专题6.1数列之等差数列与等比数列讲义-2026届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列专题，系统覆盖等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质，按“概念-公式-性质-应用”逻辑分层架构知识点。通过知识点梳理、典型例题精讲、分层随堂演练的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破前n项和最值等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出性质归纳与方法创新，如等差数列前n项和最值采用“通项公式分析法”，通过判断正负项确定最值点，培养学生数学思维。选取高考真题作为典型例题，随堂演练分基础与综合层次，落实数学语言表达能力。助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题06数列高考专项复习 专题6.1 等差数列和等比数列 6.1.1 等差数列 知识点梳理 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：①；②. 等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列. 3.等差中项的概念：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中. 4.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列 的首项是，公差是d，则其前n项和公式为. 典型例题 例1.设等差数列的前n项和为，且，则 . 例2.设是等差数列，且，，则的通项公式为 ． 例3.设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 例4.已知等差数列的前n项和为，，，若，则n的值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 例5.记为等差数列的前n项和．已知，，则（  ） A． B． C． D． 随堂演练 1.记等差数列的前n项和为，若，，则 ． 2.等差数列的前n项和为，若，，则的值为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 3.已知等差数列前9项的和为27，，则（  ） A．100 B．99 C．98 D．97 4.设为等差数列的前n项和，若，，则（  ） A．-12 B．-10 C．10 D．12 5.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 6.在等差数列中，若，，则=（  ） A．-1 B．0 C．1 D．6 7.记为等差数列的前n项和，若，，则 . 8.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，，则的值是 . 9.记为等差数列的前n项和，，，则= . 10.已知等差数列的公差为，集合，若，则ab= . 6.1.2 等差数列的性质 知识点梳理 1.等差数列的性质： （1）等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项.[ （2）等差数列中，对任意，，. （3）等差数列中，若，且，则. 特殊地，时，则，是的等差中项. （4）等差数列中，（）构成以md为公差的等差数列. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列. （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列. （8）数列是等差数列的充要条件是. （9）设S偶与S奇分别为该数列的所有偶数之和与所有奇数项之和，则有： ①若共有2n-1项（为中间项），则，S奇-S偶=，. ②若共有2n项（和为中间项），则，S偶-S奇=，. （10）若与为等差数列，且前n项和分别为与，则. 典型例题 例1.已知数列是等差数列，若，且，则k= . 例2.已知数列为等差数列，其前10项和，前100项的和，则前110项的和 . 例3.（1）已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项的和为290，偶数项的和为261，求. （2）一个等差数列的前12项之和为354，前12项中的偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，求该等差数列的公差. 例4.已知等差数列，的前n项和分别为，，若对任意的正整数n，都有，则 . 随堂演练 1.在等差数列中，若，则 . 2.记为等差数列的前n项和，已知，=1，则=（  ） A． B． C． D． 3.已知等差数列的前n项和为，若，则（  ） A．-2 B． C．1 D． 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（　　） A． B． C．10 D．11 5.设为等差数列的前n项和，若，则等于（ ） A． B． C． D． 6.记为等差数列的前n项和．若，，则（ ） A．25 B．22 C．20 D．15 7.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则 . 8.已知等差数列的前n项和为，且，则 . 9.在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 10.若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则该数列的项数为 . 6.1.3 等差数列前n和的最值的方法 知识点梳理 1.图像分析法：利用基本初等函数的图像及图像的变换来求最值. 2.函数性质法：利用基本初等函数的增减性等相关性质来求最值. 3.通项公式分析法： ①若恒成立，则单调递增，最小；若恒成立，则单调递减，最大. ②若，则先增后减，则其有最大值（所有的正项或非负项的和）. 若，则先减后增，则其有最小值（所有的负项或非正项的和）. 4.求导法：由于数列是特殊的函数，我们也可对于其通项公式对应的函数求导来研究其 单调性和最值. 典型例题 例1.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 例2.设数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值及对应的n值． 随堂演练 1.已知等差数列的前n项和为，，，则的最小值为（　　） A．-99 B．-100 C．-110 D．-121 2.（多选题）设等差数列的前n项和为，且.若，则（　　） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 3.设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，…，中最大的项为（ ） A． B． C． D． 4.若等差数列满足，，则当n= 时，的前n项和最大． 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=−3，=−10，则= ，Sn的最小值为 ． 6.已知等差数列5，，，…的前n项和为，当取到最值时，求n的值. 7.在等差数列{an}中，，，求当取到最值时n的值. 8.在等差数列{an}中，d<0，，求当取到最值时n的值. 9.在等差数列{an}中，已知，，试判断，，，…，中哪个最大，并说明理由. 6.1.4 等比数列的概念和基本公式 知识点梳理 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ( q≠0). 2.等比数列的通项公式为( q≠0)，推广形式：. 3.如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且. 4.递推公式形式的定义：或. 5.等比数列的前n项和公式：. 注意：（k≠0，q≠1），为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 典型例题 例1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则a5+a6＝（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 例2.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣16 D．16 例3.已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，，则a4的值为（  ） A．3 B．18 C．54 D．152 例4.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知 ，，则= ． 随堂演练 1.已知等比数列{an}公比为，前n项和为Sn，且满足，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 3.已知等比数列{an}的前3项和为168，，则（  ） A．14 B．12 C．6 D．3 4.设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是（  ） A．，，成等比数列 B．，，成等比数列 C．，，成等比数列 D．，，成等比数列 5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则（  ） A．16 B．8 C．4 D．2 6.已知等比数列{an}满足，，则（  ） A．21 B．42 C．63 D．84 7.在正项等比数列{an}中，已知公比，且，则等于 . 8.设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，，则 . 9.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ． 10.设等比数列{an}的公比为q，对任意的n∈N*，均有前n项和为，公比q的取值范围是 . 6.1.4 等比数列的常用性质 知识点梳理 1.一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 2.，，，…构成以为公比的等比数列. 3.数列{an}是等比数列的充要条件是（k≠0，q≠0），数与常数互为相反数. 4.数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成以为公比的等比数列. 5.若{an}，{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. 6.既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数数列. 7.等比数列的单调性 （1）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递增数列； （2）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递减数列； （3）当q=1时，{an}是常数列； （4）当q<0时，{an}是摆动数列. 典型例题 例1.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且，则有（  ） A． B． C． D．与的大小不确定 例2.等比数列{an}中，，，则数列的前8项和等于 A．6 B．5 C．4 D．3 例3.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝1，S6＝3，则S12＝（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 例4.记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若，，则 S6＝　 　． 随堂演练 1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（　　） A．124 B．144 C．168 D．192 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　） A．81 B．145 C．256 D．273 3.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则（　　） A． B． C． D． 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝-5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．-85 D．-120 5.已知{an}为等比数列，，，则 . 6.已知数列{an}是递增的等比数列，，，则数列{an}的前n项和等于 . 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则 . 8.已知数列{an}为正项等比数列，若，，则 . 9.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= . 10.在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06数列高考专项复习 专题6.1 等差数列和等比数列 6.1.1 等差数列 知识点梳理 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：①；②. 等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列. 3.等差中项的概念：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中. 4.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列 的首项是，公差是d，则其前n项和公式为. 典型例题 例1.设等差数列的前n项和为，且，则 . 解：∵，∴，， ∴，解得：.故答案为：. 例2.设是等差数列，且，，则的通项公式为 ． 解：等差数列中，由，，得2a1+5d=6+5d=36，∴d=6． ∴an=3+6（n-1）=6n-3. 