精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期数学周测(12.28)

重庆南开中学高2028届高一数学练习（12.28） 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，进而求得. 【详解】， 所以. 故选：D 2. 已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，再代入求解即可． 【详解】由扇形面积公式， ，解得， 则扇形的圆心角为1． 故选：B． 3. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 4. ，下列说法不正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 有最小值，没有最大值 C. 有4个零点 D. 在和单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A，根据函数的单调性判断BD，令求出的值，判断C. 【详解】函数的定义域为， 对于A：，所以是偶函数，故A正确； 对于B、D：当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，无最大值； 又是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 在上有最小值，无最大值； 所以有最小值，没有最大值，故B、D正确； 对于C：令，所以，即，所以， 所以有2个零点，故C错误； 故选：C 5. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 6. 已知，则在这4个数中，最小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对取以10为底的对数，得，再根据对数的性质可得，即可判断4个绝对值的最小值． 【详解】对取对数得 ，， ，， 故，即 且 即，即， 故 故在这4个数中，最小的是 故选：B 7. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C 【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键. 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可． 【详解】，且在上单调， ，为常数，， ，， 在上单调递增， 对，，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，，又，． 故选：C． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和基本不等式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，根据不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B，取，可得，所以B不正确； 对于C，取，可得，此时，所以C不正确； 对于D，由，可得，又由， 当且仅当时，即时，显然等号不成立，所以，所以D正确. 故选：AD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点，的角的集合是， C. 若，则恒成立 D. 若角，，则角的最大负角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点，可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将角度关系转化为，结合的取值进而可判断D． 【详解】对于A，若是第一象限角，则，所以， 当，时，，为第一象限角， 当，时，，为第三象限角， 所以是第一或第三象限角，故，故A正确； 对于B，终边经过点，的角的终边落在第一、三象限的角平分线上， 即角的集合是，故B错误； 对于C，当时，，则恒成立，故C正确； 对于D，因为， 所以当时，角的最大负角为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 对任意，有 C. 存在，使得 D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得” 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，根据条件求得，可判断，：直接利用关系式的变换求出结果．对于选项：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果． 对于选项：直接利用函数的单调性判定结果． 【详解】对于选项：，时，，，，而，，故正确； 对于选项：（2），而当，时，， 所以（2），所以，故正确； 取，，其中，，1，，则，；， 从而，而， 对于，假设存在使，，，，，， 这与矛盾，所以错误； 对于：由上面推导可得当，时，，单调递减，为减函数， 所以若，，，则函数在区间上单调递减；当函数在区间上单调递减”，则，，，故正确． 故选：． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦的和差角公式得到方程组，通过解方程组求得与的值，然后利用商数关系进行转换并代入求解即可. 【详解】已知；. 联立方程组，解得：. 由，所以. 故答案为： 13. 已知，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据条件，结合同角三角函数的关系，可得的值，根据诱导公式，化简即可得答案. 【详解】因为，所以， 由，得， 所以． 故答案为： 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数性质，以及基本初等函数性质，画出函数图像，判断有四个零点时，参数的情况，进而根据对数函数性质和二次函数性质，求出结果. 【详解】当时，， 当时，， 且，， 则函数图像如下图所示， 当时，， 即函数在时的最大值为， 当存在，使得，即有四个解，分别为， 由图像可知， 则，即，解得， 当，则方程的解为，化简得， 可知时，恒成立，则， 所以， 由可知，. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若为第二象限角，试化简表达式； （2）若，计算的值. 【答案】（1）； （2） 当，； 当，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简即得. （2）由（1）的信息，利用正余弦齐次式法分类计算即得. 【小问1详解】 由为第二象限角，得， 所以函数. 【小问2详解】 由（1）知，而，则，， 当，即是第二象限角时，， ； 当，即是第一象限角时，， . 16. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 【答案】（1）最合适， （2）元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解； （2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：若选择模型，将代入可得，即， 经验证，均不满足，故模型不合适． 若选择模型，因为过点，所以模型不合适． 若选择模型，将代入可得，即， 经验证，，均满足，故模型最合适，且． 【小问2详解】 解：由成本与销量Q的关系为． 要使生产的产品可以获得利润，则． 因为，所以，即． 因为，所以． 故该产品的销售单价应该高于元． 17. 已知 （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由即可求解； （3）由条件得到，再结合立方和公式即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为 所以， 所以， ， 又因为所以 所以 . 18. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）最小值为，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 19. 定义：若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】（1）不是，理由如下： 函数的定义域为，取，则， 此时，不存在，使得，因此函数不是“伴随函数”. （2）证明：因为函数在定义域为增函数， 则存在，使得， 若，则，故， 所以，所以，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）对分情况讨论，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离，通过二次函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，所以函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得，因为，解得， 即，，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有，则，所以， 令，则，由题意可得，令，， 函数在上单调递增，所以，则， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2028届高一数学练习（12.28） 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，下列说法不正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 有最小值，没有最大值 C. 有4个零点 D. 在和单调递减 5. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则在这4个数中，最小的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点，的角的集合是， C. 若，则恒成立 D. 若角，，则角的最大负角为 11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 对任意，有 C. 存在，使得 D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得” 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知，且，则___________． 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若为第二象限角，试化简表达式； （2）若，计算的值. 16. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 17. 已知 （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 18. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 19. 定义：若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $