专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 4 【题型2 累加法求通项公式】 5 【题型3 累乘法求通项公式】 7 【题型4 构造法求通项公式】 9 【题型5 数列的周期性】 11 【题型6 数列的单调性】 12 【题型7 数列的最大（小）项】 14 【题型8 数列中的规律问题】 17 【题型9 递推数列问题】 20 1、数列的概念与简单表示法 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 2023年北京卷：第10题，4分 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容. 知识点1 数列的概念与基本知识 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. =. 知识点2 数列的通项公式的求解策略 1．由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 2．由数列的递推关系求通项公式： (1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. (3)构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 知识点3 数列的性质有关问题的解题策略 1．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 2．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【方法技巧与总结】 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则. 2．在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则. 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 【例1】（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【解答过程】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 【变式1-1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【解答过程】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 【变式1-2】（2025·贵州遵义·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用求出，即可计算即得. 【解答过程】依题意，，， 所以. 故选：D. 【变式1-3】（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据与之间的关系分析可得，令即可得结果. 【解答过程】因为，则， 两式相减可得：，即， 令，可得， 且，所以. 故选：A. 【题型2 累加法求通项公式】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【解答过程】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 【变式2-1】（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，利用累加法可求通项公式. 【解答过程】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 故选：B. 【变式2-2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【解题思路】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【解答过程】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【解答过程】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 【题型3 累乘法求通项公式】 【例3】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解答过程】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【解答过程】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【解答过程】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 【变式3-3】（24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件可得，然后可得，然后用累乘法求出答案即可. 【解答过程】因为数列是常数列，所以， 因为，所以，即， 所以当时 ， 时也满足上式，所以. 故选：B. 【题型4 构造法求通项公式】 【例4】（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【解答过程】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B. 【变式4-1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【解答过程】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【解答过程】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【解答过程】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 【题型5 数列的周期性】 【例5】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先令求出m的值，再求出数列的周期，结合周期即可求得，则答案可求. 【解答过程】令可得， 代入数据得：，解得， 所以， 令，解得，令，解得，令，解得，， 可得数列的周期为3，则， 故选：D. 【变式5-1】（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ） A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【解题思路】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则 . 故选：B. 【变式5-2】（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由递推关系求前几项的值，判断出数列是以4为周期的数列，利用周期性求出. 【解答过程】数列中，，且， 则，，，，，， 所以，即数列是以4为周期的数列， 所以 ， 故选：A． 【变式5-3】（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】求出该数列的周期和一周期内的乘积即可得到答案. 【解答过程】因为数列满足，，所以， 同理可得，所以数列{an}的周期为4，即， 且，而， 所以该数列的前2 025项的乘积是. 故选：C. 【题型6 数列的单调性】 【例6】（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用递增数列满足，即可求解. 【解答过程】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是， 故选：B. 【变式6-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】C 【解题思路】由值不定即可判断A；由题设求出和即可判断B；由求出即可求出判断C；由和即可判断D. 【解答过程】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立， 所以，但值不定， 所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误； 对于B，若时，，，而，故B错； 对于C，若是常数列，则，即， 所以，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 【变式6-3】（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由递增数列定义可得，代入计算即可得解. 【解答过程】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 【题型7 数列的最大（小）项】 【例7】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【解答过程】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B. 【变式7-1】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【解题思路】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 【变式7-2】（2025·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件先求解出的通项公式，A：根据的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据的结果进行判断；C：根据的通项公式结合的表达式进行分类讨论再判断；D：判断的单调性，然后分析的取值范围. 【解答过程】当时，， 当时，， 所以不满足的情况， 所以， 对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：当时，，满足； 当时，，不满足， 故不恒成立，故C错误； 对于D：当时，，满足； 当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时， 且恒成立，所以，也满足； 所以，故D正确； 故选：D. 【变式7-3】（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】化简为，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列， 所以，数列的最小项为，最大项为，所以①正确； 对于②中，当时，满足； 当时，满足；当时，， 所以，满足时，，共有4个值，所以②不正确； 对于③中，当时，，随着的增大而增大，且； 当时，，随着n的增大而减小， 且， 当时，为正数，所以， 综上所述，使得取得最小值的为7，所以③正确； 对于④中，由上述中的讨论，可得在中，只有为负数，且， 所以存在最小值或， 从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值， 所以④正确. 故选：C. 【题型8 数列中的规律问题】 【例8】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到数列的偶数项的通项公式为，即可求解. 【解答过程】由题意，大衍数列的偶数项为， 可得该数列的偶数项的通项公式为， 所以此数列的第30项为. 故选：C. 【变式8-1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长的通项公式，再据此得出数列的通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项. 【解答过程】对于初始的正三角形，边长，周长, 由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍. 因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以. 从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以. 以此类推，可得,代入可得： , 令,则, 则, 令，解得, 令，解得. 所以，. 故选：B. 【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 【答案】C 【解题思路】由给定的勾股弦数组序列中，，，得，由 ，得. 【解答过程】因为，所以． 在给定的勾股弦数组序列中，，所以． 易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为， 所以， 故“弦”的通项公式为 ． 所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于． 故选：C． 【变式8-3】（2025·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【答案】C 【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项. 【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以. 故选：C. 【题型9 递推数列问题】 【例9】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【解答过程】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C. 【变式9-1】（2025·北京昌平·二模）在数列中，，则（    ） A．当时，对于任意的正整数 B．当时，存在正整数，当时， C．当时，对于任意的正整数 D．当时，存在正整数，当时， 【答案】C 【解题思路】对A，当时，可得，得解；对B，由，结合递推关系可得，得解；对C，当时，通过递推关系分，，讨论求解；对D，当时，通过递推关系可得递增，得解. 【解答过程】对于A，当时，有，递推可得，不满足，故A错误； 对于B，当时，，，， 则，不满足存在正整数，当时，，故B错误； 对于C，当时，则，，故， 因为， 若，则， 若，则， 若，则， 综上，当时，对于任意的正整数，，故正确； 对于D，当时，则， 若，则，故递增，故D错误. 故选：C. 【变式9-2】（2024·湖南长沙·三模）已知数列中，，（其中表示的整数部分，表示的小数部分），则（    ） A．2024 B．2025 C．4046 D．4047 【答案】D 【解题思路】由题意，求出，进而归纳出，即可求出. 【解答过程】由题意知，， 则， ， ， ， 以此类推，， 所以，则. 故选：D. 【变式9-3】（2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【解题思路】对于①②，利用作差法可得一元二次不等式，求得数列中的项的取值范围，可得其正误； 对于③④，根据递推公式，利用赋值法求得当数列为常数列时所取的数值，进而求得首项，结合举例，可得答案. 【解答过程】对于①，当时，，，解得， 当时，恒成立，故①错误； 对于②，当时，，，解得或， 易知，由①可知，当时，数列单调递增，， 所以一定存在，当时，，故②正确； 对于③，当时，，令，可得，解得或， 令，解得或， 当时，可得当时，，故③正确； 对于④，当时，，令，则，解得或， 令，可得，解得或， 令，可得，解得， 当时，当时，，故④错误. 故选：B. 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A．153 B．161 C．163 D．238 【答案】B 【解题思路】应用计算求解. 【解答过程】因为，则 ． 故选:B. 2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据递推关系计算发现规律即可求出. 【解答过程】由题意得，，，， 故数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故选：D. 3．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 【答案】A 【解题思路】令 ，可得，再利用求解即可. 【解答过程】中，令， 即， 所以 ， 故选：A. 4．（2025·四川乐山·三模）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（   ） A．2 B．13 C．39 D．49 【答案】C 【解题思路】特值法可判断ABD；分为偶数和偶数，令，求出可判断C. 【解答过程】对于A，令，，故A错误； 对于B，令，，故B错误； 对于C，当为偶数，令，解得：， 当为奇数，令，解得：， 故39不是数列的项，故C正确； 对于D，令，，故D错误. 故选：C. 5．（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意可得，解得即可. 【解答过程】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 6．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．无法判断大小 【答案】B 【解题思路】利用递推关系可得，又可得，进而可得，可求. 【解答过程】因为，所以， 由，可得， 又， 所以， 所以. 故选：B. 7．（2025·福建南平·三模）已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据恒成立，再结合二次函数的单调性列式计算求参. 【解答过程】因为，且对任意的，都有成立， 所以，所以. 故选：D. 8．（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据定义，即，再利用累乘，平方后再由根据递推关系可得答案. 【解答过程】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以 且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．当为偶数时， C．当为奇数时， D． 【答案】BC 【解题思路】令，求出，判断A；当时，求得，分为偶数和为奇数讨论求，判断B和C；由代入求值，判断D. 【解答过程】由， 当时，，解得，故A错误； 当时，， 当为偶数时，，， ，为正奇数，故C正确； 当为奇数时，，即， ，为正偶数，故B正确； ，故D错误． 故选：BC. 10．（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（   ）    A．站在第20拐角的学生是111号 B．站在第23拐角的学生是137号 C．第133号同学站在拐角位置 D．站在拐角位置的同学共有79名 【答案】ACD 【解题思路】由前几个拐角的编号，找到规律，即可逐项判断； 【解答过程】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26 将奇数项的拐角即为，易得：; 偶数序号的拐角即为，由规律可得： 第20拐角的学生编号为：正确； 站在第23拐角的学生编号为：错误； 由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置； 由，可得， 由，可得， 所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确； 故选：ACD. 11．（2025·辽宁·三模）已知数列满足，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解题思路】由已知得数列单调递增，再分类讨论的值，当时，得出进而判断AB；当时，得出进而判断C；当时，得出，即可判断D． 【解答过程】因为，所以数列单调递增，进而， 当时，因为， 所以，所以， 所以， 从而， 所以有，故选项A对，选项B错． 当时，， 所以，选项C错； 同理，当时，，选项D对． 故选：AD． 三、填空题 12．（2025·安徽·模拟预测）已知数列满足，，则 . 【答案】 【解题思路】利用递推赋值，即可求得结果. 【解答过程】由，所以， 故答案为：. 13．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解题思路】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【解答过程】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用关系得，且得，结合数列的单调性求参数范围. 【解答过程】由题设， 又各项均不为零，则， 由，则， 又为递增数列，则， 而，即，则， 综上，，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 16．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 17．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）由（1）得，再分离参数并构造新数列，并求出数列的最小项即可. 【解答过程】（1）在数列中，，当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，不等式， 依题意，，不等式恒成立，令， ，由，得；由，得； 由，得， 因此，则当或时，，， 所以实数的取值范围是. 18．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知递推公式得出是常数列，再计算化简证明； （2）根据单调性结合累加法计算证明即可. 【解答过程】（1）因为数列满足， 所以,， 所以， 所以是常数列，所以， 所以； （2）因为，所以,所以， 因为都大于零，所以可逐步推出, 所以,所以是单调递增数列， 所以， 所以,, 即， 以上个式子累加计算得，所以， 所以,, 所以，所以. 19．（2025·广东佛山·二模）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，． (1)求，，； (2)已知为数列的前项和，求． 【答案】(1)，，； (2) 【解题思路】（1）由题意可得，依次代入，即可求解； （2）设，由题意可得，从而得，再根据数列的通项公式求出，即可得答案. 【解答过程】（1）解：因为，，， 所以， 所以，解得； 又，解得； 又，解得； 所以，，； （2）解：因为， 设，则有， 所以，则， 又因为， 所以， 即， 又， ， ， ， ， 所以， 所以， 所以 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 4 【题型2 累加法求通项公式】 4 【题型3 累乘法求通项公式】 5 【题型4 构造法求通项公式】 5 【题型5 数列的周期性】 6 【题型6 数列的单调性】 6 【题型7 数列的最大（小）项】 7 【题型8 数列中的规律问题】 7 【题型9 递推数列问题】 9 1、数列的概念与简单表示法 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 2023年北京卷：第10题，4分 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容. 知识点1 数列的概念与基本知识 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. =. 知识点2 数列的通项公式的求解策略 1．由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 2．由数列的递推关系求通项公式： (1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. (3)构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 知识点3 数列的性质有关问题的解题策略 1．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 2．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【方法技巧与总结】 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则. 2．在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则. 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 【例1】（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式1-2】（2025·贵州遵义·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式1-3】（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 累加法求通项公式】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【变式2-3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【题型3 累乘法求通项公式】 【例3】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【变式3-3】（24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 构造法求通项公式】 【例4】（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【变式4-1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型5 数列的周期性】 【例5】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ） A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【变式5-2】（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 【变式5-3】（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【题型6 数列的单调性】 【例6】（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【变式6-3】（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 数列的最大（小）项】 【例7】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【变式7-2】（2025·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 数列中的规律问题】 【例8】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 【变式8-1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 【变式8-3】（2025·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【题型9 递推数列问题】 【例9】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·北京昌平·二模）在数列中，，则（    ） A．当时，对于任意的正整数 B．当时，存在正整数，当时， C．当时，对于任意的正整数 D．当时，存在正整数，当时， 【变式9-2】（2024·湖南长沙·三模）已知数列中，，（其中表示的整数部分，表示的小数部分），则（    ） A．2024 B．2025 C．4046 D．4047 【变式9-3】（2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A．153 B．161 C．163 D．238 2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 4．（2025·四川乐山·三模）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（   ） A．2 B．13 C．39 D．49 5．（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．无法判断大小 7．（2025·福建南平·三模）已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．当为偶数时， C．当为奇数时， D． 10．（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（   ）    A．站在第20拐角的学生是111号 B．站在第23拐角的学生是137号 C．第133号同学站在拐角位置 D．站在拐角位置的同学共有79名 11．（2025·辽宁·三模）已知数列满足，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 12．（2025·安徽·模拟预测）已知数列满足，，则 . 13．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 16．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 17．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 18．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 19．（2025·广东佛山·二模）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，． (1)求，，； (2)已知为数列的前项和，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$