精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

华清中学2025-2026学年高三年级自主命题（一） 期中考 科目：数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 4. 已知，，若恒成立，则实数的取值范围是 A. 或 B. 或 C. D. 5. 曲线在处的切线方程为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 6. 已知，若，则值为 A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是假命题 C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 将函数y＝4sin x图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝的图象，下列关于y＝的说法正确的是（ ） A. y＝的最小正周期为4π B. 由＝0可得x1－x2是π的整数倍 C. y＝的表达式可改写成＝4cos D. y＝图象关于中心对称 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________． 13. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________． 14. 已知第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R). （1）求f(x)的最小正周期； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长. 16. 如图，设四棱锥底面为菱形，且，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元. （1）求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望； （2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率. 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2025-2026学年高三年级自主命题（一） 期中考 科目：数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 集合，， ∴是方程的解，即 ∴ ∴，故选C 2. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义得到答案. 【详解】终边经过点，则 故选： 【点睛】本题考查了三角函数值的计算，属于简单题. 3. 设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数，对数函数的性质，及余弦函数的性质解答. 【详解】解：，，， 综上可得 故选： 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题. 4. 已知，，若恒成立，则实数的取值范围是 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求的最小值为，由恒成立得到，解不等式得到的范围. 【详解】因为，等号成立当且仅当， 所以，解得：. 【点睛】利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”三个条件，要确保等号能取到. 5. 曲线在处的切线方程为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】求出的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，可得的方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：的导数为， 可得在处的切线斜率为， 由切线方程为，可得， 解得． 故选：． 6. 已知，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得. 【详解】解： ， 故选： 【点睛】本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题. 7. 已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的实根，，，，满足， 则， 即：，所以， ，所以，根据二次函数对称性可得：， ， 考虑函数单调递增， ， 所以时的取值范围为. 故选：A 【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围. 8. 已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设函数，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】设， ，即， 所以函数是偶函数， 并且，所以函数在单调递减， ，， ， 因为，所以， 即. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是假命题 C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D. 【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确； ，所以“，”是真命题，B错误； 由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误； 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 10. 将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝的图象，下列关于y＝的说法正确的是（ ） A. y＝的最小正周期为4π B. 由＝0可得x1－x2是π的整数倍 C. y＝的表达式可改写成＝4cos D. y＝的图象关于中心对称 【答案】CD 【解析】 【分析】首先根据函数的平移伸缩变换确定新函数解析式为，结合新函数的性质判断各选项的正误 【详解】由题意得，函数的解析式为 选项A，由T＝得y＝的最小正周期为π，错误； 选项B，由＝0有2x＋＝kπ (k∈Z)，即x＝π－ (k∈Z)，故x1－x2是的整数倍，错误； 选项C，＝4sin利用诱导公式得＝4cos＝4cos，正确； 选项D，＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ (k∈Z)，即x＝π－ (k∈Z)，故是函数y＝的一个对称中心，正确． 故选：CD 【点睛】本题考查了三角函数的性质，由三角函数解析式确定周期、对称中心，利用诱导公式判断与不同名三角函数的等价性，从而判断选项的正误 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求出导函数，利用导数确定单调性，极值，判断各选项． 【详解】定义域为， 由题意，当时，，递增，当时，，递减， 所以在时取得极大值，A正确； 当时，，因此在上一个零点1，在上，无零点．因此函数只有一个零点，B错； 因为，在上递减，所以，C正确； ，即， 设，则， 当时，，递增，时，，递减， 所以时，取极大值也最大值． 所以．D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值与最值，不等式恒成立问题．基本方法是：求出导函数，确定和的解，得单调区间，从而确定极值．利用极值及零点存在定理可判断零点个数，利用最值可得出不等式恒成立时的参数范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由函数的解析式可得：， 则， 即的值为e，故答案为. 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得 因此，当且仅当时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 14. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R). （1）求f(x)的最小正周期； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长. 【答案】（1）π；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正余弦二倍角公式化简至标准型，再求的最小正周期即可； （2）根据，求得；由，求得；再利用正弦和角公式求得，结合正定理和余弦定理即可分别求得以及中线. 【详解】（1）f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin. ∴T＝＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π. （2）由（1）知f(x)＝2sin， ∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1， ∴2A－＝，∴A＝.又cos B＝且B∈(0，π)， ∴sin B＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝， 在△ABC中，由正弦定理＝，得＝， ∴a＝7，∴BD＝. 在△ABD中，由余弦定理得， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B ＝52＋－2×5××＝， 因此△ABC的中线AD＝. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及利用正余弦定理解三角形，属综合基础题. 16. 如图，设四棱锥底面为菱形，且，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，证明，即可证明平面，从而可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法即得． 【小问1详解】 连接，取的中点，连接、， ， ，又， ，又四棱锥的底面为菱形，且， 是等边三角形，， ，又， ，故，又平面， 平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，，如图以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系． 则，，， ， 设面的法向量，则， 令，则，由， 又平面一个法向量可取， 设平面与平面的夹角的大小为， 则. 17. 已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， ，，成等差数列， ，解得， ， 经检验， 所以数列为等差数列，. （2），， 设数列的前项和为， 则. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂相求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18. 某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元. （1）求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望； （2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【详解】分析：（1）的所有可能取值为100，200，300，分别求出对应的概率即可； （2）设3个人中获二等奖的人数为，则，分别求出即可. 详解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为100，200，300. ， ， ， （或 ） 所以奖金数的概率分布为 100 200 300 奖金数的数学期望 （元）. （2）设3个人中获二等奖的人数为，则， 所以 ， 设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件， 则 . 答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为. 点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率． 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值. 【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）由分离参数法问题转化为在上恒成立，求出的最大值即可，利用导数确定的单调性，得最大值． 【详解】（1）由已知，当时，，当时，， ∴的减区间是，增区间； （2）函数的定义域是，定义域是， 不等式为， ∴不等式在上恒成立， ∴在上恒成立， 设，则，时，，， 又在上是增函数，，， ∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减， ，， ，∴， ∵，∴，∴整数的最小值为2． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题，解题关键在于问题的转化，解题方法是：用分离参数法转化为在上恒成立，然后再用导数求出的最大值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $