精品解析：广东省湛江市雷州市兄弟学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年八年级数学上学期第三次调研测试 一、选择题（共10小题共30分．每小题3分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解且分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE，若∠C＝90°，∠CAD＝32°，则∠BAD的度数为（ ） A. 28° B. 29° C. 30° D. 31° 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（　　） A. B. 4 C. 5 D. 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 8. 从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 9. 如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9 10. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 10 D. 7 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，，则______． 12. 如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 13. 如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是______． 14. 若，则的值为______． 15. 已知，，，则代数式的值为______． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 分解因式或计算 （1）； （2）． 17. 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 18. 如图，已知，，． （1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 20. 如图，的顶点均在格点上． （1）若与关于轴对称，在图中画出，并写出相应顶点的坐标． （2）点坐标为，在轴上找到一点，使的值最小，画出符合题意的图形并直接写出点的坐标． 21. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 五、解答题（三）（（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； （1）①利用图2可得等式：______； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______． 23. 某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； （2）组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级数学上学期第三次调研测试 一、选择题（共10小题共30分．每小题3分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项A中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其他选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别按照同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式进行计算化简即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解且分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、因式分解错误，不符合题意； B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，且因式分解正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE，若∠C＝90°，∠CAD＝32°，则∠BAD的度数为（ ） A. 28° B. 29° C. 30° D. 31° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， 直线直线， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（　　） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ，， ， 故选：A． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 7. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 8. 从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 9. 如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，，进而得到，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选C 10. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 10 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂线段最短、三角形的面积等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 如图：过点A作交于一点，再连接，得，则的最小值为，再运用三角形的面积公式列式求得的长即可． 【详解】解：如图：过点A作交于一点，再连接， ∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵分别为线段上的动点， ∴的最小值为， ∵， ∴，即，解得：， ∴的最小值为10． 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 13. 如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定方法，为公共角，，可根据的判定方法进行添加条件即可得出答案． 【详解】解：可添加的条件是， 在和中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一）． 14. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式，由得，完全平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 15. 已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 分解因式或计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式； （1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 【答案】甲同学的方案可行，理由见解析 【解析】 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下： 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：只有，，不能证明两个三角形全等 ∴乙同学方案不可行 ∴只有甲同学的方案可行． 18. 如图，已知，，． （1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识点， （1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可； 解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 【小问1详解】 如图，以点A，B为圆心，以大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点M，N，过M，N作直线， ∴直线即为所求； 【小问2详解】 如图所示， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）8；（2）675 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，最后把整体代入计算即可； （2）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴   ； （2）∵，， ∴ ． 20. 如图，的顶点均在格点上． （1）若与关于轴对称，在图中画出，并写出相应顶点的坐标． （2）点坐标为，在轴上找到一点，使的值最小，画出符合题意的图形并直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，即可写出顶点的坐标； （2）根据两点之间线段最短，连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；由图可知：； 【小问2详解】 如图，点即为所求，由图知，． 21. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 五、解答题（三）（（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； （1）①利用图2可得等式：______； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______． 【答案】（1）①；② （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，多项式的乘法，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）①结合图形，即可解答：②根据各部分的面积和等于大长方形的面积，两种方法即可解答； （2）根据长方形面积为，由长为宽为列等式，即可求解． 【小问1详解】 ①解：结合图形可得大正方形的边长为，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成， 故答案为：； ②解：结合图形可得大长方形的长为，宽为，是由三个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，两个边长为b的小正方形组成， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：面积为的长方形的长为，宽为； 如图所示： 拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成， ， 故答案为：； 23. 某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； （2）组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】（1），． （2） （1）中的结论成立，证明如下： 如图②： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴． （3） 证明：如图③：过点E作交的延长线于点N， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图①：先说明，再说明，再运用可证明； （2）根据平角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即，再运用可证明； ； （3）如图③：过点E作交的延长线于点N，，由等腰直角三角形可得，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明得到，再由，得到，即可证明得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图①： ∵直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $