以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的特殊三角形存在性问题 以反比例函数为背景的特殊四边形存在性问题 考点一 以反比例函数为背景的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 例2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 例3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数在第一象限的图象上一点，过点作轴于点，交直线于点，当时，求点的横坐标； (3)点是轴上的一个动点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 例4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，正方形在第一象限，已知点，，，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)求的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，通过计算判断反比例函数的图象是否经过点； (3)设反比例函数的图象与正方形的边交于点，，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，直接写出的值． 变式3．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·广西来宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点的直线交轴于点． (1)求和的值； (2)求的面积； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 考点二 以反比例函数为背景的特殊四边形存在性问题 例1．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 例2．（24-25九年级下·广东广州·月考）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·河南信阳·月考）如图，直线与双曲线交于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，请直接写出不等式的解集； (3)点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点 (1)填空：______，______； (2)点C是线段上一点不与A，B重合，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接，当四边形的面积等于20时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于、B两点，C为双曲线上的点． (1)求双曲线的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为5时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，点C位于点A的右侧，点D为双曲线上一点，平面内是否存在点E，使四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P和Q的坐标． 变式4．（24-25九年级上·广东阳江·月考）【问题背景】 如题图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）是上的点，且，连接并延长交反比例函数的图象于点．将矩形沿射线方向平移一定距离后，得到矩形．点的对应点为点，此时点的对应点的坐标为，求的值． 【深入探究】 （3）如题图，是的中点，连接．为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的特殊三角形存在性问题 以反比例函数为背景的特殊四边形存在性问题 考点一 以反比例函数为背景的特殊三角形存在性问题 例1.(25-26九年级上福建泉州月考)如图，一次函数y=)x-1的图象与反比例函数片，=《(k≠0)的图象相交于 点Am,2),点B,与y轴交于点C. (1)求反比例函数的解析式： ②请给合图象直接写出不等式1专的解类， (③)点P是y轴上的一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，求点P的坐标. 12 【答案】(1)2= (2)x<-4或0<x<6 3)P(0,35-1,D(0,-35-1,P(0,5) 【详解】1)解：一次函数=-1的图象经过m,2引， 2=二m-1,解得m=6, 2 ∴点A6,2, 把点A6,2代入与=k≠0)得，2= 6 解得k=12, 反比例函数的解析式为乃=2 、1 2)2￥立=x-1与2=一得，2？ 解得x=-4或x=6 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为-4和6， 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 油图象得，行-1<的解笑为-4或0<x<6: (3)设点P的坐标为0，n), 1 当x=0时，y=5x-1=-1, 2 “点C的坐标为(0，-1， AC2=62+(2+1)2=45 当AC=AP时，AC2=AP2,即(6-0)+2-n=45, 解得n=-1(不合题意，舍去)或n=5, “点P坐标为0,5)， 当AC=CP时，AC2=CP2,即(n+12=45, 解得n=3√5-1或n=-3√5-1， ∴点P的坐标为(0,35-1或0，-35- 综上可知，点P的坐标为0,5)或0,35-1或(0，-35-1. 例2.(25-26九年级上辽宁沈阳月考)如图1.在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于 点4-3,0，与反比例函数y=兰交于点81， 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式： (2)观察图象，直接写出关于x的不等式2x≥k-b的解集： (③)如图2，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点N, 连接BM,若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求线段MN的长度. 【答案】()y=8 (2)-4≤x<0或x21 2 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 (3)12 【详解】(1)解：将A-3,0代入y=2x+b,得 -6+b=0, b=6, .一次函数的解析式为y=2x+6 :把点B1,m)代入一次函数y=2x+6得 m=2+6=8, B(1,8), :k=1x8=8, 、8 4y=-; y=2x+6 (2)联立{8 ,得 y= x 2x+6=8 即x2+3x-4=0, 解得x,=-4,x2=1, 当x=-4时，y=4 8 =-2, 。一次函数y=2x+6与反比例函数y=8的交点为-4，-2)，1,8， 当-45x<0或x2≥1时，2x+6至，即2≥6 当-4≤x<0或x≥1时，2x≥k-b. x 8 (3)设点M坐标为m,二，则点N坐标为m,2m+6), ①当点B在直线MN的左侧时，如图 过点B作BH⊥MN于点H, VA M :BN=BM,BH⊥MN, 0 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 :NH MH, 由(1)可知B(1,8), :2m+6-8=8-8, m 即m2-5m+4=0 解得：m=4,m=1(不符合题意，舍去)， 当m=4时，M坐标为4,2)，则点N坐标为4,14)， MN=14-2=12. ②当点B在直线MN的右侧时，如图 由图，可知BM>BN,不符合题意，舍去， 综上所述，MN的值为12. 例3.(25-26九年级上山东济南月考)如图，一次函数y=kx+4与反比例函数片，=上的图象交于点4(2，m和 B(-6,-2),与y轴交于点C. (备用图) (1)求一次函数与反比例函数的表达式： ②点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，过点P作PD上x轴于点D,交直线AB于点Q,当P=) QD2时，求 点P的横坐标； (3)点M是x轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标. 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 【答案】0%=+4，为号 (2)2√7-2或2√5-2 (3)(4,0)或(-8,0)或-3+17,0)或-3-17,0 【详解】(1)解：将B(6,-2)代入片=kx+4,得：-2=6k+4, 解得k=1, ·y1=x+4; 将-6-2)代入⅓=年，得：2- 6, 解得飞=12， “5=2 2, (2)解：设点P的横坐标为pp>0),则Pp,, 0(p,p+4),D(p,0), 分两种情况，当点Q在点P上方时，如图： OP 1 QD2 D :点P是QD的中点， 12 :p+4=2×2 p 解得p,=2V万-2，P,=-2万-2（舍去）： 当点Q在点P下方时，如图： VA OP 1 OD2' BOδ QD-2PD. 3 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 212 :p+4=2×1 3 p 解得p,=2V5-2,p,=-2V5-2(舍去) 综上可知，点P的横坐标为2万-2或2√5-2； (3)解：对于y,=x+4,当x=0时，y,=4, C(0,4, 设M(m,0), :MC2=(m-0+(0-4)2=m2+16,MB2=(m+6)2+(0+22=m2+12m+40, BC2=(0+62+4+22=72, 当∠BCM=90°时，BC2+MC2=MB2, :72+m2+16=m2+12m+40, 解得m=4; 当∠CBM=90°时，BC2+MB2=MC2, :72+m2+12m+40=m2+16, 解得m=-8; 当∠BMC=90°时，MC2+MB2=BC2, :m2+16+m2+12m+40=72, 解得m=-3±V7; 综上可得，点M的坐标为(4,0)或(-8,0)或(-3+7,0)或(-3-7,0 例4.(25-26九年级上~陕西西安月考)一次函数y=:+b(k≠0)的图象与反比例函数y=m(x>0)的图象交于 A2,a、B(8,-1两点. y A (①)求反比例函数与一次函数的关系式： (②)在x轴上是否存在一点P,使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明 理由. 6 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 【答案】Q)一次函数的解析式为y=。x-5:反比例函数的解析式为y=-8 2 x 2)点P的坐标为5-5,0或5+5,0 【详解】1)解：将B8,-代入反比例函数y=”可得：-1=m, 8 m=-8, 反比例函数的解析式为y=-8, 将42，)代入反比例函数y=-8可得：a=-8=-4, 2 A2,-4, [2k+b=-4 将A2,-4,B(8,-1代入一次函数y=x+b(k≠0)可得 8k+b=-1 1 解得： b=-5 一次函数的解析式为y=2-5; (2)解：由(1)可得：A2,-4,B(8,-1), AB2=(8-22+[-1-(-4)]=36+9=45, 设P(m,0), 则AP2=(2-m)2+(-4-0)2=(2-m)2+16,BP2=(8-m)2+(-1-0)2=(8-m2+1, ~△ABP是以AB为斜边的直角三角形， AP2+BP2=AB2, (2-m)+16+(8-m)+1=45, 整理可得：m2-10m+20=0, 解得：m,=5+V5,m,=5-√5， 点P的坐标为5-V5,0或5+√5,0. 变式1.(2526九年级上山东威海期中)图，一次函数)=方x+5和y=-2x的图象相交于点4，反比例函数 y=的图象经过点4， 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 (1)求反比例函数的表达式： (②)在x轴上是否存在点P,使△ABP为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（①）y=-8 (2)存在， P2(0,0)、P(-5+V5,0)、P,(-5-V5,0) 2+5 【详解】1)解：依题得少 x=-2 解得 y=-2x y=4，即4-2,4) 将4-2,4)代入y=冬得k=-8,即反比例函数解析式为：y=-8 (2)解：如图，假设在x轴上存在P(1,0)使。PAB为直角三角形， y=-8 x=-2 或 x=-8 联立 解得： 1 y=4 y=。x+5 y=1 21 即A-2,4,B(-8,1, :PA2=(t+22+42=t2+4t+20, PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65,AB2=62+32=45 分三种直角情况讨论： 情况1：∠APB为直角 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 VA PA+PB2=AB2,(t2+4t+20)+(2+16t+65)=45 化简得212+20t+40=0,即t2+10t+20=0, 解得t=-5±V5,对应点P(-5+V5,0)、P,(-5-V5,0). 情况2：∠BAP为直角 B (P2 则PA2+AB2=PB2,即(t+41+20)+45=12+161+65 化简得121=0，解得t=0,对应点P(0,0). 情况3：∠ABP为直角 B 则PB2+AB2=PA2,即(t2+16t+65)+45=t2+41+20, 化简得12=90，解餐1=号对应点P(50) x轴上存在点 P（0、B0,0、R(-5+5,0、25-5.0,使。4P为直角三角形. 变式2.(25-26九年级上河北张家口月考)如图，正方形ABCD在第一象限，已知点A2,4,B(4,4),D(2,6, 9 以反比例函数为背景的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 反比例函数y=(x>0)的图象与正方形ABCD的边有交点. A (1)求k的取值范围； (②)当反比例函数y=(x>0)的图象与AB交于点E,且E是AB的中点时，通过计算判断反比例函数的图象是否经 过点D; (3)设反比例函数y=二(x>0)的图象与正方形的边交于点P,Q,若线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形， 且围成的直角三角形面积为1，直接写出k的值. 【答案】(1)8≤k≤24； (2)经过，计算见解析： (3)12或24-4V5. 【详解】(1)解：~A2,4,B4,4,D(2,6),四边形ABCD是正方形， ∴C(4,6, 当反比例函数y=(x>0)的图象经过点42,4)时，k=2x4=8, 当反比例函数y=二(x>0)的图象经过点C(4,6)时，k=4×6=24, 8≤k≤24时，反比例函数y=《(x>0的图象与正方形ABCD的边有交点 (2)解：E是AB的中点，A2,4),B(4,4, E(3,4, 反比例函数y=(x>0)的图象与B交于点E, k=3×4=12, y=2, 12 当x=2时，y= =6, 2 10