3.2.1第一课时 函数的单调性教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性概念，通过课前回顾函数表示方法与分段函数，搭建旧知支架，衔接初中“函数值随自变量增减”的直观描述，引导学生过渡到高中符号化定义，明确单调区间划分、图像法与定义法判断单调性的学习目标。 特色在于以“图像观察-数量表达-符号语言”分层递进，培养数学眼光（几何直观到抽象），通过例1图像分析、例2定义证明及变式训练，发展数学思维（逻辑推理），当堂检测结合生产效率实例与证明题，提升数学语言表达能力。助力学生夯实基础，教师精准把握学情，提升课堂效率。

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第一课时 函数的单调性 1、 课前回顾 1.函数有哪几种表示方法？它们各自的特点是什么？ 2.什么叫分段函数？如何求分段函数的定义域和值域？ 【说明】把预设好的问题投影到白板上，涉及的问题简单，教师可以请学生起来回答，如有问题，可以学生再进行补充。 【设计意图】通过问答的方式复习回顾上节课所学内容的重点，旨在检测学生上节课目标达成情况。如有问题，还需要针对性讲解或巩固训练。 2、 揭示目标 1. 了解函数的单调区间、单调性等概念； 2. 会划分函数的单调区间，会利用图象判断函数的单调性； 3. 会用定义证明函数的单调性。 【说明】教师准确下达目标指令。 【设计意图】目标明确，以确保学生在学习过程中方向不偏、思路清晰。 三、自学指导 【问题1】观察、分析和比较图3.2-1中的函数图象，你能得到函数图象的哪些性质？ 【结论】在初中，我们的描述方式是：函数值随自变量的增大而增大（或减小）， 在高中，这一性质叫做函数的单调性. 【问题2】请同学们阅读课本，然后回答下面的问题： 在二次函数 中 图形表达：从左到右，图象在y轴左侧 ； 图象在y轴右侧 数量表达： 在区间上，随自变量的增大，函数值 在区间 上，随自变量的增大，函数值 。 符号语言：在区间上任取 而，则称是 ， 称为的 。 在区间 上任取 而 ，则称 是 ， 称为的 。 【说明】让学生从自变量和函数值的变化角度描述图像的下降和上升，实现由形到数的转化。以上过程先由学生独立完成，在小组交流，最后全班交流，引出下面的单调性的严格定义。 【设计意图】通过回答以上问题，让学生迅速抓住本节课的重点内容，借助分层递进的问题设计，兼顾不同认知水平的学生，既让基础薄弱的学生能通过图形/数量描述入门，也让学有余力的学生提前接触符号化表达，提升数学抽象与逻辑推理的核心素养。 4、 小组互助（例题与变式） 例1： 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，并分别指出它们的单调性。 解： 【说明】：学生自主探究回答，让学生通过图像法得到函数的单调性，进一步对单调区间加以解释说明。 【设计意图】借助“自主探究+图像分析”的形式，让学生在实践中熟练运用“图像法”分析函数单调性，同时体会“函数在不同区间单调性可能不同”的特点，为后续用定义证明单调性、分析复杂函数单调性做铺垫。 变式1：根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性. 解：单调区间为：；在区间和上单调递增，在区间和上单调递减. 【说明】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，属于基础题. 【设计意图】考察学生是否能熟练运用“图像法”分析函数单调性。 例2：根据定义证明函数在区间上单调递增. 证明：，，且，有 . 由，，得，. 所以，. 又由，得. 于是， 即. 所以，函数在区间上单调递增. 【说明】本题考查的内容为利用定义法证明单调性；例2这个题目的计算过程略有难度，需要教师的引导和书写规范的证明过程。 【设计意图】先独立思考2分钟，然后小组讨论4分钟，接着小组分享讨论成果，教师巡视并关注各组讨论情况。抽取展讲小组代表，并对展讲做点评。如有学生提出问题或是质疑时，可以由其他同学解答，或是教师答疑。 变式2：证明函数在区间上单调递增. 证明：，且， 则. ，. 又，. ，即. ∴函数在区间上单递增. 【说明】抽1名学生板书解题过程，其余同学在下面独立思考作答，教师对答案，若有需要，纠正答题过程。 【设计意图】通过变式训练加强利用定义法证明单调性的掌握。 五、小组汇报 小组长或成员汇报存在的问题。 【说明】若小组存在问题，小组长举手示意并汇报存在的问题，教师简要记录。其它组帮助解答，若学生都无法很好突破，不要再叫学生起来回答，教师把问题收回，下一环节教师重点点拨。 【设计意图】将课堂还给学生，找出学生存在的问题，并帮助学生总结归纳。 6、 教师点拨 1.单调性定义的两种变式： 设任意且，那么 1. 在上是增函数； 在上是减函数． ②在上是增函数； 在上是减函数． 2. 函数的单调性是函数的局部性质，也就是说函数有可能在不同的区间上具有不同的单调性. 3. 定义法判断函数单调性的四个步骤： 4.对单调区间的说明： （1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”或“，”来连接。 （2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点。 5.求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域． 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用． 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 七、当堂检测 1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 解：该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低. 2. 根据定义证明函数是增函数. 证明：，且，则. ，，，即. ∴函数在上是增函数. 3. 画出反比例函数的图象. （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论. 解：当时，图象如图（1）.当时，图象如图（2）. （1）定义域为. （2）当时，在，上都是减函数. 当时，在，上都是增函数. 证明如下：当时，且，则. ，，..，即. ∴当时，在上是减函数，类似地，可以证明其他三种情况. 【说明】：给学生5分钟在课堂上自主完成（seewo多媒体倒计时），时间到后马上投出答案，统计各题学生做的情况。统计结束后，若有学生有问题（不超过一半的情况下），以小组为单位来解决问题，然后再统计各组解决的情况，视各组的完成情况决定是否需要教师进行进一步的点拨。 【设计意图】通过限时检测，检验本节目标的达成情况，及时了解学生仍需巩固的知识点并及时解决。 八、课后反思 1.函数的单调性是如何定义的？ 2.用定义证明函数的单调性的步骤是什么？ 【说明】学生代表回顾本节课复习了哪些知识，说一说这节课的收获和启发，或是还有什么疑问。 【设计意图】由B或者C层次的学生来小结本节课学到的重点知识，还有哪些疑问，既是检验，也是小结。 学科网（北京）股份有限公司 $