专题09 期末复习之选择填空压轴题（考情分析+大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义通过表格系统梳理全等三角形、轴对称等8大期末核心考点，明确复习目标与考察形式，按选择填空压轴题型分层构建知识脉络，呈现各考点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型分层+解题技巧”设计，如轴对称最短路径专题通过“对称转化”模型和勾股定理计算培养几何直观，全等多结论判断题强调“逐一验证与举反例”发展推理能力。例题与变式题梯度递进，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题09选择填空压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质综合 1.熟练运用全等判定定理，解决多结论判断； 2.掌握对应边/角等量转化技巧 选择填空压轴（第10-12题），多结论判断形式 2.轴对称、线段垂直平分线/角平分线性质与最短路径 1.运用轴对称性质转化线段； 2.掌握“将军饮马”变式模型 选择填空压轴（第11-13题），情境化求解最短距离 3.等腰三角形分类讨论（角度/边长计算） 1.掌握等腰三角形“顶角/底角”“腰/底边”分类； 2.规避边长为负、三角形三边关系矛盾等易错点 选择填空压轴（第10/16题），单题分类求解 4.整式乘法（幂的运算）与因式分解（提公因式、公式法）综合 1.熟练运用幂的运算法则、因式分解技巧； 2.掌握整体代入求值思想 选择填空压轴（第15-17题），代数式求值、规律探究形式 5.分式方程的增根、无解与隐含条件 1.理解增根与无解的区别； 2.掌握分母不为0的隐含条件 选择填空压轴（第16-18题），判断取值范围、求参数值 6.网格中几何变换（全等/轴对称）与坐标计算 1.利用网格特性定位坐标、判断全等； 2.结合轴对称性质求对应点坐标 选择填空压轴（第12-14题），图形变换与坐标结合形式 7.三角形角度综合（双角平分线、折叠/旋转） 1.掌握三角形内角和、外角性质； 2.运用折叠/旋转的全等性质转化角度 选择填空压轴（第11/17题），多角关联计算形式 8.代数式最值（配方）与规律探究 1.掌握完全平方公式配方技巧； 2.归纳幂的运算、图形规律 选择填空压轴（第18题），规律推导、最值求解形式 【题型1】全等三角形多结论判断（选择压轴） 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、对应边/对应角相等性质 考察要求：逐一验证结论真伪，判断正确命题个数 2.解题技巧 逐一验证：按判定定理推导每个结论，紧扣“相等条件”（边/角对应关系） 举反例：对疑似错误结论，构造不符合条件的图形否定 标记对应：用符号标注全等三角形的对应元素（如，标注） 【例题1】.（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；由②得，延长至点K，使，连接，可得是等边三角形，得到，，证明得到，根据线段的和差即可判断④． 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，．是上一点，延长到，使，连接，延长交于点．则下列结论中：①；②；③若，则；④． 其中正确的有： （填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．①利用定理证明即可；②根据全等三角形的性质可得，进而得到；③由题可知为等腰直角三角形，可得，再根据可得，进而得到，结合，即可求得；④根据四边形内角和为，即可得到． 【详解】证明：①， ， 在和中， ， ， 故①正确； ②， ， 又， ，即， ； 故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ④， ， ， 在四边形中，， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，在中，，的平分线与的外角的平分线相交于点M，延长得到射线，作射线，有下列四个结论：①；②；③射线是的平分线；④，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等． 作于点H，于点F，于点G，由角平分线的性质可得，，进而可得，由角平分线的判定定理可得射线是的平分线，可判断③正确；利用三角形外角的性质及角平分线的定义，可得，，可判断①④正确；假设，则，由角平分线的定义得，，进而可得，推出，与得出的矛盾，可判断②错误． 【详解】解：如图，作于点H，于点F，于点G， 的平分线与的平分线相交于点M， ，， ， 射线是的平分线，故③正确； 由三角形外角的性质得，， 的平分线与的平分线相交于点M， ，， ， ，故①正确； 同理可证， ，故④正确； 假设， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ， 假设不成立，故②错误； 综上可知，正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，，，故②正确； 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ，故③正确； ，， ，， ， ，故④不正确； 正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【题型2】轴对称与最短路径（将军饮马变式） 1.期末考点总结 核心考点：轴对称性质（对应点连线被对称轴垂直平分）、两点之间线段最短 考察要求：解决直线同侧/异侧点到直线、两直线到点的最短路径问题 2.解题技巧 对称转化：作其中一点关于直线的对称点，将折线转化为线段 模型识别：锁定“将军饮马”“两线一点”“两点两线”等变式模型 计算验证：结合坐标或网格，用勾股定理（）计算线段长度 【例题2】.（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到的最小值时点H的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为，此时最短，利用条件求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性较强． 首先证明点在射线上运动，，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴， ∴点在射线上运动， 若的周长最小，即最小, 作点关于直线的对称点，连接交于，连接，，此时的值最小，如下图所示： ∵，， ∴， 即是等边三角形， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质．连接，过作点C的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，设，交于点Q，证明，求得的值，再进一步证得为等边三角形，从而得到的值，由于C，O关于对称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果． 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P， 由对称可知，，， ∵，，点D为中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合， 如图，设，交于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C，O关于对称， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，掌握将军饮马的数学模型是解题的关键． 过作点A的对称点，连接，故，根据图形可知当三点共线，且时，最小，可得三点共线，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过作点A的对称点，连接， 由对称可知，，， ， 根据图形可知当三点共线，且时，最小， 又， 三点共线， ， ． 故答案为：． 【题型3】等腰三角形分类讨论（角度/边长计算） 1.期末考点总结 核心考点：等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”、三角形三边关系（两边之和大于第三边） 考察要求：分类计算顶角/底角、腰长/底边长，规避漏解 2.解题技巧 角度分类：未明确顶角时，分“已知角为顶角”“已知角为底角”两类 边长分类：未明确腰底时，分“某边为腰”“某边为底”两类，结合三边关系取舍 验证取舍：计算后检验角度和为、边长为正且满足三边关系 【例题3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地画出图形是解题的关键． 分三种情况讨论，即或或，利用三角形内角和和等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：①如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； ②如图，当时， 是的“等腰线段”， ， ； ③如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； 综上所述：若存在“等腰线段”，则的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在中，，以为斜边作等腰，连接，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，分点在的上方和下方，两种情况，进行讨论求解即可．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，当点在的上方时，作于点，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以为斜边作等腰， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当点在的下方时，作于点，作，交的延长线于点， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）在中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形（无等腰直角三角形），则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，在中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键．根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示： ， ，， ； 如图3所示： ， ，， ； 如图4所示： ， ，，， ； 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形转化角和边的关系． 分两种情况讨论为直角三角形时的角度，利用全等三角形的性质和角度关系计算的度数． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接， , , 在和中， ， , ， 点E为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： , ， ， , ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ; 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【题型4】整式乘法与因式分解综合求值（整体代入） 1.期末考点总结 核心考点：幂的运算法则（、）、因式分解（提公因式、平方差、完全平方） 考察要求：通过因式分解转化代数式，利用整体代入求值 2.解题技巧 因式分解优先：将待求式或已知式分解为“乘积形式”，寻找公因式 整体代换：设中间变量（如设、），简化计算 公式逆用：灵活运用完全平方、平方差公式的逆运算，凑整变形 【例题4】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知实数均满足，则代数式的最小值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的最小值，利用完全平方公式进行变形是关键；由条件 得 ，代入代数式化简为关于 的代数式，进而求最小值 【详解】解：∵ ， ∴ . 令 ，则 ； ∴ 在 时最小值为 时的对应值， ∴ 当 时，最小值为 ， 故选B 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·重庆·月考）已知整式（，，，，，都为自然数） 下列说法： ①不可能为二次四项式； ②若对于任意的自然数，都有，且为奇数，记，，则当时，满足条件的不同共有2个； ③记，，，，，（为正整数），若且，则存在，使得中的最高次项的系数为； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的相关概念、整式乘法的规律、因式分解的应用，理解题意是解题的关键． 当的次数为2时，即时，则，可判断①；根据题意可得都为自然数，且，由求出，再分情况讨论可判断②；根据题意列举出中的最高次项的系数的变化规律，可判断③，即可得出答案． 【详解】解：当的次数为2时， 即时，，最多有三项， ∴不可能为二次四项式，故①正确； 由题意得，都为自然数，且， ∵， ∴，即， ∴或 解得或（舍去）， 当时，则，，此时，符合题意； 当时，则，， ∵， ∴，， 当，则，此时，符合题意； 当，则，此时，符合题意； 当时，不存在符合题意的情况，舍去； ∴满足条件的不同共有3个，故②错误； ，， ∴，， ∴， ∴中的最高次项的系数为， 同理可得，中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 依此类推，当时，中的最高次项的系数大于， ∴不存在，使得中的最高次项的系数为，故③错误； 综上，正确的个数是1． 故选：B． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出，的表达式．记产品原价为，根据题意分别表示出，，用作差法比较大小，即可解题． 【详解】解：记产品原价为， 则，， ， ∵互不相等的正数， ， ， 故答案为：． 【题型5】分式方程的增根与无解问题 1.期末考点总结 核心考点：分式方程增根的定义（使分母为0的根）、无解的条件（整式方程无解或解为增根） 考察要求：求分式方程中参数的取值，判断解的情况 2.解题技巧 步骤规范：①去分母转化为整式方程；②求增根（令分母为0）；③将增根代入整式方程求参数 区分概念：增根是“整式方程有解但使分式方程无意义”，无解包含“整式方程无解”和“解为增根” 检验分母：牢记分式有意义的前提——所有分母不为0 【例题5】.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）若关于x的方程无解，则k的值为（    ） A．－1 B．2 C．或2 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到整式方程无解或整式方程的解是增根，分类讨论求出k的值即可． 【详解】解： 两边同时乘以得， 整理得， 当整式方程无解时，， 解得， 当整式方程的解是分式方程的增根时，， 即， 解得， 综上所述k的值为或2， 故选：C． 【变式题5-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）若分式方程无解，则m的值为（   ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，掌握分式方程无解的意义是解题的关键． 将分式方程进行化简，考虑解为增根或者化简后方程存在矛盾无解． 【详解】原方程 ， 交叉相乘得：，即 ， 整理得：， 当 时，方程化为 ，矛盾，无解， 当 时，方程无解，代入得， 即 ，解得， 但 时，原方程分母为零，无解， 综上， 或 时方程无解， 故选 C． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·山东济宁·期中）当 时，关于的方程会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分母为0的根； 本题中，最简公分母为，因此增根可能为或，将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，然后分别将增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：原方程：， 最简公分母为， 两边乘以最简公分母得：， 整理得：， 即：， 若增根为，代入整式方程：，解得， 若增根为，代入整式方程：，解得， 故当或时，方程会产生增根． 【题型6】分式化简求值与取值范围 1.期末考点总结 核心考点：分式基本性质、分式化简（因式分解约分）、隐含条件（分母不为0、被开方数非负） 考察要求：化简分式后求取值范围或特定值 2.解题技巧 先化简再求值：通过因式分解约分，将分式化为最简形式 列限制条件：列出所有分母不为0的不等式，求解取值范围 代入检验：选择符合条件的数值代入，避免增根 【例题6】.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的方程的解为非负数．则m的取值范围为（   ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式方程的解，正确解出分式方程是解题关键． 首先解分式方程，进而利用方程的解为非负数，得m的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：， ，且， 解得且， 又关于x的方程的解为非负数， 所以，且，解得且． 故选：C． 【变式题6-1】.（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再根据分式方程有正数解得不等式，求解不等式得结论．本题主要考查了分式方程，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 整理，得， 关于x的分式方程有正数解， 且 且 故答案为：且 【变式题6-2】.（25-26九年级上·重庆·期中）若一个四位自然数N的千位数字与个位数字之和恰好是N的百位数字与十位数字之和的3倍，则称这个四位数N为“优数”．一个“优数”N的千位数字为x，百位数字为y，十位数字为z，个位数字为w，记，．其中为整数，是3的倍数．则 ；所有满足条件的N的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 5 3087 【分析】此题考查了整式的加减，分式的运算，以及解分式方程等知识，读懂题意，求出时，是解题的关键． 根据定义得到，结合为整数得到时，，求出，然后根据是3的倍数讨论即可． 【详解】解：， ， 为整数． ∴是5的倍数， ∵，， ∴， ∵ ∴． ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ；， ；， ， ∵是3的倍数． ∴当时，无符合题意的解； 当时，或，经检验符合题意，此时，； 当时，或，经检验符合题意，此时，； 当时，，经检验符合题意，此时； 当时，无符合题意的解； 综上，满足条件的N有6239、6329、6419、9236、9326．最大值为9326，最小值为6239，差值为．   故答案为：5，3087． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·重庆·期中）是一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，满足百位数字大于个位数字且百位数字与十位数字之和等于个位数字的2倍，交换的百位数字和个位数字得到新数，记，若被7除余5，则称为“行知数”．设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，（1）请用含有、的式子表示 ；（2）若规定，则所有“行知数”的的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，分式的运算，整式的运算，新定义等知识，掌握新定义是关键. 