以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题 专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的面积问题 以反比例函数为背景的等腰三角形存在性问题 以反比例函数为背景的直角三角形存在性问题 考点一 以反比例函数为背景的面积问题 1 例1.(25-26九年级上·江西九江月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=二x-2的图像与反比例函数 2 y=《(k≠0)的图像交于A,B两点，与y轴交于点C,已知点A的横坐标为8，点B的纵坐标为-4， (1)求反比例函数的解析式 (2)连接BO,求△BOC的面积， ③)当)x-2>←时，直接写出自变量x的取值范围。 2 X 【答案】y=16 (2)4 (3)-4<x<0或x>8 【详解】1)解：设Bb,4, ~一次函数y=-2的图象与反比例函数)=k≠0叭的图象交于4，B两点， 4=b-2,解得6=-4， 2 .B-4,-4 .k=-4×-4=16, 反比例函数解析式为y=16 (2)解：一次函数y=二x-2的图象与y轴交于点C, 2 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 C(0,-2), 0C=2, 6d80C的面积s-0c。-分2x4=4, 女2的图象与反比例函数y=k≠0的图象交于A,B两 B(-4,-4, 油函数图像可得：当-2>兰时，自变量x的取值花国为-4<<0或x>8. 例2.(25-26九年级上山西太原月考)如图，反比例函数y=m(m≠0)与一次函数y=c+b(k≠0)的图象交于点 A(1,3),点B(n,1,一次函数y=x+b(k≠O)与y轴相交于点C. (1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式： (2)连接OA,OB,，求△0AB的面积： (3)不等式r+b<”的解集是 3 【答案】（①）y=2,y=-x+4 (2)4 (3)0<x<1或x>3 【详解】(1)解：将点4A1,3)代入y=m(m≠0)，得：m=1x3=3, ·反比例函数的表达式为y=3 将山代入y得：1=3 :点B的坐标为3，)， 将A1,3),B3,1代入y=+b, 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 k+b=3 「k=-1 得： 3+b=1'解得： b=4, :一次函数的表达式为：y=-x+4; (2)解：对于y=-x+4,当x=0时，y=4, :点C(0,4), 0C=4, e-m-5c4x3-4x1-4: (3)解：由图象可知，当：+b<m时，x的取值范围为0<x<1或x>3. 故答案为：0<x<1或x>3. 例3.(2025山东济南模拟预测)如图，反比例函数y=k(k≠0，>0)与一次函数y=+b交于点4，B,过 点A的直线1⊥x轴，作线段AB的垂直平分线交直线1于点C,AC=1·已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为 1. V (1)求k,m,b的值. (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线CD于点E,连接AE,求△ACE的面积. 【学米】0=号网=2：b号 【详解】(I)解：连接BC,过点B作BF垂直于直线1于点F, 由题意可知，k气2，B1k k .AF=2-k,BF=1 2' AC=1, CF AF-AC=1-k, ~作线段AB的垂直平分线交直线1于点C, 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 .BC=AC=1, 在Rta BCF中，BC2=CF2+BF2, 2 解得太=2，k= 当k=2时，则A1,2),B(1,2)不合题意，舍去； 当长，则水兮2，导， 把42》，B0,2代入=mx+b得 5m+b=2 5 2, m+b= 5 m=-2 解得，12， b=- 5 2 k= 5,m=-2,b=12。 y个 2)解：K2),B3, 50+n1 a= 设直线CD的解析式为y=ax+n,则 2 3 (5a+n 6’解得 9 n= 10 19 此时直线CD为y=二x+ 2 10 把y=代入得2=x+9 5 52+10,解得x=-1, 5 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 ~BE∥x轴，1⊥x轴， ∴EF⊥AC, a4CF的面积为兮4C8F-分×号手 155 例4.(2526九年级上测南岳阳月考)如图，已知一次函数)=x+6与反比例函数y=x<0)的图象交于4、B 两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D. V A B (1)求A,B两点的坐标； (2)求AOB的面积； (3)点P在y轴上，且S。Aop= 二，SOs’请求出点P的坐标】 【答案】(1)A-2,4),B(4,2)； (2)6 (3)0,3)或(0，-3). 8 【详解】(1)解：一次函数y=x+6与反比例函数y=-°(x<0)的图象交于A、B两点， y=x+6 联立 y=-8,整理得2+6r+8=0 解得：x=-2,x2=-4, 当x=-2时，y=4;当x=-4时，y=2, A-2,4),B(4,2): (2)解：令x=0,则y=x+6=6;令y=0,则x+6=0,解得：x=-6, ∴.C6,0),D0,6), 0C=0D=6, asw0c-00=18,Sm-0D=6,Sx-50c%=6, S.AOB =S.COD-S.AOD-S.BOC=6; (3)解：：点P在y轴上， 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 :设P(0,n), OP=4, 1 解得：n=±3， :点P的坐标为0,3)或(0，-3). 变式1.(24-25九年级上河南郑州期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函 数y=”的图象交于A(2,3)、B(-3,m两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式m<+b的解集； (③)若P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是5，求点P的坐标. 【答案】①)一次函数的解析式为)=+1，反比例函数解析式为y=: (2)-3<x<0或x>2; (3)P点的坐标为：1,0)或(-3,0). 【详解】(1)解：：点A2,3)在y=m上， ∴.m=6, 6 :反比例函数解析式为y=二； 又：点B-3,m在y=6上， n=-2, :点B的坐标为-3，-2)， [2k+b=3 把A2,3)和B(-3,-2)两点的坐标代入一次函数y=+b得 -3k+b=-2 6 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 k=1 解得 b=1' :一次函数的解析式为y=x+1. (2)解：观察图象可知：不等式”<+b的解集为-3<x<0或x>2: (3)解：如图，设直线AB与x轴交于C点， 一次函数的解析式为y=x+1, OF P 当y=0时，x=-1, 故C点坐标为：（-1,0)， 设P点坐标为：（x,0), PAB的面积为：PCx,2-(-小3-2到训=x+=5, x+1=2, x=1或x=-3; 故P点的坐标为：(1,0)或(-3,0). 变式2.(25-26九年级上河北邢台·月考)如图，在平面直角坐标系中，己知矩形ABCD,BC=8,点A、B在y 轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数y=(x>0,k>0)的图像相交于E、F两点，且点E的坐标为(2，m) ，点F的坐标为(m+3,).点P在反比例函数y=x>0)的图像上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n. B E A D (1)求k的值； (2)连接PE、PC,当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标 【答案】(1)6 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 a18或 1817 【详解】(1)解：~E(2,m,Fm+3,)在反比例函数y=(x>0,k>0)的图像上， k=2m=m+3)×1 解得m=3, E(2,3),F(6,1), k=2×3=6: (2)E(2,3),F(61), AB=3-1=2, BC=8, 矩形面积=2x8=16,EC=8-2=6, m16=, 设aPEC中，CE边上高为h, 1 .-×6h=8, 2 解56-子 P点在CE下方时， 3-号行则=18 当y=时，x=18 P点的坐标为18,3 P点在CE上方时， 817 yp=3+0= 18 +33’=17 17 18 当y= 时，x= 3 17’ 1817) ∴P点的坐标为 17’3 P点的坐标为 1 变式3.(2526九年级上河南郑州期中)如图，一次函数y=心+b的图象与反比例函数y=冬图象相交于4m,, B(2,-3)两点，与y轴交于点C 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： 2)根据图象直接写出不等式ar+b>冬解集； (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A,C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E,当△CDE的 面积等于弓时，求点D的坐标。 【答案】0反比例函数的解析式为y=一一次函数的解析式为)=之-2： (2)x<-6或0<x<2; 【详解】(1)解：：B2,-)在反比例函数y=的图象上， .k=-6, 反比例函数的解析式为y=-6 6 :A(m,I)在反比例函数y=-二的图象上， x :1=-6,解得：m=-6, m A-6,1),B(2,-3) :A(-6,1),B(2,-3)在一次函数y=ax+b的图象上 「-6a+b=1 1 a=- (2a+b=-3’解得 2 b=-2 一次函数的解析式为y=-2-2: (2)根据图象可得：当x<-6或0<x<2时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， 不等式ar+b>的解集为x<-6或0<x<2: (3)把x=0代入y=2-2得y=-2, .C(0,-2), 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 设-2，则9月 5s++ 1 7 化简得：2+41+2=0 解得：{=-2+V2,t,=-2-√2 “点D的坐标为： 变式4.(25-26九年级上·福建福州期中)如图，有一块边角料ABCDEF,其中AB,BC,CD,EF是线段，曲 线DE可以看成反比例函数y=图像的一部分.王师傅想利用这块边角料截取一个矩形MNGH,其中M,N在AF 1 上（点M在点N左侧），点H在线段BC上，点G在曲线段DE上.测量发现：LBAF=LAFE=9O°，AB=EF=1 ，CD=3,AF=8,CD∥AF且CD和AF之间的距离为4.若以AF所在直线为x轴，以AF中点O为原点构建直 角坐标系。 D H G B AM ON F衣 (I)求曲线DE和直线BC的表达式： (2)设点G的纵坐标为m,请用含m的式子表示矩形MWGH的面积，并求出最大值. 【答案】O)曲线DE的表达式为y=丰，直线BC的表达式为y=号r+7 3 (2)矩形MNGH的面积为- 73 【详解】(1)解：点0为AF中点， 1 :0A=0F=AF=x8=4, 2 2 A-4,0),F4,0, ∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1, B(-4,1,E(4,1, 代入E4,1到y=,得k=4x1=4, 10以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 以反比例函数为背景的面积问题、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题 专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的面积问题 以反比例函数为背景的等腰三角形存在性问题 以反比例函数为背景的直角三角形存在性问题 考点一 以反比例函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为8，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，求的面积． (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． 例2．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积： (3)不等式的解集是________． 例3．（2025·山东济南·模拟预测）如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 例4．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且，请求出点P的坐标． 变式1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若是轴上一点，且满足的面积是5，求点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点、在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图像相交于、两点，且点的坐标为，点的坐标为．点在反比例函数的图像上（点不与点、重合），其横坐标为． (1)求的值； (2)连接、，当的面积是该矩形面积的一半时，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集； (3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积等于时，求点D的坐标． 变式4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．王师傅想利用这块边角料截取一个矩形，其中在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线段上．测量发现：，，，，且和之间的距离为4．若以所在直线为轴，以中点为原点构建直角坐标系． (1)求曲线和直线的表达式； (2)设点的纵坐标为，请用含的式子表示矩形的面积，并求出最大值． 考点二 以反比例函数为背景的等腰三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接， ①若，求的值． ②若为等腰三角形，求的值． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接，沿着将矩形折叠使、两点重合，连接对角线． (1)点坐标是______（用含有的代数式表示）； (2)如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； (3)若折叠后，是等腰三角形，求此时反比例函数的值； (4)连接，直接写出的最小值为_____． 例3．（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（2025·山东济南·二模）如图，四边形是菱形，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，与轴正方向的夹角为，且，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作，交直线于点，过点作，交轴于点，连接． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)反比例函数图象上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标和腰长：若不存在，请说明理由． 变式1．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 变式2．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系内，函数的图象与反比例函数图象有公共点，点的坐标为，轴，垂足为点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，若，求线段的长； (3)点C为轴正半轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点C坐标． 变式3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 变式4．（24-25九年级上·宁夏银川·月考）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 以反比例函数为背景的直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与轴相交于点，交轴于点． (1)求和的值； (2)观察函数图像，当时，的取值范围是 ； (3)如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求； (4)若为坐标轴上一点，请你探索：当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的点坐标． 例2．（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标． 例3．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 例4．（24-25九年级下·四川广元·月考）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，连接、，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 变式1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 变式2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 变式3．（24-25九年级下·河南驻马店·月考）一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)已知，请结合图象，直接写出时，的取值范围； (3)若点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标． 变式4．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，，反比例函数在第一象限内的图象经过点．    (1)点的坐标为 ． (2)求反比例函数的解析式． (3)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $