2.3二次函数与一元二次方程、不等式（教学设计）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的内在联系，以“卡皮巴拉的新家”实际问题导入，衔接初中二次函数、方程基础，类比一元一次不等式解法，搭建从具体情境到抽象知识的学习支架。 特色在于落实核心素养，通过情境抽象（数学眼光）、小组合作填表与几何画板动态演示（数学思维）、分层练习与模型总结（数学语言），践行“探究-发现”模式，助学生深化数形结合思想，也为教师提供可操作的分层教学范例。

2025年嵩县优质教学资源评选活动 ---高一年级人教A版必修1第二章第三小节 《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计 课程基本信息 主备人 冉静蕊 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版第二章第三小节 教学目标 1. 理解二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的内在联系，能够熟练利用二次函数的图象（抛物线）来解对应的一元二次方程和一元二次不等式。 2.掌握数形结合方法：在探索和解决问题的过程中，深刻体会并掌握“数形结合”这一重要的数学思想方法。学会将抽象的代数问题（解方程、不等式）转化为直观的几何问题（观察函数图象），反之亦然。 3.通过揭示二次函数、方程、不等式三者之间和谐统一的关系，感受数学知识的内在联系性和整体性，体会数学的简洁与和谐之美。 4．体会“数”与“形”既对立又统一的辩证关系，初步形成用普遍联系和相互转化的观点看待数学问题的思维方式。 教学重难点 重点：二次函数与一元二次方程、不等式三者间的关系; 难点：根据数形间的关系，计算一元二次不等式的解集。 学情分析 1. 学生在学习本章节前，并非“零基础”。初中知识衔接：学生在初中已经接触过一元二次方程的解法（如配方法、公式法、因式分解法）和二次函数的基本概念、图象及性质（如开口方向、对称轴、顶点坐标）。他们也初步了解了不等式的性质。这些都是本章节学习的重要基础。 2. 潜在的知识漏洞与混淆点：尽管有上述基础，但部分学生对一些核心概念的理解可能并不扎实，例如对二次函数的顶点坐标公式、一元二次方程根的判别式等记忆模糊或理解不深。初中教材虽提及二次函数与一元二次方程的关系（如用函数图象求方程的近似解），但对其内在联系，特别是与不等式的结合，探讨较少。学生可能习惯于孤立地看待方程、函数和不等式，未能有效建立三者之间的统一联系。 教学准备 教师：多媒体课件 学生：课本，笔记本，画图工具 教学过程 师生活动 设计意图 教学环节一：设置问题----创设情境 卡皮巴拉的新家：动物园中的“卡皮巴拉”深受游客们的喜爱，动物园决定用栅栏为他们扩建一个矩形的“新家”，若栅栏的长度是24m，要求围成的矩形区域面积要大于20m²，那么这个矩形的边长为多少米？ 通过卡皮巴拉激发兴趣，引导学生从生活中的实际问题出发，设立不等式，为后续新课做铺垫。 教学环节二：引导思考----探究新知 1.列出创设情境中的不等式并化简 设这个矩形的一条边长为x米，则另一条边长为（12-x）米，可得不等式 （12－x）x＞20，其中x∈｛x｜0＜x＜12｝。 整理得-12x＋20＜0。 求得不等式的解集，就得到了问题的答案。 提问学生想到了什么，由一元一次不等式中关键点（一个未知数，最高次项的次数为1）这两个点，得到新定义一元二次不等式，并给出本节课第一个概念。 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 其中a，b，c均为常数，且a≠0. 给出不等式并化简，引发学生后续思考。 通过类比一元一次不等式的性质，得出一元二次不等式的定义，让学生在复习旧知的过程中，得到新知。 教学环节三：复习旧知----启发新知 1.复习旧知：一元一次不等式你会解吗？你是如何解的。 问题：如何求解2x-6>0？ 提问学生对于简单的一元一次不等式的解题思路，包括确定一元一次函数，画图，找方程的解，确定不等式的解集等步骤，在脑海中构建解不等式的解集的基本思路。并构建一元一次方程，函数，不等式间的关系。 一次函数的图象 一元一次方程的根根根 一元一次不等式的解 2.启发新知:一元二次不等式怎么解？ 已经有了一元一次不等式的解决过程，可以类比到一元二次不等式吗，你觉得一元二次不等式该如何解决呢？ 从一元一次不等式的解决方法入手，引导学生考虑一元二次不等式的解决方法，环环紧扣，在为学生捋顺解决问题的思路的基础上，为学生后面的学习奠定基础。 教学环节四：讨论探究----确定方法 1.讲解：已经确定了不等式的解决方法，试着解决引入的问题 引导学生在刚回顾过一元一次不等式的解决方法后，尝试着用相同的方法解决一元二次不等式，先确定一元二次函数，再根据一元二次方程确定方程的解并画出函数图象，最后观察图象得出不等式的解集。 2.探究： 以小组合作的形式，试着将解一般的一元二次不等式方法归纳出来。 先由教师提问，一元二次方程的解与什么有关，让学生得出结论，与判别式有关，有三种情况后，由教师在黑板上做出表格，并示范第一种Δ>0的处理办法，后续表格，由学生小组合作探究后，派出代表填写。 二次函数的图像 一元二次方程的根根 一元二次不等式的解集 观看几何画板： 通过动态展示，加深学生的印象。 让学生通过类比归纳的思想，将一元一次不等式的求解思想，用于解决一元二次不等式的问题，由已经掌握的知识，去带入理解新的知识，使学生更容易，也更好突破本节课的知识壁垒。 教学环节五：观察感知----例题学习 例题：求不等式－5x＋6＞0的解集。 本道例题让学生体会化为函数，求方程的解，画函数图象等步骤解决一元二次不等式的实际过程，对本节课的学习成果进行检验。 教学环节六：知识应用----巩固练习 1.在解决完第一个例题后，对本节课的重点内容解一元二次不等式的步骤做出总结：标准化，解方程，画草图，写解集。 2.常规练习题 （1）求不等式9－6x＋1＞0的解集。 （2）求不等式－+2x－3＞0的解集。 3.提升问题 若不等式+ax＋b＞0的解集为{x|x<1或x>5}，求a,b的值。 除第一个为常规问题外，第二个问题的二次项系数不为正数，引发学生思考，要将两边同时乘以-1，化为正数。 而对于提升思考题，则需学生熟练掌握三者间的关系，即可解决，以此检验学生学以致用的能力。 教学环节七：归纳小结----提升能力 1、一元二次不等式的概念 2、解一元二次不等式的流程 共同反思，优化学生的认知结构，培养学生自觉独立学习习惯，提升在学习中反思小结的能力。 教学环节八：布置作业----学以致用 必做题:课本53页练习 选做题：课本55页习题2.3复习巩固部分 由于学生学力水平的差异，注意分层教学，为学有余力的学生提供更多更大的发展空间。 板书设计 教学反思 教学中，我运用了“探究-发现”模式。通过绘制二次函数图象，让学生直观观察其与x轴的交点、在x轴上方/下方的区间，从而自主归纳出一元二次方程的解与不等式解集。这一过程渗透了杜威“从做中学”的理念，学生通过亲手绘图、小组讨论，真正成为知识的发现者，而非被动接受者。 为提高课堂效率，我采取了以下方法：一是利用几何画板动态演示函数图象随参数变化的规律，将抽象问题具象化，有效突破认知难点；二是设计分层练习，从基础判别式应用到含参问题讨论，满足不同学生需求，促进全体发展；三是引导学生总结“函数-方程-不等式”的内在联系，构建知识网络，提升数学思维能力。 反思发现，部分学生对函数、方程、不等式三者关系的转换仍显生疏。未来需加强函数图象应用的训练，并融入更多实际情境问题，深化数学建模思想，进一步提升学生核心素养。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $