构成三角形的点；②网格或坐标系中需注意格点限制（若为格点问题），仅统计符合条件的格点；③直线上找点时，需分线段两侧、延长线等位置逐一分析。 【例题5】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． (2)在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)①见解析（答案不唯一）；②6 【分析】本题考查了轴对称图形、等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的格点问题是解题关键． （1）根据轴对称图形的定义作图即可得； （2）①根据等腰三角形与网格特点作出，由此即可得； ②根据等腰三角形与网格特点画出，，的所有情况，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求（答案不唯一）． （2）解：①如图，等腰三角形即为所求（答案不唯一）． ②满足为等腰三角形的格点如下： 由图可知，满足为等腰三角形的格点共有6个． 故答案为：6． 【题型6】等腰三角形的性质与判定综合 1.期末考点总结 核心考点：“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、高重合）。 拓展考点：等腰三角形两腰上的高、中线、角平分线相等。 2.解题技巧 角度计算：抓“相等角”，设未知数（如底角为），结合内角和列方程。 线段证明：利用“三线合一”转化，如遇等腰底边中点，可连接得或。 判定技巧：已知两角相等→直接用“等角对等边”；已知一边相等→需证对应角相等或另一边相等。 【例题6】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出，根据，得，，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）证明△△，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，再求出，然后由三角形内角和定理得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在△和△中， ， △△， ， ， ； （2）证明：在△中，，， ， ， ， ， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则 或． 【培优题型】 【题型7】折叠问题与轴对称综合 1.期末考点总结 核心考点：折叠的本质是轴对称，折叠后对应边相等、对应角相等、对称点连线被折痕垂直平分。 拓展考点：结合等腰三角形、直角三角形、勾股定理求解线段长度。 2.解题技巧 关键步骤：①标记对应边、对应角（如折叠后点，则，）；②利用折叠性质得等腰或直角条件；③用勾股定理列方程求解（常用技巧）。 易错提醒：折叠后重叠部分是等腰三角形，需注意隐藏的相等角（如折痕是角平分线）。 真题模型：矩形折叠、三角形折叠、剪纸折叠。 【例题7】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /48度 /80度 【分析】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，求出，根据平行线的性质证得，根据翻转的性质证得； （2）设交于F，由证得，设为，则由翻折可知，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 故答案为：； （2）解：设交于F，如图： 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 设为，则 由翻折可知， 解得 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·湖北黄石·月考）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点，连接交于点，若，则 ；若，则的长为 ． 【答案】 /46度 【分析】由已知可得，，由平行线的性质结合已知可得，由折叠的性质可得，，，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得；由，可得，由三角形外角的性质，结合平行线的性质，可得，由对顶角相等，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，可得，，可得是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：∵长方形纸片中，，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，对顶角相等，含角的直角三角形，三角形外角的性质． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·广西钦州·期中）综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】（1）在中，若， 猜想与的大小关系； 【操作证明】（2）如图1 ，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的 E点，折线交于点 D，连接，发现，……， 请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】（3）同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．如图3，在中，，，点 E 、F 分别是边、上的动点．当四边形为“筝形”时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）的度数为或． 【分析】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理，理解“筝形”的定义是解题关键． （1）做出自己猜想即可； （2）由折叠可得出，再根据三角形外角性质即可解答； （3）由题意可求出，再分类讨论：①当，时和②当，时，结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）在三角形中长边对应大角，猜想：； （2）由折叠可知， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴． 分类讨论：①当，时，四边形为“筝形”，如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ②当，时，四边形为“筝形”，如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上可知或． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 【题型8】最短路径的经典模型与拓展应用 1.期末考点总结 核心考点：利用轴对称性质转化线段和，结合“两点之间线段最短”求解，涵盖“饮马模型”（单直线+两点）、“牧马饮马模型”（两直线+两点）、“造桥模型”（两平行线+两点）。 能力要求：能将生活情境抽象为几何模型，掌握“一次对称”（基本模型）和“多次对称”（拓展模型）的转化方法。 2.解题技巧 基本模型（饮马模型：直线同侧、→直线上点）：①作（或）关于直线的对称点；②连接，与直线交点即为，最小。 拓展模型：①牧马饮马（）：作关于的对称点，关于的对称点，连接与、交点即为所求；②造桥模型（两平行线、，桥）：将平移长度得，连接与交于，作得。 核心思想：将折线和转化为直线段，对称是关键转化工具。 【例题8】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图1，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜，要求建自助取货柜的地方到甲、乙两个居民楼的距离之和最短．如图2，如果把甲、乙两个居民楼和自助取货柜所在的位置分别看作点，道路看作一条直线（点看作在直线上），请用尺规在如图2所示的图形中作出点．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称解决最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”，通过作对称点转化距离和． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求． 【详解】 如图所示，点即为所求． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴ ， ， ∴ ． ∵在中，， ∴ ，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境：“哨塔观测与物资调度”问题——如何为巡逻哨兵设计最短巡查路径？如何让补给车队以最低成本抵达前线？这类问题在军事物流、城市规划、网络路由等领域有着广泛的应用． 问题原型：如图1，一位将军每日需从军营出发，到河边（直线）饮马后，再前往哨所．如何选择饮马点，使得总路程最短？ 数学模型：作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． (1)利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的___________，思想．（填选项字母） A．转化与化归    B．数形结合    C．方程    D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从电站A出发，需先到地面基站边缘进行数据采集，再到河边取水冷却设备，最后返回站．已知，请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹），并根据所画图示计算全程最短路程． 【答案】(1)A (2)6 (3)整个巡检过程的最短路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的性质与判定； （1）利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的转化与化归的思想； （2）如图，连接，，过点作于点，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的转化与化归的思想； 故选：A． （2）如图1，连接，，过点作于点． 在等边中，是的平分线， 点关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． 和都是等边三角形的高， ， 的最小值为6． （3）如图2，如图，分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．   由题意，得． ， ， 为等边三角形， ． ， ， 整个巡检过程的最短路程为． 【变式题8-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题． (1)如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 理由：如图3，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，， 因为点，关于直线对称，点，在直线上， 所以 ， ， 所以 ， 在中，依据 ， 可得， 所以， 即最小． (2)迁移应用：如图4，是等边三角形， 是的中点，是边上的中线，，是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】(1)，，，三角形中任意两边的和大于第三边 (2)6 【分析】本题主要考查的是轴对称图形的性质以及两点之间线段最短，三角形三边关系，等边三角形的性质等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到，，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边求解即可； （2）连接，，根据题意得到当点N，M，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后根等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以，， 所以， 在中，依据三角形的任意两边之和大于第三边 可得 所以 即最小． 故答案为：，，三角形的任意两边之和大于第三边； （2）解：如图所示，连接，， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点N，M，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵，N是的中点，是等边三角形， ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，可以拼成多种不同的图形．下列用七巧板拼成的动物图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，涉及三角形内角和，掌握分类讨论思想是解题关键． 由于未指定角的是顶角还是底角，需分情况讨论，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：若的角为顶角，则顶角的度数为； 若的角为底角，则顶角的度数为， 顶角的度数为或． 故选：． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2015·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】BB 【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值， 在等边中，于点D， ， ， ， E是边的中点， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 7．（重庆市双桥教育集团2025-2026学年八年级上学期第二次阶段检测数学试题）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—轴对称，理解关于轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等是解题关键． 根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴横坐标互为相反数，纵坐标相等， 即且． 解得且， ∴，． ∴． 故答案为． 8．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 9．（18-19八年级上·吉林延边·期中）如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键． 作关于，的对称点，，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形， ，，得出结论． 【详解】作关于，的对称点，连接，，、， 则， ∴， ∴，是与，的交点时，的周长最短， 关于对称， ，，， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合，则度数为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，可推出，是的垂直平分线，从而得到，然后根据是的垂直平分线，进而得到，由等边对等角可知，接着根据折叠的性质得到，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，得到是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的两个端点均在格点上． (1)请在图1中找一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形； (2)请在图2中找一个格点D，使得是以为底的等腰三角形，这个三角形的面积为 ； (3)在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，2.5 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义画出图形； （2）构造等腰直角三角形即可，利用等腰直角三角形的性质求出三角形面积； （3）取格点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1中，△即为所求； （2）解：如图2中，△即为所求，△是等腰直角三角形，，， △的面积． 故答案为：2.5； （3）解：如图2中，直线即为所求． 13．（2025八年级上·江苏·专题练习）两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法及角平分线的性质、线段垂直平分线的作法及线段垂直平分线的性质；作出的角平分线及线段的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 故点C即为所求作的点． 14．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； (2)存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【分析】本题主要考查点的运动，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据点的运动速度与点的运动速度相等，，又，由等边三角形的性质可得，由此可证和全等，； ②分类讨论：当时，是直角三角形；当时，是直角三角形；由含角的直角三角形的性质列式求解； （2）点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒，分类讨论：当时，（厘米），，当时，（厘米），，据此列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①和全等，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度相等，即6厘米/秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，即厘米/秒， ∴， ∴， ∴， 解得，； 当时，是直角三角形， 同理，，则， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； （2）解：存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当时，（厘米），， ∴， 解得，（厘米/秒），即点的运动速度为厘米/秒，不符合题意，舍去； 当时，（厘米），， ∴，， 解得，，（厘米/秒）； 综上所述，点的运动速度与点的运动速度不相等，和全等时，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）综合与实践 如图所示，点O是线段的中点，，，．    (1)如图1，的形状为________； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P． ①求证：；②求的长度． (3)如图2，若动点M在线段上，是等边三角形，则的度数为________；若点M沿着线段从点B运动到点C，点N随之运动，则点N的运动路径的长度为________． 【答案】(1)等边三角形 (2)①见解析；②8 (3)或，8 【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，再得，即可证明是等边三角形； （2）①根据证明即可； ②根据①中，可得出，继而得到，即可求得的长度； （3）取的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 是线段中点，， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）解：① 、是等边三角形， ，，， ， ； ② ， ， ， ， ， ； （3）解：取的中点H，连接，连接， 分两种情况讨论： 当M在线段上时，如图2， ∵H是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴， 点从起点到做直线运动， 当点M在点B时，， 点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于4； 当点M在线段上时，如图3， H是的中点，， ， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，， ， ， 点从到终点做直线运动， ∵当点M在点C时，， ∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于4； 综上所述，的度数为或，的路径长度为：． 故答案为：或，8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，及全等三角形的性质与判定，发现或构造全等三角形是解题的关键， 学科网（北京）股份有限公司 $