精品解析：江苏省苏州市张家港市第二中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期阶段限时练习初三数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　） A. x＝﹣1 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝1，x2＝0 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 2. 平面内，若的半径为3，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小来判断． 【详解】的半径，圆心到直线的距离， ，即， 直线与相交． 故选． 3. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点 C. 开口向上 D. 图象有最低点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 4. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：C． 5. 如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为．若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理和解直角三角形，连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可，熟练用相关性质是解题的关键 【详解】解：如图，连接、、，交于， ，与相切，切点分别为，， ，，，平分， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 7. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 8. 如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作，交于E，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可），求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 此题考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，准确找到点E的位置是关键． 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到正确的结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 10. 已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 则圆锥的侧面积是：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 11. 某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间(单位：分钟)是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是____________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵数据54，62，74，86，90，97处在中间的两个数为74，86， ∴这组数据的中位数为， 故答案为：80． 12. 若抛物线与轴交于两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】∵抛物线与轴交于两点， ∴， 故答案为： 13. 如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为的扇形，那么这个扇形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为圆的直径，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 14. 把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF=DE=3cm，则这个球的半径是_____cm． 【答案】15 【解析】 【分析】过作于，交于，连接，设半径为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：过作于，交于，连接， ， ， 设半径为，则，，， 根据勾股定理得，， 解得：或3（舍， 答：这个球的半径为． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形． 15. 如图，在中，是的中点，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，根据相似三角形的性质得出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 又∵是的中点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ． 【答案】2 【解析】 【详解】解：连AC，并延长AO交⊙O于点C，连CP ∵AC是直径 ∴∠CPA=90° 又∵AB是切线 ∴CA⊥AB， ∵PB⊥l ∴AC∥PB ∴∠CAP=∠APB ∴△APC∽△PBA ∴=， ∴= ∴y=x2 ∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2， 因此当x=4时，x﹣y有最大值是2， 考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质；3．二次函数的最值． 三、解答题（共11题，共82分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，然后进行乘法运算，最后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握其解法是解题的关键． （1）用因式分解法进行计算； （2）用因式分解法进行计算． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或； 【小问2详解】 解：， ∴或． 19. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． 【小问2详解】 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 20. 学校为了解九年级学生体育中考训练效果，组织了一次体育模拟考试，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中扇形统计图中的圆心角为． 九年级学生体育成绩统计表 体育成绩（分） 人数（人） 百分比 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）计算随机抽取的学生人数； （2）　　　　；抽取的部分学生体育模考成绩的中位数为　　　　； （3）已知该校九年级共有名学生，如果体育模考成绩达分（含分）为优秀，请估算该校九年级学生体育模考成绩达到优秀的总人数． 【答案】（1）人 （2）， （3）该校九年级学生体育模考成绩达到优秀的总人数大约人 【解析】 【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题的关键． （1） 根据统计表中得到体育成绩为分的人数为人，对应的百分比为，由此即可求解； （2）由（1）可得到随机抽取的学生人数，从而根据百分比求出体育成绩为分、分的人数，进而可求出和中位数； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：体育成绩为分的人数为人，对应的百分比为， 随机抽取的学生人数：（人）； 【小问2详解】 圆心角为，随机抽取的学生人数为人， 体育成绩为分的人数为：（人）， 体育成绩为分的人数为：（人）， ， 中位数：， 故答案为：，； 【小问3详解】 随机随机抽取的学生人数为：人，其中优秀的人数有：人， （人）， 即该校九年级学生体育模考成绩达到优秀的总人数大约为人． 21. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课．航天员演示了四个太空实验： A．球形火焰实验； B．奇妙“乒乓球”实验； C．动量守恒实验； D．又见陀螺实验． （1）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，则所选的是实验的概率是____________； （2）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，求小明选择和这个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由概率公式求概率，树状图法或列表法求概率，解题的关键是数形结合． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，得到所有等可能的结果数和所求的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，所选的是实验的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明选择和这个实验的结果有种， 小明选择和这2个实验的概率为：． 22. 在中，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理： （1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点D， 在中，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 23. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心、长为半径的圆分别交，于点E，F，直线与相切于点D． （1）证明平分； （2）若，，求涂色部分的面积（结果保留和根号）． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，则有，由得到，再根据角平分线的定义即可证明； （2）利用扇形的面积公式求出，利用三角形的面积公式求出，再根据涂色部分的面积即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴涂色部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、扇形的面积公式、含30度角的直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，． （1）当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度； （2）当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作于，在中，由三角函数可知，，可解得， ，然后在中由勾股定理即可获得答案； （2）作的延长线于点，在中，由三角函数和勾股定理可解得，，再在中，可有，代入求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图①，作于， 在中，，，， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； 答：连接杆的长度为； 【小问2详解】 如图②，作的延长线于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴点滑动的距离为：． 答：这个过程中点滑动的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理等知识，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键． 25. 某服装店以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为：． （1）若服装店一天销售这种服装的毛利润为元，求这种服装每件销售价是多少元?（毛利润=销售价-进货价） （2）每件服装销售价多少元才能使每天的毛利润最大?最大毛利润是多少? （3）销售一段时间以后，服装店决定从每天的毛利润中捐出元给慈善机构，若物价部门规定该产品捐款后每天剩余毛利润不能超过元，为了保证捐款后每天剩余毛利润不低于元，请直接写出这种服装每件销售价的范围_______； 【答案】（1）这种服装每件销售价是元或元 （2）每件服装销售价元才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意，列出方程，解方程即可求解； （2）依题意得，根据二次函数的性质即可求解； （3）设捐款后的剩余毛利润为，依题意，分别解方程，进而根据二次函数的性质求得不等式的解集即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， 解得：或； 答：这种服装每件销售价是元或元； 【小问2详解】 设毛利润为，依题意， ， ∵，抛物线开口向下， 有最大值，当时，， ∴每件服装销售价元才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是； 【小问3详解】 设捐款后的剩余毛利润为，则， 依题意， 即 即，② 解方程①， 解得：， ∵抛物线开向下，， ∴， ② 解得：， ∵抛物线开向下，， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 26. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE． （1）求证：△ABE∽△DBA； （2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值． 【答案】 （1）证明：∵AB=BC， ∴， ∴∠ADB=∠BAE， ∵∠ABE=∠DBA， ∴△ABE∽△DBA； （2）解：PA与⊙O相切， 理由：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∵PB=BE， ∴AB是PE的垂直平分线， ∴AP=AE， ∴∠BAP=∠BAE， ∵∠ADB=∠BAE， ∴∠BAP=∠ADB， ∵∠DAB+∠BDA=90°， ∴∠DAB+∠BAP=90°， ∵点A在⊙O上， ∴PA与⊙O相切； (3)2. 【解析】 【详解】分析: （1）先判断出弧AB=弧BC，进而得出∠ADB=∠BAE，即可得出结论； （2）先判断出AB是PE的垂直平分线，进而得出∠BAP=∠BAE，即可得出结论； （3）先利用相似得出AB，进而用勾股定理求出AE，再判断出△ABE∽△DCE，进而求出CD，CE，即可得出AC，即可得出结论. 详解:（1）略 （2）略 （3）解：设BE=DE=a，则BD=2a， ∵△ABE∽△DBA， ∴， ∴， ∴AB=a， 根据勾股定理得，AE==a， ∵， ∴∠BAE=∠CDE， ∵∠AEB=∠DEC， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∴， ∴CD=a，CE=a， ∴AC=AE+CE=， ∵AD是⊙O直径， ∴∠ACD=90°， 在Rt△ACD中，tan∠ADC==2． 点睛: 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的判定和性质，线段的垂直平分线，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ABE∽△DCE是解本题的关键. 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期阶段限时练习初三数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　） A. x＝﹣1 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝1，x2＝0 2. 平面内，若的半径为3，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 3. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点 C. 开口向上 D. 图象有最低点 4. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为．若，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：________． 10. 已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是______． 11. 某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间(单位：分钟)是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是____________． 12. 若抛物线与轴交于两点，则______． 13. 如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为的扇形，那么这个扇形的面积为________. 14. 把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF=DE=3cm，则这个球的半径是_____cm． 15. 如图，在中，是的中点，，若，则________． 16. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ． 三、解答题（共11题，共82分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 20. 学校为了解九年级学生体育中考训练效果，组织了一次体育模拟考试，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中扇形统计图中的圆心角为． 九年级学生体育成绩统计表 体育成绩（分） 人数（人） 百分比 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）计算随机抽取的学生人数； （2）　　　　；抽取的部分学生体育模考成绩的中位数为　　　　； （3）已知该校九年级共有名学生，如果体育模考成绩达分（含分）为优秀，请估算该校九年级学生体育模考成绩达到优秀的总人数． 21. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课．航天员演示了四个太空实验： A．球形火焰实验； B．奇妙“乒乓球”实验； C．动量守恒实验； D．又见陀螺实验． （1）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，则所选的是实验的概率是____________； （2）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，求小明选择和这个实验的概率． 22. 在中，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果保留根号） 23. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心、长为半径的圆分别交，于点E，F，直线与相切于点D． （1）证明平分； （2）若，，求涂色部分的面积（结果保留和根号）． 24. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，． （1）当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度； （2）当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，，） 25. 某服装店以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为：． （1）若服装店一天销售这种服装的毛利润为元，求这种服装每件销售价是多少元?（毛利润=销售价-进货价） （2）每件服装销售价多少元才能使每天的毛利润最大?最大毛利润是多少? （3）销售一段时间以后，服装店决定从每天的毛利润中捐出元给慈善机构，若物价部门规定该产品捐款后每天剩余毛利润不能超过元，为了保证捐款后每天剩余毛利润不低于元，请直接写出这种服装每件销售价的范围_______； 26. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE． （1）求证：△ABE∽△DBA； （2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $