陕西省渭南市合阳县合阳中学等校联考2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

合阳中学等校联考高二数学2025-2026学年第一学期第二次月考试题 命题：陈雪 侯佳奇 高江帆 审题：王强 郭会玲 王春梅 （本试卷共计6页，考试时间:15:00-17:00 考试总分:150分 测试范围:北师大版选修第一册第1-6章） 第一部分 选择（58分，合计11题） 一、单选题（共40分） 1．直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．4 D． 3．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4已知双曲线的离心率为2，其左，右焦点分别为，双曲线上一点到其两条渐近线的距离之积为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 6．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 7．已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．设直线系，则下列四个命题为真的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 10．下列说法正确的是（    ） A．数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12 B．数据的第30百分位数为7 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 11．已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积是平行六面体的体积的 第二部分 非选择（72分，合计8题） 三、填空题（共15分） 12．某小区有排成一排的6个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的3个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 . 13．三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为 ；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为 . 14．已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为 ． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（本题15分）抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 18．（本题17分）在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积最大值． 19．（本题17分）某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. (1)若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； (2)经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； (3)经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-8 BBCAC BBC 9.BD 10.ACD 11.ABC 12.24 13. 14. 1．B【详解】设中点为，则，因为，所以， 即，又，所以，直线与圆交于两点，所以所以，有，因为，所以 故选：B. 2．B 3．C 【详解】由得，所以直线与半圆有个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图： 当直线经过点时，， 当直线与圆相切时，， 解得或（舍）， 由图可知，当直线与曲线有个公共点时，. 故选：C. 4．A【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，即．设，所以，因为点在双曲线上，所以1，所以，所以，即，因为，所以，又，所以，所以，解得．由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，令，则， 因为，所以由余弦定理得， 即16，化简得， 所以的面积． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用余弦定理可求得，进而利用三角形面积公式求得面积. 5．C【详解】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、， 因为，所以，即为等边三角形，又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，   设双曲线方程为， 所以，又，所以， 则点，所以，解得（负值舍去）， 所以双曲线的离心率. 故选：C 6．B 7．B【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，，则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，又，所以. 故选：B. 8．C 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，，解得：（舍）或，双曲线的离心率为.故选：C. 9．BD【详解】对于A，可令，消去可得，故直线系表示圆的切线的集合，故A错误；对于B，对任意，存在定点不在直线系中的任一条直线上，故B正确； 对于C，中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边三角形和，故C错误；   对于D，由于圆的外切正边形，其所有边均在直线系中的直线上，故D正确. 故选：BD. 10．ACD 11．ABC【详解】以为基底来表示向量： ，因为 所以，故B正确； 又由， 则，故A正确 由底面是菱形，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 所以直线与平面所成的角就是，利用的菱形可得：， 再由余弦定理得：，则，故C正确； 设平行六面体的高为，则三棱锥的体积为， 而平行六面体的体积为， 所以三棱锥的体积是平行六面体的体积的，故D错误； 故选：ABC. 12．先把3辆车停好，共有种方法；再把剩余的3个车位看成一个整体，排在一起，插入4个空位里，共有种方法.由乘法分步原理得不同的停放方法的种数为. 故答案为：24 13． / / 【详解】取中点，连接，因为，，所以，且， 因为是等腰直角三角形，所以，且，又，满足，所以， 因为，所以平面，因为点为棱的中点，所以到平面的距离为； 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设,则，则，设，则可得，则，则， 所以，所以, 所以,设平面的法向量为， 则，即，令，可得，则， 所以，所以，令，解得，又，所以在单调递增， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即的最小值为.故答案为：；. 14． 【详解】设，，线段的中点，则，两式相减得，所以， 设，，线段的中点，同理得， 因为，所以，则，，三点共线， 所以， 即，即，， 因为，所以，即，所以， 15．（1）解：展开式中所有二项式系数之和为，解得．-------5分 （2）解：由（1）知所以展开式通项为，-----9分 令，解得，-----11分则，-----13分所以展开式中的常数项为． 16．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接BD交AC于点H，连接HE.---2分 因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点.---3分 又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得.-----4分 由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE.-----5分 （2）因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD.----6分 又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD---7分 在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz. 又底面ABCD为边长为2的正方形，，则，----8分 ，；-----9分 ；----10分 设平面PAC的一个法向量为，则，即，----12分 令，得，---13分 设直线AE与平面PAC所成角为θ，，---15分 即直线AE与平面PAC所成角正弦值为. 17．【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，．---2分 整理得，所以，----4分因为所以，--5分则抛物线方程为，准线方程为；----6分 解法二：设抛物线与直线交于，．----2分 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，，则，----3分 作差得，所以，--5分因为，所以则抛物线方程为，准线方程为---6分 （2）解法一：依题意设直线的方程为，，，．----7分 联立方程组整理得，故-----8分 所以----10分 因为，直线的方程为，同理可得----12分 所以 ---------14分 当且仅当，即时，取等号．所以四边形面积的最小值为32．---15分 解法二：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得，故．---11分 所以---12分 因为， 同理可得----13分 所以--14分 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32．---15分 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 18【详解】（1）设椭圆方程为，由椭圆C过点，离心率，----3分 得，解得，，----4分椭圆C的方程为：；---5分 （2）设，，联立，---7分得--9分，---10分 ，得，则，---11分所以，---13分 点O到直线的距离，---15分所以△AOB的面积 --17分 当时，△AOB的面积取到最大值1. 19． 【详解】（1）由题意的取值为， ，-----3分 所以的分布列为：--4分 0 1 2 （2）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，----5分 设一升水中大肠杆菌个数为，则，， -------10分 （3）经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为， 由题意，----13分 ，其中且，所以，----14分 其中.所以----17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $