2.3二次函数与一元二次方程、不等式教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2．3二次函数与一元二次方程不等式 第2课时一元二次不等式的解法的应用 一、课前回顾 1.完成下表： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ R R ∅ 口述求一元二次不等式解集的步骤是什么？ 2.如何解含参一元二次不等式？ 说明：白板展示二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系的表格，教师请学生起来回答，回忆解一元二次不等式的步骤，如有问题，其他学生再进行补充。 设计意图：通过表格梳理和口述步骤，帮助学生巩固上节课核心知识，强化二次函数、一元二次方程与不等式的内在联系，回顾一元二次不等式的基本解法，为新课中 “实际应用问题”“分式不等式”“恒成立问题” 的学习奠定知识基础；通过提问与补充的互动形式，查漏补缺，激活学生已有知识储备，营造主动参与的课堂氛围。 二、揭示目标 1.能利用一元二次不等式解决一些实际应用问题。 2.会解简单的分式不等式。 3.会通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式的恒成立问题。 说明：把目标投影到白板上，学生齐读目标。 设计意图：明确本节课的学习核心与方向，让学生清晰知晓本节课需达成的能力目标，增强学习的针对性和主动性；齐读目标的形式可强化学生对学习任务的认知，快速集中注意力，为后续学习聚焦重点。 三、自学指导 阅读课本第53页例4：一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：元）之间有如下关系： y=-20+2200x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 例5、某种汽车在水泥路面上的刹车距离( s )（单位：m）和汽车刹车前的车速( v )（单位：km/h）之间有如下关系： 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于\( 39.5 \) m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h）？ 问题1：自己试着列出满足题意的不等式 问题2：如何利用一元二次不等式解实际应用问题？应该注意些什么？ 设计意图：引导学生进行自主探究学习，培养阅读理解能力和独立思考习惯；通过带着具体问题阅读教材例题，让学生主动梳理实际应用问题的解题逻辑，初步感知解题关键，为后续小组讨论和教师点拨做好铺垫，充分体现 “以学生为主体” 的教学理念。 四、小组互助 例1：如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪。如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 变式训练1：某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元。若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个。为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 例2：围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口。已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m。设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。 (1) 将总费用y用旧墙长度x表示出来； (2) 试确定x的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 变式训练2某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，若将楼房建为x()层，则每平方米的平均建筑费用为1160 + 48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ 说明：让学生自主思考例1 ，学生可通过对分子分母符号讨论得出解集，教师总结点拨分式不等式的解法，学生做好笔记，学生再完成变式，小组核对答案，有问题再讲解。 设计意图：通过 “例题 + 变式训练” 的组合，让学生在合作交流中深化对知识的应用能力。例 1 及变式聚焦实际应用问题，巩固自学成果；例 1 及变式针对分式不等式，通过学生自主讨论分子分母符号规律，再由教师总结方法，符合 “先学后教、以学定教” 的原则；变式训练能帮助学生举一反三，突破 “会一道题” 到 “会一类题” 的思维提升，小组核对答案可及时发现问题，培养学生的合作学习能力和问题辨析能力。 五、小组汇报 小组长或成员汇报存在的问题。 说明：若小组存在问题，小组长举手示意并汇报存在的问题，教师简要记录。其它组帮助解答，若学生都无法很好突破，不要再叫学生起来回答，教师把问题收回，下一环节教师重点点拨。 设计意图：精准掌握学生的学习难点和知识盲区，为后续教师点拨提供明确方向，避免教学的盲目性；通过 “小组汇报 — 同伴互助” 的形式，发挥学生的主体作用，让学生在解答他人问题的过程中深化理解，同时培养表达能力和逻辑思维能力，对于学生无法解决的问题，教师收回后重点突破，提升课堂教学的针对性和效率。 六、教师点拨 1.利用一元二次不等式解决实际应用问题： 说明：教师可强调实际问题应注意自变量的取值范围。 2.解分式不等式的策略： (1)对于形如的不等式可等价转化为来解决；对于形如的不等式可等价转化为，来解决． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 3. (1)一元二次不等式在R上的恒成立问题： ①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是； ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 ③一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 ④一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 [提醒]当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为，或 说明：教师在点拨时在白板或黑板上画出对应二次函数图像帮助学生直观理解。强调对未说明是一元二次不等式的要对a是否为0分类讨论。 (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 说明：教师可根据学生基础讲解分离参数法求解此类问题。 设计意图：针对学生汇报的难点和知识重点进行精准突破，通过分步梳理、图像辅助、强调注意事项等方式，将抽象的解题逻辑具象化，帮助学生理清思路、规范解题步骤；补充分离参数法等拓展内容，满足不同层次学生的学习需求；图像辅助能强化学生对 “三个二次” 关系的理解，降低抽象知识的学习难度，确保全体学生掌握核心解题方法。 七、当堂检测 完成课本58页题目7 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好。 (1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 说明：根据课堂的实际情况，若当堂检测本节课已无法完成，就当课后作业布置，下节课上课检查学生完成情况。若是双排课，给学生8分钟在课堂上自主完成（seewo多媒体倒计时），时间到后马上投出答案，统计各题学生做的情况。统计结束后，若有学生有问题（不超过一半的情况下），以小组为单位来解决问题（小组讨论3分钟内），然后再统计各组解决的情况，视各组的完成情况决定是否需要教师进行进一步的点拨。 设计意图：及时反馈本节课的教学效果，检验学生对核心知识的掌握程度，帮助学生查漏补缺；限时完成能培养学生的时间观念和快速解题能力，小组讨论解决问题可延续同伴互助的学习模式，减少教师重复讲解，提高课堂效率；灵活处理检测任务，能适应不同课堂节奏，确保教学任务顺利完成。 八、课后反思 1.说说如何利用一元二次不等式解决一些实际应用题？ 2.如何解分式不等式？ 3.一元二次不等式恒成立问题如何解决？ 4.课后作业：完成《课时作业》P27基础过关题。针对基础好的学生，可增加能力提升题。 说明：以小组的形式回顾，小组长带着组员，学生合上笔记，回顾问题，对存在的问题小组长帮组解决或者及时查看笔记，2分钟后，如有不理解的内容小组长汇报存在的问题，如若本节课已无法完成此环节，下节课以课前回顾的形式呈现。布置课后作业，下一节课上课检查学生完成情况，对没完成的按学科组的预设进行处理。 学科网（北京）股份有限公司 $