例3.设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 解：∵，，∴，则，∴.所以的最大值为4. 例4.已知等差数列的前n项和为，，，若，则n的值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 解：由，，得，解得：. 则等差数列的公差d=2,∴，， ∵，得，解得：n=9.故选：B. 例5.记为等差数列的前n项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 解：由题意可得：，解得：，∴.故选：A. 随堂演练 1.记等差数列的前n项和为，若，，则 ． 解：∵等差数列的前n项和为，若，， ∴，解得：，，所以.故答案为：14. 2.等差数列的前n项和为，若，，则的值为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 解：设等差数列的公差为,∵，， ∴3×2+=12，解得=2，则a6=2+2×5=12．故答案为：C． 3.已知等差数列前9项的和为27，，则（  ） A．100 B．99 C．98 D．97 解：由已知得：，解得：，，所以. 故选：C. 4.设为等差数列的前n项和，若，，则（  ） A．-12 B．-10 C．10 D．12 解：设等差数列的公差为d， ∵，，∴，即，解得：d=-3， ∴.故选：B. 5.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 解：等差数列的公差设为d,由a4+a5=24，S6=48， 可得2a1+7d=24，6a1+×6×5d=48，解得d=4，a1=-2，故答案为：4． 6.在等差数列中，若，，则=（  ） A．-1 B．0 C．1 D．6 解：在等差数列中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）=（4+a6）=2，解得：a6=0．故选：B． 7.记为等差数列的前n项和，若，，则 . 解：设等差数列的公差为d,由，得， 解得：， 所以S10=10a1+45d=-40+135=95．故答案为：95． 8.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，，则的值是 . 解：设等差数列的首项为，公差为d， 则，解得.∴. 故答案为：16. 9.记为等差数列的前n项和，，，则= . 解：设等差数列的公差为d，则由，可得：， ∴.故答案为：4. 10.已知等差数列的公差为，集合，若，则ab= . 解：设等差数列的首项为a1，则通项，∴， 又∵余弦函数周期为公差为，满足，∴的取值周期为3，即： ，，，，…循环，由题意可知，集合S中仅有两个元素，故上述三个值中必有两个相等.考虑， 由余弦函数性质可得：若，则 （取“-”，因“+”号无整数解），解得：， 代入计算三个余弦值：当n=1时，， 当n=2时，，当n=3时，， 因此，集合S的可能取值为或，两种情况均有ab=.故答案为：. 6.1.2 等差数列的性质 知识点梳理 1.等差数列的性质： （1）等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项. （2）等差数列中，对任意，，. （3）等差数列中，若，且，则. 特殊地，时，则，是的等差中项. （4）等差数列中，（）构成以md为公差的等差数列. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列. （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列. （8）数列是等差数列的充要条件是. （9）设S偶与S奇分别为该数列的所有偶数之和与所有奇数项之和，则有： ①若共有2n-1项（为中间项），则，S奇-S偶=，. ②若共有2n项（和为中间项），则，S偶-S奇=，. （10）若与为等差数列，且前n项和分别为与，则. 典型例题 例1.已知数列是等差数列，若，且，则k= . 解：∵，，则，， 解得：，，设等差数列的公差为d，则， ∵，∴，即，解得：. 故答案为：18. 例2.已知数列为等差数列，其前10项和，前100项的和，则前110项的和 . 解：∵数列，，，…，，成等差数列，设其公差为d。则数列的前100项的和与上述新数列的前10项和相等，即： ，解得d=-22，∴，∴. 故答案为：-110. 例3.（1）已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项的和为290，偶数项的和为261，求. （2）一个等差数列的前12项之和为354，前12项中的偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，求该等差数列的公差. 解：（1）∵，，∴. （2）∵，，∴=354且. 解得：=27，.∴公差. 例4.已知等差数列，的前n项和分别为，，若对任意的正整数n，都有，则 . 解：因为，又，∴.故答案为：. 随堂演练 1.在等差数列中，若，则 . 解：由，得到=5，则．故答案为：10． 2.记为等差数列的前n项和，已知，=1，则=（  ） A． B． C． D． 解：∵，∴，解得：， 又∵=1，∴公差，故.故选：B. 3.已知等差数列的前n项和为，若，则（  ） A．-2 B． C．1 D． 解：根据等差数列求和公式：，∴.故答案为：. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（　　） A． B． C．10 D．11 解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝9，S12＝6， 由题知S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，即9，S8﹣9，6﹣S8成等差数列， 即2（S8﹣9）＝9+6﹣S8，解得S8＝11． 故选：D． 5.设为等差数列的前n项和，若，则等于（ ） A． B． C． D． 解：∵为等差数列的前n项和，所以，，成等差数列，. 又∵，设，，∴，则，∴. 故选：D. 6.记为等差数列的前n项和．若，，则（ ） A．25 B．22 C．20 D．15 解：∵，，∴，，∴，则， ∴. 故选：C. 7.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则 . 解：∵为等差数列，又，∴，又，∴， ∴. 故答案为：6. 8.已知等差数列的前n项和为，且，则 . 解：由，得：，则. 故答案为：12. 9.在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 解：设等差数列的前n项和为，则，∴是等差数列. 因为，所以的公差为1，又，∴，∴. 故答案为：2022. 10.若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则该数列的项数为 . 解：不妨设该数列为，则a1+a2+a3=34，an+an-1+an-2=146，Sn=390， 故3（a1+an）=34+146=180，可得a1+an=60， 故，解得n=13，即这个数列的项数为13. 故答案为：13． 6.1.3 等差数列前n和的最值的方法 知识点梳理 1.图像分析法：利用基本初等函数的图像及图像的变换来求最值. 2.函数性质法：利用基本初等函数的增减性等相关性质来求最值. 3.通项公式分析法： ①若恒成立，则单调递增，最小；若恒成立，则单调递减，最大. ②若，则先增后减，则其有最大值（所有的正项或非负项的和）. 若，则先减后增，则其有最小值（所有的负项或非正项的和）. 4.求导法：由于数列是特殊的函数，我们也可对于其通项公式对应的函数求导来研究其 单调性和最值. 典型例题 例1.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 解：∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46＝a23+a24＞0 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46， 故选：A． 例2.设数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值及对应的n值． 解：（1）根据题意，数列{an}的前n项和， 则 an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣n2+26n﹣[﹣（n﹣1）2+26（n﹣1）]＝﹣2n+27， 当n＝1时，a1＝S1＝25也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝﹣2n+27； （2）根据题意，由（1）的结论，an＝﹣2n+27， 则数列{an}为公差为﹣2的等差数列， 当1≤n≤13时，an＞0，当n≥14时，an＜0， 所以当n＝13时，Sn取最大值，Sn最大值为S13＝13a1（﹣2）＝169． 随堂演练 1.已知等差数列的前n项和为，，，则的最小值为（　　） A．-99 B．-100 C．-110 D．-121 解：设的公差为d，∵，，可得，解得：d=2. ∴，可得：， ∴当n=11时，取最小值为.故选：D. 2.（多选题）设等差数列的前n项和为，且.若，则（　　） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 解：由可得：，整理得：， ∴等差数列是递增数列，∵，∴，，且， ∴的最小值是，且，.故选：BCD. 3.设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，…，中最大的项为（ ） A． B． C． D． 解：在等差数列中，∵，，∴，， ∴，，∴. 由此可知数列为递减数列，因此，，…，为正，，，…为负，则，，…，为正，，，…为负，则：，，…，，，，…，. 又∵，，∴最大.故选：C. 4.若等差数列满足，，则当n= 时，的前n项和最大． 解：由等差数列的性质可得：，又∵，∴， ∴，∴，.∴数列的前8项和最大.故答案为：8. 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=−3，=−10，则= ，Sn的最小值为 ． 解：等差数列{an}中，，得：，又=−3， ∴公差，∴， 有等差数列性质可得：时，an≤0，时，an>0，∴Sn的最小值为S4或S5，即为-10.故答案为：-10. 6.已知等差数列5，，，…的前n项和为，当取到最值时，求n的值. 解：解法一：由已知可得：，，所以. 当n=7或8时，取到最大值. 解法二：∵，， ∴.又∵，， ∴前n项和有最大值，又，，. ∴当n=7或8时，取到最大值. 7.在等差数列{an}中，，，求当取到最值时n的值. 解：由，可得：.∴且为递减数列. ∵，.∴当n=5时，取到最大值. 8.在等差数列{an}中，d<0，，求当取到最值时n的值. 解：由得：. ∵，所以，，.∴当n=16或17时，取到最大值. 9.在等差数列{an}中，已知，，试判断，，，…，中哪个最大，并说明理由. 解：∵，. ∴，. ∴，.所以最大. 6.1.4 等比数列的概念和基本公式 知识点梳理 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ( q≠0). 2.等比数列的通项公式为( q≠0)，推广形式：. 3.如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且. 4.递推公式形式的定义：或. 5.等比数列的前n项和公式：. 注意：（k≠0，q≠1），为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 典型例题 例1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则a5+a6＝（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 解：在等比数列{an}中，S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列， 即2，4，S6﹣S4成等比数列，所以42＝2×（S6﹣S4），所以a5+a6＝S6﹣S4＝8．故选：A． 例2.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣16 D．16 解：设等比数列{an}的公比为q， 则，即q5＝﹣16， ∴．故选：C． 例3.已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，，则a4的值为（  ） A．3 B．18 C．54 D．152 解：∵，∴当时，， 两式相减可得：，即：， 即，∴的公比是3. 令n=1，，又，结合两式可解得：. 所以.故选：C. 例4.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知 ，，则= ． 解：由 ，可得： ，， 两式相除得：，，，代入得：，∴.故答案为：32. 随堂演练 1.已知等比数列{an}公比为，前n项和为Sn，且满足，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 解：∵等比数列{an}公比为，且满足，∴，解得：，故C错误； 又，∴，故D正确； 又，，所以，故B错误； 又，，，故不成立，故A错误. 故选：D. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 解：当时，则，∵与同号，∴.故选：C. 3.已知等比数列{an}的前3项和为168，，则（  ） A．14 B．12 C．6 D．3 解：设等比数列{an}的公比为，若，则，所以， 则，解得：，.∴.故选：D. 4.设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是（  ） A．，，成等比数列 B．，，成等比数列 C．，，成等比数列 D．，，成等比数列 解：，，，，， 则.故选：D. 5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则（  ） A．16 B．8 C．4 D．2 解：设正数的等比数列{an}的公比为q，则由题意可得：， 解得：，，∴.故选：C. 6.已知等比数列{an}满足，，则（  ） A．21 B．