精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期第二次月考高二年级 数学试卷 出题人：孙洁 审题人：于海君 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出抛物线的标准方程，即可写出焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，所以抛物线焦点坐标为. 故选：D 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程． 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以渐近线方程为. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，考查学生计算能力，属于基础题． 3. 已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行关系设直线方程，代入点求解即可. 【详解】由题意可设l的方程为， 代入点，可得，得， 即l的方程为， 故选：A 4. 点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案 【详解】解：由得， 由题意得， 所以的周长等于， 故选：B 5. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质求解即可. 【详解】因为椭圆的焦距等于2，所以，即. 所以，解得或. 当时，，此时椭圆的离心率为； 当时，，此时椭圆的离心率为； 所以椭圆的离心率为或. 故选：A. 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 7. 如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分. 9. 已知直线：和圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B 直线与圆相交 C. 存在使得直线与直线：平行 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，把直线化成形式 ，求出定点即可；选项B，判断点到圆心的距离与半径的关系；选项C，用平行直线的特征求出即可；选项D，弦长公式求出即可. 【详解】对于A，由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，A错误； 对于B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，B正确； 对于C，因为直线：的斜率为，所以直线的斜率为，此时直线的方程为，直线与直线重合，故C错误； 对于D，设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：BD. 10. 已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点到轴的距离为 B. C. 为钝角三角形 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 11. 已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 不存在点，使得 C. 当时，的最大值为 D. 的最小值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，由已知可得，，所以， 则，故A正确； 对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确； 对于C，由已知，，所以，． 又，则． 根据椭圆的定义可得， 所以， 由图可知，， 所以 当且仅当，，三点共线时，取得等号． 故的最大值为，故C正确； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，的最小值为，故D错误． 故选：ABC 【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 13. 设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由题可得，，则，故， 因为在双曲线上，所以，即或， 又，所以. 故答案为：6. 14. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，及椭圆的定义可得，即可得最小值. 【详解】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，总分共77分. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出圆心坐标，再由列出方程求解. （2）按切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式列式求解. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 16. 已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． （1）求双曲线的方程； （2）是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）; （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解. （2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解. 【小问1详解】 因，，所以， 由题意可知，， 所以，，解得，， 所以， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意， 设直线的方程为，则 ，消去，整理得， 因为直线与双曲线相交于， 所以且，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，即，解得， 所以 所以不存在这样的直线. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，， 分别为，，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，，然后利用线面垂直的判定定理可得结果. （2）通过建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量为和，然后利用夹角公式可得结果. 【详解】（1）依题意，，为中点，所以，， 又因为平面，，而 又，又 所以，⊥平面. （2）由（1）的证明知，以为原点，如图，建立空间直角坐标系， 则，，， ，, 设平面和平面的法向量为和，夹角为. 则 ， 所以，二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理以及利用向量求解面面角，熟知线线、线面、面面之间的关系，利用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属中档题. 18. 已知抛物线过点，且点A到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于异于原点的P，Q两点． ①当时，求的面积； ②若，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求得的值，进而解得抛物线的方程； （2）先设出两点的坐标，直线与抛物线联立，韦达定理解得，，再由，利用向量列出式子即可求得m的值. 【小问1详解】 根据题意知过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， ， 即， 抛物线的方程为； 【小问2详解】 ①当时，由得，， 设，，为直线与轴交点，则，， ． ②由．则可得， 设，，则， 又，， ， 或， 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合，不符合题意， 当时，，符合题意. 综上可知，实数m的值为． 19. 已知点为椭圆E：的右端点，椭圆E的离心率为，不经过点A的直线l：与椭圆交于B、C两点，直线AB、AC分别与y轴交于M、N两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）如果线段MN的中点的纵坐标等于，那么直线l是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线l经过定点． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程，再结合，解方程得到，，，即可得到椭圆方程； （2）根据直线AB、AC的方程得、，结合韦达定理化简得+，联立直线方程和椭圆方程得到+，，化简可得，进而得出结果. 【小问1详解】 由已知得，离心率， 所以，， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设，，所直线AB的方程为，令得， 同理可得，所以，即， 所以，， 所以， 化简得，（*） 由，得， 由，得，即， 所以，， 代入等式（*）化简得，， 所以，所以或， 当时，直线l的方程为，经过点，不合题意， 当时，直线l的方程为，经过定点， 所以直线l经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第一学期第二次月考高二年级 数学试卷 出题人：孙洁 审题人：于海君 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 5. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A B. 2 C. D. 3 7. 如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分. 9 已知直线：和圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 存在使得直线与直线：平行 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点到轴的距离为 B. C. 为钝角三角形 D. 11. 已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 不存在点，使得 C. 当时，的最大值为 D. 的最小值为1 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为______. 13. 设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________． 14. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，总分共77分. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 16. 已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． （1）求双曲线的方程； （2）是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，， 分别为，，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知抛物线过点，且点A到其准线距离为4． （1）求抛物线方程； （2）设直线与抛物线交于异于原点的P，Q两点． ①当时，求面积； ②若，求实数m的值． 19. 已知点为椭圆E：的右端点，椭圆E的离心率为，不经过点A的直线l：与椭圆交于B、C两点，直线AB、AC分别与y轴交于M、N两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）如果线段MN的中点的纵坐标等于，那么直线l是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $