3.2.1 单调性与最大(小)值（第1课时 函数的单调性）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性与单调区间核心知识，以气温变化图创设情境，结合初中一次函数、二次函数图像观察，搭建从直观到抽象的学习支架，引导学生梳理单调性概念的形成脉络。 特色在于概念构建递进式，从图形语言到自然语言再到符号语言，通过二次函数单调性讨论强化“任意性”“区间性”理解，渗透数学抽象与逻辑推理素养。例题分层且附教学反思，助力学生深化概念，为教师提供实用教学策略与改进方向。

3.2.1 单调性与最大(小)值（第1课时） 函数的单调性 （教学设计） 一．教学目标 （1）掌握增、减函数定义，理解函数的单调性与单调区间的含义. （2）掌握确定函数单调区间和分析函数单调性的方法. （3）培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力，渗透数形结合的思想 二．数学素养：数学抽象，逻辑推理，直观想象，数学运算。 三．教学重点和难点： （1）重点：增函数和减函数的定义. （2）难点：函数单调性概念形成与理解；用增减函数定义证明函数的单调性（通过初中学过的一次函数、二次函数和反比例函数突破） 四．教学方法 教师启发讲授，学生探究学习． 五．教学手段 计算机、投影仪． 六. 教学过程 （一）创设情境，引入新课 引例：图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是关于时间 t 的函数，记为θ＝ f (t) ，观察这个气温变化图，说明气温变化情况？ (通过实例揭示课题) （二）初步探索，概念形成 问题：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2的图象，并且观察函数变化规律？   ( x x y y= 2 x O 1 1 2 -1 2 -1 -2 -2 y y= - 2 x O 1 1 2 -1 2 -1 -2 -2 x y y=x 2 O 1 1 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) 图形语言：在某区域内，自左向右，图象呈上升趋势 在某区域内，自左向右，图象呈下降趋势 自然语言：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数； 在一个区间里，y随x增大而减小就是减函数。 对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.   二次函数的增减性要分段说明，进而提出问题：二次函数是增函数还是减函数？ 进一步讨论得出：增减性是函数的局部性质 结合增减性是局部性质，学生会用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。 下面进一步将学生从感性向理性进行引导  以y=x2在 （0，+∞）上单调性为例，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？（难点） 1. 提问学生什么是“随着” 经讨论得出，随着是由于当x取一定的值时，y有确定值与之对应，因此x变化时，y会根据法则随着x发生变化 2. 如何刻画“增大”？ 要表示大小关系，学生会想到取点，比大小，学生也许会用特殊点说明问题，比如x取2、3，2<3，对应的函数值是4<9 提出质疑：这个点的变化能否说明y随着x增大而增大，进一步引导学生从特殊到一般，进入第三阶段，对“任取”的理解。 3. 对“任取”的理解 针对特殊值，学生可能会举反例证明其是不充分的，那么应该如何取值呢？学生可能会多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。    （从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”的过渡，实现“形”到“数”的转换，形成了单调性的定义。） （三）抽象概括 1.函数增（减）性定义 设函数f（x）的定义域为D： （1）如果对于定义域D内某个区间A上的任意两个自变量的值， ，当x1 ＜时，都有f（）＜f（ ），那么我们就说函数f（x）在区间A上是增加的（如下图1） （2） 如果对于定义域D内某个区间A上的任意两个自变量的值 ， ，当 ＜时，都有f（ ）＞f（ ），那么我们就说函数f（x）在区间A上是 减少的（如下图2） 2 .单调性、单调区间、单调函数的概念 如果函数y＝f（x）在定义域的某区间A上是增加的或是减少的，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有单调性，区间A叫作y＝f（x）的单调区间． 如果函数y＝f（x）在整个定义域D内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数。 3.概念的理解 （1）函数单调性是针对某个区间而言的，是函数的一个局部性质; （2） 定义中， 有三个特征，一是同属于一个单调区间，二是, 取值的任意性，不能用特殊值代表任意性；三是有大小，通常规定 < （四）应用举例 例1、根据图象说出函数的单调区间 θ＝f(t)，t∈[0，24] 例2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　) A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 例3.画出函数 图像，则函数 单调区间是 ————————。 探讨：（1）函数 在定义域上是否具有单调性？ （2） 在 和 的单调性? 例4. 证明函数 在(0,+∞)上是减少的. 探讨：如何证明函数的单调性？ 怎样判断f()与f()的大小？ 课堂练习;64页：3题 （五）课堂小结（从知识、思想方法两个方面引导学生进行总结） （6） 教学反思 函数单调性是高中函数的核心性质，既是数形结合思想的重要载体，也是后续导数应用的基础，教学中需兼顾概念理解、方法掌握与能力迁移，结合教学可从以下几方面反思： 1. 概念引入具象化：通过气温变化曲线、股价走势等生活实例，或一次函数、二次函数的图像观察，让学生直观感知“上升”“下降”的特征，避免直接抛出抽象定义，降低理解门槛。 2. 重过程轻结论：引导学生从“观察图像→描述现象→文字定义→符号表达”逐步递进，通过对比“随着x增大，y增大”与严格单调性定义的差异，让学生参与概念的形成过程，深化对“任意性”“区间性”的理解。 3. 例题设计分层：基础题聚焦定义法证明的步骤（取值→作差→变形→判号→结论）， 存在问题 1. 抽象概念理解不透彻：部分学生对定义中“任意两个自变量”“给定区间”的核心条件把握不足，容易忽略“任意性”而误将“特殊值验证”当作证明，或未明确单调性的区间限制（如将函数在不同区间的单调性合并表述）。 2. 代数变形能力薄弱：定义法证明中，作差后的因式分解、配方等变形步骤是难点，学生常因变形不彻底无法判断差值符号，导致证明逻辑断裂。 改进方向 1. 强化概念辨析：设计针对性辨析题（如判断“存在x₁<x₂，f(x₁)<f(x₂)则函数单调递增”的正误），通过反例对比、小组讨论，加深对“任意性”“区间性”的理解；用通俗语言拆解定义，如“在区间内，随便找两个数，先大的对应的函数值也大，就是增函数”。 2. 夯实代数变形基础：课前回顾因式分解、配方、分子有理化等常用变形方法，结合典型例题专项训练；总结作差变形的“目标导向”——将差值转化为可直接判断符号的形式（如平方和、一次因式乘积）。 学科网（北京）股份有限公司 $