42 C．63 D．84 解：由得：，∴， ∴，∴.故选：B. 7.在正项等比数列{an}中，已知公比，且，则等于 . 解：∵，∴， ∴. 8.设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，，则 . 解：由题意可知：，即， 即，即.由题意可知：，所以. ∴.故答案为：15. 9.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ． 解：设等比数列{an}的公比为q，由得：，解得：，. ∴a1a2…an=， ∴当n=3或4时，a1a2…an的最大值为. 10.设等比数列{an}的公比为q，对任意的n∈N*，均有前n项和为，公比q的取值范围是 . 解：∵{an}是等比数列，，可以得到：，q≠0. 当q=1时，. 当q≠1时，，即，可转化为：①或② 解不等式组①得：；解不等式组②得：且q≠0； 综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）.故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）. 6.1.4 等比数列的常用性质 知识点梳理 1.一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 2.，，，…构成以为公比的等比数列. 3.数列{an}是等比数列的充要条件是（k≠0，q≠0），数与常数互为相反数. 4.数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成以为公比的等比数列. 5.若{an}，{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. 6.既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数数列. 7.等比数列的单调性 （1）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递增数列； （2）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递减数列； （3）当q=1时，{an}是常数列； （4）当q<0时，{an}是摆动数列. 典型例题 例1.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且，则有（  ） A． B． C． D．与的大小不确定 解：∵.故选：B. 例2.等比数列{an}中，，，则数列的前8项和等于 A．6 B．5 C．4 D．3 解：在等比数列{an}中，，，∴. ∴.故选：C. 例3.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝1，S6＝3，则S12＝（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 解：因为Sn是等比数列{an}的前n项和且S3≠0， 可知S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9也成等比数列， 又因为S3＝1，S6＝3，则设公比q， 可得4，， 所以S9＝S6+4＝7，S12＝S9+8＝15， 故选：C． 例4.记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若，，则 S6＝　 　． 解：设等比数列{an}的公比为q，由，得，即， 由，得，即2q2﹣5q+2＝0， 解得q＝2或（舍去），所以，所以．故答案为：． 随堂演练 1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（　　） A．124 B．144 C．168 D．192 解：等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）q2＝48， 则24q2＝48，得q2＝2，又．故选：D． 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　） A．81 B．145 C．256 D．273 解：根据题意，因为数列{an}是等比数列，则有（S8﹣S4）2＝S4×（S12﹣S8）， 又由S4＝1，S8＝17，所以S8﹣S4＝16，所以， 所以S12＝256+17＝273．故选：D． 3.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则（　　） A． B． C． D． 解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝4，a4+a5+a6＝6，∴S6＝4+6＝10， ∵{an}是等比数列，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6是等比数列， ∴（S9﹣S6）•S3＝（S6﹣S3）2，解得S9﹣S6＝9，∴S9＝9+6+4＝19，∴．故选：B． 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝-5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．-85 D．-120 解：设等比数列{an}的公比为q，首项为， 若q=-1，则S4＝0，与题意不符；若q=1，则S6＝6=3×2=3S2，与题意不符. ∴由S4＝-5，S6＝21S2可得：，解得：， ∴.故答案为：C. 5.已知{an}为等比数列，，，则 . 解：设等比数列{an}的公比为q，则，则，即，则. 又∵，则，则，则，则. 故答案为：-2. 6.已知数列{an}是递增的等比数列，，，则数列{an}的前n项和等于 . 解：由题意：，，由两式可解得，或，， 而数列{an}是递增的等比数列，所以，，即，∴， ∴前n项和为：.故答案为：. 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则 . 解：设等比数列{an}的公比为q，∵，， ∴，所以，， ∴. ∴.故答案为：. 8.已知数列{an}为正项等比数列，若，，则 . 解：由 ∴，又，∴.故答案为：. 9.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= . 解：由等比数列的性质得：a10a11=a9a12，∴a10a11=. 所以lna1+lna2+…+lna20=50.故答案为：50. 10.在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 解：（1）S2＝30，S3＝155， ∴公比q≠1，，解得a1＝q＝5，或，a1＝180． ∴Sn或Sn． （2）∵a1+a3＝10，a4+a6，∴，解得， ∴S5． （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，设公比为q≠1．则80，6560， 可得qn＝81，a1＝q﹣1． （q﹣1）＝8154，可得q≤3． ∵an＞0，∴1＜q≤3．解得a1＝2，q＝3，n＝4，满足前n项中最大的一项为54． 1 学科网（北京）股份有限公司 $