对于(1)，通过表示和的代数形式，计算差值并化简得到；对于(2)，利用同余条件确定，结合得到的关系，枚举所有可能，计算并求和． 【详解】解：（1）设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则，， 因此， 故; （2）由被7除余5， 即被7除余5. 11被7除余4， 被7除余5， 被7除余3. 和为1至9的数字且， . 又由条件，代入得，即， 因此，. 由均为1至9的数字，可得， 当时，；当时，；当时，， 因此的可能值为. 计算. 对于，，绝对值为3； 对于，，绝对值为； 对于，，绝对值为9； 故的值之和为. 故答案为：. 【题型7】网格中几何变换与坐标综合 1.期末考点总结 核心考点：网格坐标定位、全等三角形判定、轴对称性质（对称点坐标特征） 考察要求：在网格中确定点的坐标、判断全等、求对称点坐标或线段长度 2.解题技巧 坐标定位：以网格交点为原点，确定横纵坐标，标注关键点坐标 全等判断：利用网格边长相等、直角相等，快速验证SSS、SAS 对称计算：关于轴对称（横坐标不变，纵坐标变号），关于轴对称（纵坐标不变，横坐标变号） 【例题7】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，且．若的平分线交x轴于点C，P，Q分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过利用角平分线的对称性，将线段和的最小值转化为点到直线的距离来求解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于点． 平分， ． 在和中， ， ， ． 点到直线上垂线段最短， 的最小值为的长度． 点的坐标为，点B的坐标为， ． ． ， 的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，解题关键是利用角平分线的对称性将线段和的最小值转化为点到直线的距离，再通过三角形面积公式求解． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，在坐标系中，点坐标为，点坐标为，点在第二象限内，是以为斜边的等腰直角三角形，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，过已知点向坐标轴作平行线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．设点的坐标为，过点作轴的平行线，交轴于，过点作于点，证明，得到，，列式解方程即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限内， ，， 如图所示，过点作轴的平行线，交轴于，过点作于点， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 即，解得， 点的坐标为． 【题型8】三角形双角平分线模型角度计算 1.期末考点总结 核心考点：三角形内角和定理（）、角平分线定义、外角性质 考察要求：推导双角平分线夹角公式，计算目标角度 2.解题技巧 公式推导：两内角平分线夹角，内角与外角平分线夹角 模型提取：在复杂图形中分离核心三角形，忽略无关线段 代入计算：直接套用推导公式，结合已知角快速求解 【例题8】.（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，中，平分，平分，与相交于点，、、都是的外角平分线，设，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，再结合可解答①；先根据三角形内角和定理和角平分线定义得， 再根据平角定义可得 ，进而说明②；对于③结合可判断；先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线的定义得出，即可判断④. 【详解】解：平分，平分， ∴. ∵， ∴. 在中，， ∴ ； 所以①正确； ∵和是的外角平分线， ∴. 在中，， ∴. ∵， ∴ ， ∴； 所以②正确； 由上述可知： ； 所以③正确； ∵平分， ∴. ∵是的外角，是的外角. ∴， ∴，， 即， ∴， 即； 所以④不正确. 则正确的有①②③. 故选：B. 【变式题8-2】.（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，    设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长得到三角形，进行角度的转换，用表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别为平面直角坐标系中轴正半轴和轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点；再作平分，平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点…作平分，平分，两直线相交于点． （1） ． （2），那么 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的找规律题，根据角平分线和角的和与差先得出前几个角的度数，则可发现规律．熟练运用角度的和与差是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵作平分，平分，两直线相交于点， ∴， ∵作平分，平分，两直线相交于点， ∴， …… 用同样的方法可得： ， ∴， 设①， ∴②， ②－①，得：， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 【题型9】折叠/旋转中的三角形角度计算 1.期末考点总结 核心考点：折叠/旋转的全等性质（对应角相等、对应边相等）、三角形内角和与外角性质 考察要求：利用全等转化角度，计算折叠/旋转后的目标角 2.解题技巧 标记对应：用相同符号标注折叠/旋转后的对应角（如） 角度链构建：通过全等性质建立已知角与未知角的等量关系链 分步计算：先求中间过渡角，再代入三角形内角和公式求目标角 【例题9】.（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，根据经过三次折叠是的好角，所以第三次折叠的，由，，又，，，由此即可求得结果，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点． 【详解】解：在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，则是的好角． 理由如下：根据折叠的性质知，，，， 根据三角形的外角定理知，； 根据四边形的外角定理知，， 根据三角形的内角和定理知，， ； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 故若经过次折叠是的好角，则与（不妨设之间的等量关系为， 最小角是是的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为， （其中、都是正整数）． 由题意，得，所以． 因为、都是正整数，所以与是11的整数因子， 因此有：， ； 所以，； 所以， ； 所以该三角形的另外两个角的度数分别为：； 故选：B． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键； 由折叠的性质和平行线的性质分别求出各个角之间的数量关系，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，但不一定等于， ∴不一定垂直于， ∴不一定与平行，故②不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴即，故③正确； ∵， 又∵， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：延长至，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，当取最大值时，有最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ， 如图，延长至，使，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ∵，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， ∴当三点共线时，有最大值为12， ∴有最大值为6， 故答案为：6． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·重庆綦江·月考）如图，在中，，把折叠，使落在上，点B与上的点E重合，展开后，折痕交于点F，连接．下列结论： ①； ②图中有4对全等三角形： ③若将沿折叠，则点D不一定落在上： ④； ⑤其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， ， ， ， ，故①错误， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故②正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故③错误； ，， ， ，故④正确； 连接， ， ， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 故选：C． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出可证明，进而可判断②；延长交于，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， 在中，，， ． ， ，故正确； ，， ． ， ， ， ， 在和中， ，故正确； 如图所示，延长交于， ， 又，， ， ，， ， ， 又，， ， ，， ，即，故正确； 综上所述，其中正确的结论是． 故选：D． 2．（四川省凉山州2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，结论①是等腰三角形；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，代入计算即可判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； 同理可证：， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④结论错误； 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A． B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理．由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出，由三角形的面积公式得到四边形的面积． 【详解】解：由题意得到：， 和都在线段的垂直平分线上， ，设交点为O， 的面积，的面积 四边形的面积的面积的面积， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，、相交于点M，、相交于点N，则下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和外角性质，平行线的判定及角平分线的判定．围绕等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质展开分析，逐个验证六个结论，选择出正确的结论即可． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， 而， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥如图，作于点H，于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故⑥正确， 综上所述，正确的结论有①②③⑤⑥，共5个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，，点、，、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】A 【分析】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，……， ∴， ∴的边长， 故选：A． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）对任意非负数x，若记，给出下列说法．其中正确的个数为（   ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①直接计算错误；②解方程正确；③利用正确；④乘积计算后与给定表达式不符错误． 本题考查了函数值的计算、解分式方程、函数性质及乘积规律，掌握基础知识是解题关键． 【详解】∵ ， ①当时，，故①错误； ②由，得，解得，经检验是方程的解，故②正确； ③对于任意，，，∴ ， 因此对任意成立，故，③正确； ④，故④错误. 综上，正确的有②和③，共2个， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）下列结论： ①若，则； ②若是一个完全平方式，则的值为9； ③若，且，则的值为； ④若关于的方程无解，则的值为或2． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方式、分式的化简和分式方程的无解问题，掌握相关的运算法则是解决本题的关键． ①利用幂的乘方运算性质推导；②利用完全平方式的定义求解；③利用已知条件化简分式求解；④利用分式方程无解进行分情况讨论求解． 【详解】解：①：由题意得， ，故①正确； ②：∵是完全平方式， ∴设， ∴，， ∴，故②错误； ③：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； ． ∴代入得 ∴， 解得， ∵，若， 则， ∴舍去， ∴，故③正确； ④：由题意得， ， 当即时，方程无解； 当时，， 若即增根，则， 解得． 故无解时或，故④错误． 故答案为：①③． 8．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿边将折叠到处，已知，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的性质以及一元一次方程的求解． 根据折叠的性质可得，，设，根据平角的性质，列方程求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得，， 设，则， ， ∴， 由可得：， 解得：， 即． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，证明，故，，当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合，证明是等腰直角三角形，则，故，即可作答． 【详解】解：过点A作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， 当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，连接，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 ．（填正确的序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． ①连接，根据等边三角形的性质可得①符合题意；②证明，可得，结合，进一步可得②符合题意；③证明，可得，可得③符合题意；④可以由结论反向推理需要G是的中点才可以，但没有这个条件，故④不符合题意；⑤求解，进一步可得⑤符合题意． 【详解】解：如图，是等边三角形，连接， ∵，， 由条件可知，，故①符合题意； 由条件可知垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，故②符合题意； 由条件可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，若，则， ∵，但点G未说明是的中点， 故④不符合题意； 由条件可知， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：①②③⑤． 11．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，点为内一点，平分，平分，连接，过点作交于点，交于点，边上有两点，，且，．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】先证明（），得到，，证明（），得到，．根据角平分线的性质及判定证明平分，得到，进而证明（），得到，从而得到是等边三角形，因此 ，，进而有，再根据等角的补角相等得到，从而是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴，． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，． ∵平分，平分， ∴点到，，的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等角的补角相等，等边三角形的判定及性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 12．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，点坐标，点坐标，以为边在左侧作，并且，，，则 （用含的式子表示）；若在上取一点，连接，将沿翻折，点的对称点恰好落在轴的负半轴上，过作直线于点，分别交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过A作轴于K，则，，根据平行线的性质及等腰直角三角形的性质可求解；连接、，延长交y轴于T，先证明，证明得到，，再证明得到，证明，，设，可推导，解方程求得x值即可解答． 【详解】解：过A作轴于K，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 连接、，延长交y轴于T， 由折叠性质得，，，，， ∵，点坐标， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点坐标， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质、坐标与图形、三角形的内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09选择填空压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质综合 1.熟练运用全等判定定理，解决多结论判断； 2.掌握对应边/角等量转化技巧 选择填空压轴（第10-12题），多结论判断形式 2.轴对称、线段垂直平分线/角平分线性质与最短路径 1.运用轴对称性质转化线段； 2.掌握“将军饮马”变式模型 选择填空压轴（第11-13题），情境化求解最短距离 3.等腰三角形分类讨论（角度/边长计算） 1.掌握等腰三角形“顶角/底角”“腰/底边”分类； 2.规避边长为负、三角形三边关系矛盾等易错点 选择填空压轴（第10/16题），单题分类求解 4.整式乘法（幂的运算）与因式分解（提公因式、公式法）综合 1.熟练运用幂的运算法则、因式分解技巧； 2.掌握整体代入求值思想 选择填空压轴（第15-17题），代数式求值、规律探究形式 5.分式方程的增根、无解与隐含条件 1.理解增根与无解的区别； 2.掌握分母不为0的隐含条件 选择填空压轴（第16-18题），判断取值范围、求参数值 6.网格中几何变换（全等/轴对称）与坐标计算 1.利用网格特性定位坐标、判断全等； 2.结合轴对称性质求对应点坐标 选择填空压轴（第12-14题），图形变换与坐标结合形式 7.三角形角度综合（双角平分线、折叠/旋转） 1.掌握三角形内角和、外角性质； 2.运用折叠/旋转的全等性质转化角度 选择填空压轴（第11/17题），多角关联计算形式 8.代数式最值（配方）与规律探究 1.掌握完全平方公式配方技巧； 2.归纳幂的运算、图形规律 选择填空压轴（第18题），规律推导、最值求解形式 【题型1】全等三角形多结论判断（选择压轴） 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、对应边/对应角相等性质 考察要求：逐一验证结论真伪，判断正确命题个数 2.解题技巧 逐一验证：按判定定理推导每个结论，紧扣“相等条件”（边/角对应关系） 举反例：对疑似错误结论，构造不符合条件的图形否定 标记对应：用符号标注全等三角形的对应元素（如，标注） 【例题1】.（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【变式题1-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，．是上一点，延长到，使，连接，延长交于点．则下列结论中：①；②；③若，则；④． 其中正确的有： （填序号） 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，在中，，的平分线与的外角的平分线相交于点M，延长得到射线，作射线，有下列四个结论：①；②；③射线是的平分线；④，其中正确结论的序号是 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【题型2】轴对称与最短路径（将军饮马变式） 1.期末考点总结 核心考点：轴对称性质（对应点连线被对称轴垂直平分）、两点之间线段最短 考察要求：解决直线同侧/异侧点到直线、两直线到点的最短路径问题 2.解题技巧 对称转化：作其中一点关于直线的对称点，将折线转化为线段 模型识别：锁定“将军饮马”“两线一点”“两点两线”等变式模型 计算验证：结合坐标或网格，用勾股定理（）计算线段长度 【例题2】.（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时的度数为 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式题2-3】.（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是 ． 【题型3】等腰三角形分类讨论（角度/边长计算） 1.期末考点总结 核心考点：等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”、三角形三边关系（两边之和大于第三边） 考察要求：分类计算顶角/底角、腰长/底边长，规避漏解 2.解题技巧 角度分类：未明确顶角时，分“已知角为顶角”“已知角为底角”两类 边长分类：未明确腰底时，分“某边为腰”“某边为底”两类，结合三边关系取舍 验证取舍：计算后检验角度和为、边长为正且满足三边关系 【例题3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在中，，以为斜边作等腰，连接，则 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）在中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形（无等腰直角三角形），则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，在中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【题型4】整式乘法与因式分解综合求值（整体代入） 1.期末考点总结 核心考点：幂的运算法则（、）、因式分解（提公因式、平方差、完全平方） 考察要求：通过因式分解转化代数式，利用整体代入求值 2.解题技巧 因式分解优先：将待求式或已知式分解为“乘积形式”，寻找公因式 整体代换：设中间变量（如设、），简化计算 公式逆用：灵活运用完全平方、平方差公式的逆运算，凑整变形 【例题4】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知实数均满足，则代数式的最小值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2028 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为 ． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·重庆·月考）已知整式（，，，，，都为自然数） 下列说法： ①不可能为二次四项式； ②若对于任意的自然数，都有，且为奇数，记，，则当时，满足条件的不同共有2个； ③记，，，，，（为正整数），若且，则存在，使得中的最高次项的系数为； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则 （填“”“”或“”） 故答案为：． 【题型5】分式方程的增根与无解问题 1.期末考点总结 核心考点：分式方程增根的定义（使分母为0的根）、无解的条件（整式方程无解或解为增根） 考察要求：求分式方程中参数的取值，判断解的情况 2.解题技巧 步骤规范：①去分母转化为整式方程；②求增根（令分母为0）；③将增根代入整式方程求参数 区分概念：增根是“整式方程有解但使分式方程无意义”，无解包含“整式方程无解”和“解为增根” 检验分母：牢记分式有意义的前提——所有分母不为0 【例题5】.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）若关于x的方程无解，则k的值为（    ） A．－1 B．2 C．或2 D．不确定 【变式题5-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）若分式方程无解，则m的值为（   ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【变式题5-3】.（24-25八年级上·山东济宁·期中）当 时，关于的方程会产生增根． 【题型6】分式化简求值与取值范围 1.期末考点总结 核心考点：分式基本性质、分式化简（因式分解约分）、隐含条件（分母不为0、被开方数非负） 考察要求：化简分式后求取值范围或特定值 2.解题技巧 先化简再求值：通过因式分解约分，将分式化为最简形式 列限制条件：列出所有分母不为0的不等式，求解取值范围 代入检验：选择符合条件的数值代入，避免增根 【例题6】.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的方程的解为非负数．则m的取值范围为（   ） A． B． C． 且 D． 【变式题6-1】.（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为 ． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·重庆·期中）若一个四位自然数N的千位数字与个位数字之和恰好是N的百位数字与十位数字之和的3倍，则称这个四位数N为“优数”．一个“优数”N的千位数字为x，百位数字为y，十位数字为z，个位数字为w，记，．其中为整数，是3的倍数．则 ；所有满足条件的N的最大值和最小值的差为 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·重庆·期中）是一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，满足百位数字大于个位数字且百位数字与十位数字之和等于个位数字的2倍，交换的百位数字和个位数字得到新数，记，若被7除余5，则称为“行知数”．设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，（1）请用含有、的式子表示 ；（2）若规定，则所有“行知数”的的值之和为 ． 【题型7】网格中几何变换与坐标综合 1.期末考点总结 核心考点：网格坐标定位、全等三角形判定、轴对称性质（对称点坐标特征） 考察要求：在网格中确定点的坐标、判断全等、求对称点坐标或线段长度 2.解题技巧 坐标定位：以网格交点为原点，确定横纵坐标，标注关键点坐标 全等判断：利用网格边长相等、直角相等，快速验证SSS、SAS 对称计算：关于轴对称（横坐标不变，纵坐标变号），关于轴对称（纵坐标不变，横坐标变号） 【例题7】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，且．若的平分线交x轴于点C，P，Q分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，在坐标系中，点坐标为，点坐标为，点在第二象限内，是以为斜边的等腰直角三角形，点的坐标为 ． 【题型8】三角形双角平分线模型角度计算 1.期末考点总结 核心考点：三角形内角和定理（）、角平分线定义、外角性质 考察要求：推导双角平分线夹角公式，计算目标角度 2.解题技巧 公式推导：两内角平分线夹角，内角与外角平分线夹角 模型提取：在复杂图形中分离核心三角形，忽略无关线段 代入计算：直接套用推导公式，结合已知角快速求解 【例题8】.（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，中，平分，平分，与相交于点，、、都是的外角平分线，设，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④ 【变式题8-2】.（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别为平面直角坐标系中轴正半轴和轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点；再作平分，平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点…作平分，平分，两直线相交于点． （1） ． （2），那么 ． 【题型9】折叠/旋转中的三角形角度计算 1.期末考点总结 核心考点：折叠/旋转的全等性质（对应角相等、对应边相等）、三角形内角和与外角性质 考察要求：利用全等转化角度，计算折叠/旋转后的目标角 2.解题技巧 标记对应：用相同符号标注折叠/旋转后的对应角（如） 角度链构建：通过全等性质建立已知角与未知角的等量关系链 分步计算：先求中间过渡角，再代入三角形内角和公式求目标角 【例题9】.（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为 ． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·重庆綦江·月考）如图，在中，，把折叠，使落在上，点B与上的点E重合，展开后，折痕交于点F，连接．下列结论： ①； ②图中有4对全等三角形： ③若将沿折叠，则点D不一定落在上： ④； ⑤其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 2．（四川省凉山州2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，结论①是等腰三角形；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A． B．10 C．13 D．26 4．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，、相交于点M，、相交于点N，则下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，，点、，、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为（    ） A． B．2023 C． D．2024 6．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）对任意非负数x，若记，给出下列说法．其中正确的个数为（   ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）下列结论： ①若，则； ②若是一个完全平方式，则的值为9； ③若，且，则的值为； ④若关于的方程无解，则的值为或2． 其中正确的结论是 （填写序号）． 8．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿边将折叠到处，已知，则的度数是 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 10．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，连接，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 ．（填正确的序号） 11．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，点为内一点，平分，平分，连接，过点作交于点，交于点，边上有两点，，且，．若，则的周长为 ． 12．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，点坐标，点坐标，以为边在左侧作，并且，，，则 （用含的式子表示）；若在上取一点，连接，将沿翻折，点的对称点恰好落在轴的负半轴上，过作直线于点，分别交于点，若，则的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $