精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 5. 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若，且，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为且，，右焦点为，直线与直线相交于点．若垂直于轴，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 7. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则 D. 不存在点，使得取得最小值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（ ） A. 存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2 B. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6 C. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2 D. 存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等 11. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 过点且平行于的直线的方程为 B. 直线的方程为 C. 点的坐标为 D. 边的垂直平分线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则_______. 13. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M的方程为___________. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点、分别作圆B的切线m和、n与x轴不重合，切线m和n相交于点P，则点P到直线的最小距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，为数列的前 项和． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前 项和． 16. 已知圆：，圆，其中. （1）若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程 （2）设圆与圆的公共弦所在直线为l，且圆的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长 17. 如图，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线平面OCD； （2）求异面直线AB与MD所成角的大小． 18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标. 19. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． （1）求抛物线C的方程； （2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，在求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即，令，解得， 所以直线恒过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 2. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 3. 已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由点在直线上，连接，当时，最大，再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由题意知，点在直线上， 连接，当时，最大，此时， 所以，故， 又圆心到直线的距离，所以. 故选：D 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 4. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直判断A；求出平面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值判断B；由法向量与相等，证明平面可判断C；由点到平面距离的向量法可求得点到平面的距离可判断D. 【详解】在正方体中，， 以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确； 又， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确； 因为，所以平面，故C正确； 点到平面的距离为，故D错误. 故选：D. 5. 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若，且，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得． 【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，则由已知得：，由定义得：，故， 在直角三角形中，，， ， 从而得， ， 求得， 所以抛物线的方程为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中档题． 6. 已知（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为且，，右焦点为，直线与直线相交于点．若垂直于轴，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题借已知条件建立、、的方程，再由方程构造求解即可. 【详解】解：由题意得：，，，，， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，得：， 而垂直于轴，所以是方程的解，则， 整理得：， 故选：A 【点睛】本题考查借、、的等量关系求椭圆离心率的问题，是中档题. 7. 在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，据此计算即可求曲线H长度的最小值. 【详解】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为， 第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点）， 同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮， 所以曲线H长度的最小值为. 故选：C. 8. 若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则 D. 不存在点，使得取得最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D. 【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误； 设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得， 由双曲线的定义可得：，即， 又，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误； 由且，解得：， ∴，则， ∴，同理可得：， 设直线，直线，联立方程得， 设△的内切圆的半径为，则，解得，即， ∴， 由，可得，解得，故， C正确； 若与关于y轴对称，则且，而， ∴，故要使的最小，只需三点共线即可， 易知：，故存在使得取最小值，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】 先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0， 故a2＞0，a3＞0． 根据根与系数的关系，可知 a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4． 故必有公比q＞0， ∴a10． ∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1． ∴a2＝4，a3＝8满足题意． ∴q＝2，a12．故选项A不正确． an＝a1•qn﹣1＝2n． ∵Sn2n+1﹣2． ∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1． ∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确． ∵lgan＝lg2n＝n． ∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（ ） A. 存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2 B. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6 C. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2 D. 存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出C的方程，然后求出选项A，B，C，D给定条件对应的轨迹方程，最后探讨它们的关系而得解. 【详解】设点P(x，y)，由得， 化简得，则曲线C是斜率为2的动直线， 对于A：点到直线C的距离为，即曲线C上存在点与距离小于2，故A错误； 对于B：因，则到点与的距离之和为6的轨迹是中心在原点，长轴长为6的椭圆， 当时，直线C：与这个椭圆有两个交点，故B正确； 对于C：因，则到点与的距离之差为2的轨迹是中心在原点，实轴长为2的双曲线右支， 直线C：与此双曲线渐近线平行，直线C：与这个双曲线右支最多有一个公共点，故C错误； 对于D：当时，到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是顶点在原点，焦点在轴上的抛物线， 由消去得，， 当，直线C与抛物线交于两点，故D正确. 故选：BD. 11. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 过点且平行于的直线的方程为 B. 直线的方程为 C. 点的坐标为 D. 边的垂直平分线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D. 【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为， 则，解得， 所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确； 对于B，由题意知，， ∵，∴， 所以直线的方程为，即，故B正确； 对于C，联立，解得， 所以点的坐标为，故C正确； 对于D，边的中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件中的不等关系可得值，条件中令进行计算可得值，然后由等差数列的通项公式可得答案. 【详解】∵，，∴， 又∵，且，∴， ∵对于任意的，总存在，使得成立， ∴令，得， 又∵，∴，∴． 故答案为：． 13. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆与直线相交的弦长公式求出，即可求解 【详解】因为，则， 又圆直线所得线段的长度是， 所以，解得， 所以圆M的方程为 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点、分别作圆B的切线m和、n与x轴不重合，切线m和n相交于点P，则点P到直线的最小距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，性质，以及直线与双曲线的位置关系，属于较难题. 由题意得到P在双曲线上，设与直线平行的直线方程为，联立方程，由，求出两条切线方程，再利用两平行线间的距离得到点P到直线的最小距离. 【详解】解：设切线m、n与圆B相切的切点分别为M、N， 当点P在第一象限时，由，故点P在双曲线右支上， 同理可得P在双曲线上. 设与直线平行的直线方程为， 联立方程，消去y后整理为， ， 解得， 所以与直线平行且与圆B相切的直线方程为， 则点P到直线的最小距离为． 故答案为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，为数列的前 项和． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前 项和． 【答案】（1）证明：对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减 得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列； （2）由（1）结合等比数列的通项公式可求； （3）利用分组求和法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得的通项公式为， 得，所以． 【小问3详解】 由（2）知， 所以 ． 16. 已知圆：，圆，其中. （1）若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程 （2）设圆与圆的公共弦所在直线为l，且圆的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长 【答案】（1）两圆内切，；（2）直线l的方程为，公共弦长为. 【解析】 【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当时， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 17. 如图，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线平面OCD； （2）求异面直线AB与MD所成角的大小． 【答案】（1） 取中点，连接，． 由M为OA的中点， ，而， , 平面，故平面， 又N为BC的中点，， 平面，故平面， 而 平面MNE, 平面平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，．利用三角形的中位线定理和菱形的性质可得，，利用面面平行的判定定理得到平面平面，进而得到平面． （2）由于，可得或其补角为异面直线与所成的角．作于，连接，在 中求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 或其补角为异面直线与所成的角． 作于，连接， 平面，平面， 故, 又 平面OAP, 故平面OAP，而平面OAP ， ， ，，而 , 故， ，则， 与所成角的大小为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，解方程组可得，，进而求出标准方程. （2）设，根据点斜式写出直线及的方程，解方程组得交点坐标，代入椭圆方程化简得或，与联立，求解可得点的坐标． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， 联立解得，，所以， 因此椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 由（1）知，，. 设，因为点为第一象限的点，故，. 当时，与相交于，与题设不符. 当时，直线的斜率，直线的斜率为. 因为，， 所以直线的斜率，直线的斜率为， 从而直线的方程：①， 直线的方程：②. 联立①②，解得，，即. 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或. 又在椭圆上，故. 联立，解得，； 联立，无解. 因此点的坐标为. 19. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． （1）求抛物线C的方程； （2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y2＝4x（2）存在，λ＝2或 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p＝2，即得抛物线方程； （2）依题意设，联立，消去，得．利用根与系数的关系结合，求得，再由求得的值，即可求得实数λ的值． 【详解】（1）由双曲线，得，， 则，即双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）， 由抛物线C：y2＝2px（p＞0），且其焦点与双曲线的一个焦点重合， 可得，p＝2． ∴抛物线方程为y2＝4x； （2）依题意，F（1，0），设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0． ∴，…① 且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1， 又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2， 代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0）， |NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22 2 4t（y1+y2）+8， ＝（t2+1）（16t2+8）+4t•4t+8＝16t4+40t2+16． 由16t4+40t2+16，解得或（舍）， ∴，故λ＝2或． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，两点之间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力和综合运用知识的能力，难度较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $