精品解析：山东省东营市利津县2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题

2025年12月全县综合素养考试八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年中国新能源汽车市场呈现爆发式增长，渗透率突破，全国销量预计达到1650万辆．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D. 该选项是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 分式的值为0．则x的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 不存在这样的x 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ，， ， 故选：A． 3. 如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. C. 和面积相等 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积等知识点，掌握平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对边相等成为解题的关键． 根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得B错误，C正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确． 【详解】解：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意； B．∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴，故说法正确，故本选项不合题意； C．如图：过A作， ∵， ∴和面积相等，说法正确，故本选项不合题意； D．，则该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 4. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 利津爱学 B. 我爱利津 C. 利津学校 D. 我爱学校 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 5. 在2025年3月14日，华女首届数学节中，初二年级有8个班39个小组参加数学节的体验活动，假设每个小组最终成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己小组能否进入年级前20名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这39个小组成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【详解】解：该学生要知道自己小组能否进入年级前20名，就需要了解39个小组成绩中的中位数， 故选：B． 6. 某服装制造厂要在开学前赶制套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多，结果提前天完成任务，问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服套，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由实际每天完成的校服比原计划多得到实际每天完成校服x（1+20%）套，再根据提前4天完成任务即可列出方程． 【详解】∵原来每天完成校服套，实际每天完成的校服比原计划多， ∴实际每天完成校服x（1+20%）套， 由题意得， 故选：C． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 7. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，得到，，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转后，得到， ，，， 为等边三角形， ，， 在中， ∵，，， ， 为直角三角形，， ． 故选：A． 8. 若关于 x 的分式方程 的解是非负数，则 m的取值范围是（ ） A. m≥-4 B. m≥-4 且 m≠-3 C. m≥2 且 m≠3 D. m≥2 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：m+3=x-1， 解得：x=m+4， 由方程的解为非负数，得到m+4≥0，且m+4≠1， 解得：m≥-4且m≠-3． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 9. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为（　　） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 10. 如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 二、填空题：（本题共8小题，11-14每小题3分，15-18每小题4分，共28分．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= 故答案为． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不为零，求出x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足分母， 即， 解得且． 故答案为：． 13. 一组数据的方差，则该组数据的总和是_________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查方差的计算公式：方差公式中减去的常数3表示数据的平均数，数据个数为7，因此总和为平均数与个数的乘积． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为3，数据个数为7，故总和为． 故答案为：21． 14. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 15. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】25 【解析】 【分析】过A作于D，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解． 【详解】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 故答案为：25． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 16. 如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 【答案】108°##度 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵是平行四边形， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， 故答案为：． 17. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________. 【答案】或 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可. 【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E， 如图1，点E在AB上， ∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6， 在Rt△DBE中，BE=， ∴AB=AE+BE=8， ∴平行四边形ABCD的面积为； 如图2，点E在AB的延长线上， ∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6， 在Rt△DBE中，BE=， ∴AB=AE-BE=4， ∴平行四边形ABCD的面积为， 故答案为或. 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键. 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，则旋转第次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用含度角的直角三角形的性质可得，过点作轴于点，则依据题意可得，利用勾股定理可得，于是可得点的坐标，由旋转的性质可得点的坐标，点的坐标，，由图形规律以此类推，即可得出点的坐标． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，过点作轴于点， ， 到轴距离为， ， ， ， 根据旋转的性质可得： 的横坐标为：，纵坐标为， 由图形规律可得： 的横坐标为：，纵坐标为， ， 以此类推，可得： 的横坐标为：，纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与旋转规律问题，已知两点坐标求两点距离，含度角的直角三角形，垂线的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握坐标在图形中的规律问题是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共2分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，从，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）；（2）；． 【解析】 【分析】（1）按去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤解分式方程，最后检验根即可； （2）化简分式，并判断x不能取的值，得到x能取的值，代入即可得到答案． 本题考查分式方程的解法、分式的化简求值． 【详解】解：(1)方程两边都乘以， 去分母得， 即， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解， 故原分式方程的解是； (2)解： ， 在化简过程中出现在分母中的因式，有、、， ，，， ，，， 当时，原式． 20. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质： （1）证明即可； （2）判断为等边三角形得到的度数，根据（1）中三角形全等得到，根据即可得到答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：，， 为等边三角形． ， ， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若绕着点A顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______． （2）若和关于原点O中心对称，画出；点C的对应点的坐标是______． （3）若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标_______． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2） 如图，即为所求． ； （3），， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据平行四边形的判定确定点P的位置，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点P的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点P的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 22. 根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣粽的单价贵元，小亮妈妈购买蜜枣粽的数量是肉粽数量的倍． 问题解决 任务 确定产品数量 请运用所学知识，求小亮妈妈在超市购买两种粽子的数量． 请根据以上素材完成探究任务． 【答案】肉粽买了个，蜜枣粽买了个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．通过设未知数，根据两种粽子的单价关系列出分式方程，进而求解出两种粽子的购买数量． 【详解】解：设肉粽买了个，则蜜枣粽买了个． 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （个）． 答：肉粽买了个，蜜枣粽买了个． 23. 如图，在平行四边形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ∵， ， ． 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）由等腰三角形的性质得，即得，进而得到，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， ， ∵， ． 24. 如图，在中，和的平分线恰好相交于上的点E，延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义结合平行四边形的性质求得即可证明； （2），求得，再利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是的平分线， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接． （1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； （2）如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； （3）如图③，当时，求的面积． 【答案】（1） 解： ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2） 解：；理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论； （2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论； （3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得：， ， 由（）得：， ，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等、同底等高的三角形面积相等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月全县综合素养考试八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年中国新能源汽车市场呈现爆发式增长，渗透率突破，全国销量预计达到1650万辆．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值为0．则x的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 不存在这样的x 3. 如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. C. 和面积相等 D. 4. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 利津爱学 B. 我爱利津 C. 利津学校 D. 我爱学校 5. 在2025年3月14日，华女首届数学节中，初二年级有8个班39个小组参加数学节的体验活动，假设每个小组最终成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己小组能否进入年级前20名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这39个小组成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 某服装制造厂要在开学前赶制套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多，结果提前天完成任务，问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服套，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若关于 x 的分式方程 的解是非负数，则 m的取值范围是（ ） A. m≥-4 B. m≥-4 且 m≠-3 C. m≥2 且 m≠3 D. m≥2 9. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为（　　） A. 3 B. 5 C. D. 10. 如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本题共8小题，11-14每小题3分，15-18每小题4分，共28分．） 11. 分解因式：______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 13. 一组数据的方差，则该组数据的总和是_________． 14. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 15. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 16. 如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 17. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________. 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，则旋转第次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为________． 三、解答题：本题共7小题，共2分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，从，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 20. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若绕着点A顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______． （2）若和关于原点O中心对称，画出；点C的对应点的坐标是______． （3）若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标_______． 22. 根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣粽的单价贵元，小亮妈妈购买蜜枣粽的数量是肉粽数量的倍． 问题解决 任务 确定产品数量 请运用所学知识，求小亮妈妈在超市购买两种粽子的数量． 请根据以上素材完成探究任务． 23. 如图，在平行四边形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在中，和的平分线恰好相交于上的点E，延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接． （1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； （2）如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； （3）如图③，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $