精品解析：天津河西实验中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

天津河西实验中学2025-2026九年级数学第一次月考试卷 一 、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（ ） A. （﹣3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣1，3） 2. 方程x2－4＝0的解是 A. x＝2 B. x＝－2 C. x＝±2 D. x＝±4 3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象与轴的交点坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 二次函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时 ，y 随x值的增大而减小 8. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机滑行，着陆后滑行的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 11. 如图，抛物线的顶点为，下列结论：①；②；③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则；④若 且 则 ，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二 、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 九年级（5）班同学在观看安全教育警示片时，发现如图的交通标志图案可以绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为_______________度． 14. 九年（6）班“科海想学”学习小组的每个同学都与全组其余同学交换小礼物一件，全组同学交换的小礼物共计90件，这个小组共有_______________个同学． 15. 若抛物线经过点，四个点，则m 的值为________． 16. 若抛物线与轴只有一个公共点，则当 时，函数的最小值为______． 17. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______． 18. 如图，在以每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点O与点A 分别为格线上一点， （1）在如图所示网格中，当点O、 A 均为所在小正方形一边的中点时，的长度为_______________个单位长度； （2）在如图所示网格中，当点O与点A分别为所在小正方形一边的任意一点时，请只用无刻度的直尺，先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点， 并简要说明点B 和点的位置是如何找到的．(图中画线不多于5条)__________________________ 三 、解答题：本题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程的一根为． （1）求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m为何实数，原方程总有两个不相等的实数根． 21. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE． （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由； （3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点C为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点M逆时针旋转可以得到，记旋转角为，则点M的坐标为 ，此时旋转为________度； （4）九年级（7）班同学利用几何画板发现，在x轴上存在点P，使最短，则此时点P的横坐标为 23. 一块三角形材料如图所示，，，． 九年级（8）班同学在劳动课上用这块材料剪出一个矩形，其中点、、分别在、、上．设的长为，矩形的面积为． （1）写出关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）当矩形的面积为时，求的长； （3）若矩形的面积不小于，则的长的取值范围是 ． 24. 在平面直角坐标系中，点，点．将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点分别为，，记旋转角为． （1）如图①，当时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求点，的坐标． （3）在绕点顺时针旋转一周的过程中，设的面积为， 直接写出的最大值． 25. 已知抛物线（b 是常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求m的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求m 的值及这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津河西实验中学2025-2026九年级数学第一次月考试卷 一 、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（ ） A. （﹣3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣1，3） 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论． 【详解】∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点A（3，-1）关于原点的对称点A′的坐标是（-3，1）． 故选C． 2. 方程x2－4＝0的解是 A. x＝2 B. x＝－2 C. x＝±2 D. x＝±4 【答案】C 【解析】 【分析】方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2． 【详解】解：x2－4＝0 x2=4， ∴x=±2． 故选：C． 3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断． 【详解】A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合． 4. 函数的图象与轴的交点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入x=0求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：当x=0时，， ∴函数的图象与y轴的交点坐标为(0，3)， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知图象上的点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 5. 二次函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像和性质，先由二次函数的图像开口方向确定a的正负，再由二次函数图像的对称轴确定b的正负. 熟悉二次函数的图像与系数的关系是解决本题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴． ∴． 故选：D． 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故选：B． 7. 二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时 ，y 随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据函数图象确定对称轴的取值范围、增减性逐项判断即可． 【详解】解：A、观察函数图象，可得出：当时，，A选项正确，不符合题意； B、观察函数图象，可知，，可得出，B选项正确，不符合题意； C、观察函数图象，可找出：当时，y随x的增大而减小，进而可得出当时，，C选项正确，不符合题意； D、观察函数图象，可得出：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机滑行，着陆后滑行的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值，最大值为600， ∴飞机着陆后滑行的距离为， 故选：A 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个， 依题意，得：， 解得： （舍去），． 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 10. 如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ∵， ∴中，． 故选：D． 11. 如图，抛物线的顶点为，下列结论：①；②；③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则；④若 且 则 ，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，根据开口方向和与y轴交于正半轴，得到，据此可判断①；根据对称轴计算公式可判断②；由判别式可得，则即可判断③；可变形为，根据，得到，则，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线的顶点为，即对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴ ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴，即， ∴只需要满足时，关于x的方程有两个不相等的实数根，并不需要满足，③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的说法有①④，共2个. 故选：B． 12. 四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上时，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②正确； ③当点M在上时，，此时，， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：D． 二 、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 九年级（5）班同学在观看安全教育警示片时，发现如图的交通标志图案可以绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为_______________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的对称性，用除以3计算即可得解． 本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故答案为：120． 14. 九年（6）班“科海想学”学习小组的每个同学都与全组其余同学交换小礼物一件，全组同学交换的小礼物共计90件，这个小组共有_______________个同学． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小组有n个同学，每个同学与其他个同学交换礼物，总礼物件数为，令其等于90，解二次方程求n． 【详解】解：设这个小组有n个同学，每个同学与其他个同学交换礼物，因此总礼物件数为． 根据题意，，即， 解得或（舍去）． 故答案为：10． 15. 若抛物线经过点，四个点，则m 的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据点A和点C的坐标可求出对称轴，再根据题意可得点B和点D关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线， ∵点B和点D的纵坐标相同， ∴点B和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 若抛物线与轴只有一个公共点，则当 时，函数的最小值为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】由抛物线与轴只有一个公共点得判别式为零，可求出的值；再根据二次函数的性质，在给定区间内求最小值即可．本题主要考查了二次函数与轴的交点和二次函数的性质，熟练掌握抛物线与轴只有一个公共点时判别式为零是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴判别式， 解得， 故抛物线为． 该二次函数开口向上，对称轴为， ∴顶点横坐标不在区间 内， 当时，， 当时，； 比较得最小值为1． 故答案为：1． 17. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造并证明，通过全等得到，再结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解； 【详解】如图，延长DH交EF于点k， ∵H是的中点 又 则 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等三角形是解题的关键． 18. 如图，在以每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点O与点A 分别为格线上一点， （1）在如图所示网格中，当点O、 A 均为所在小正方形一边的中点时，的长度为_______________个单位长度； （2）在如图所示网格中，当点O与点A分别为所在小正方形一边的任意一点时，请只用无刻度的直尺，先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点， 并简要说明点B 和点的位置是如何找到的．(图中画线不多于5条)__________________________ 【答案】 ①. ②. 和到的水平距离相等，得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明点O、为所在小正方形一边的中点，即可证明得到 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平移，中心对称； （1）当点O、 A 均为所在小正方形一边的中点时，点O与点A分别左右距离1格，上下距离2格，根据勾股定理求解即可； （2）连接并延长与右边1格的竖直线交点即为点A 关于点O 的中心对称的点B，把向下平移3个单位长度到，连接与正中间水平线交点为，连接与右边1格的竖直线交点即为点． 【详解】解：（1）根据勾股定理得：， 故答案为：； （2）先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点，如图所示： 理由如下：如图，可以证明得到，即可得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明得到，即可得到点O为所在小正方形一边的中点， 把向下平移3个单位长度到，连接与正中间水平线交点为，可以得到为中点，即，连接与右边1格的竖直线交点即为点，即可证明得到，即点B 向下平移3个单位长度后得到的点． ， 故答案为：和到的水平距离相等，得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明点O、为所在小正方形一边的中点，即可证明得到． 三 、解答题：本题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：方程分解因式得：， 可得或， 解得：，； 【小问2详解】 解：方程分解因式得：， 可得或， 解得：，． 20. 已知关于x的一元二次方程的一根为． （1）求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m为何实数，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），3 （2）证明：，，， ， 不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是： （1）把代入方程可求得的值，再根据根与系数的关系可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 则方程的另一根为； 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE． （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由； （3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长 【答案】（1） （2）， 理由如下，如图所示： 在中，， ， ， ，即， 又， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，可得，即可求旋转角的度数； （2）由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求，即可得； （3）由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 又， ， ， 故旋转角的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由旋转图形的性质可知，，旋转角， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点C为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点M逆时针旋转可以得到，记旋转角为，则点M的坐标为 ，此时旋转为________度； （4）九年级（7）班同学利用几何画板发现，在x轴上存在点P，使最短，则此时点P的横坐标为 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系下的旋转和平移，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握旋转的性质以及平移规则是解题的关键． （1）根据旋转三要素作出旋转图形即可； （2）连接，确定平移规则进行作图即可； （3）连接，画的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点M； （4）画出点的对称点，连接，与轴相交的点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点的坐标为，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图所示，点的对称点的坐标为，， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为， 故答案为：． 23. 一块三角形材料如图所示，，，． 九年级（8）班同学在劳动课上用这块材料剪出一个矩形，其中点、、分别在、、上．设的长为，矩形的面积为． （1）写出关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）当矩形的面积为时，求的长； （3）若矩形的面积不小于，则的长的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）4或8 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及解一元二次方程、解一元二次不等式、求二次函数解析式、矩形的面积、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）先由矩形的性质得到，根据含30°角直角三角形的性质得，，，接着由勾股定理得到，，继而得出，最后根据矩形的面积公式解答即可； （2）由矩形的面积为，转化为解一元二次方程，再解方程即可； （3）根据矩形的面积不小于5，可得一元二次不等式，再解一元二次不等式即可． 【小问1详解】 解：，，，， 且四边形为矩形， ， 在中，， ． 在中，， ， ， ． 的取值范围：． 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 即的长为4或8． 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 即的长的取值范围是． 24. 在平面直角坐标系中，点，点．将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点分别为，，记旋转角为． （1）如图①，当时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求点，的坐标． （3）在绕点顺时针旋转一周的过程中，设的面积为， 直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现其中的相等关系以及正确构造等边三角形与等腰直角三角形． （1）先利用旋转的性质得出是等边三角形，接着利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半，求出，利用勾股定理求出的值，即可求解； （2）先利用旋转的性质求出，利用勾股定理求出，即可求出的坐标，再利用勾股定理求出后即可求解； （3）根据的运动轨迹是以点为圆心，半径为的圆，即可得出底边上的高的最大值，最后即可得出的面积的最大值． 【小问1详解】 解：点，点， ． 将绕点顺时针旋转，得， ． 如图①， 连接，过点作轴于点， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ． ， ， ． ， ， ． 如图②， 分别过点作轴于点，轴于点， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：设底边上的高为， 由题意得，， 即当最大时，取到最大值． 的运动轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 的最大值为， ． 25. 已知抛物线（b 是常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求m的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求m 的值及这个最小值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）① 或 ；② ，最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，即得答案； （2）①先求出点P关于原点的对称点的坐标，再将点P和的坐标分别代入，得到方程组求解即可； ②先求出，再求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①关于原点的对称点为， ， 将点P和的坐标分别代入， 得， 解得或， 或 ； ②为抛物线上的一个动点， ， ， 点落在第二象限内， ，， ，， 抛物线的顶点坐标为， ， ，， ，当时，有最小值， 此时， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，中心对称的性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $