精品解析：中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2026届高三上学期12月测试数学试题

标准学术能力诊断性测试2025年12月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据决定系数的定义判断即可. 【详解】由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好， 所以. 故选：C. 2. 已知集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合的具体元素，再通过集合间的包含关系判断充分必要条件即可. 【详解】因为，且所以， 又因为，因此的可能取值为，即， 解不等式，整理得， 所以，所以， 解得，又因为，所以， 因为，所以由“”能推出“”, 故“”是“”的必要条件； 因为不包含于（中有不属于），所以“”不能推出“”， 故“”是“”的非充分条件， 因此，“”是“”的必要非充分条件. 故选B. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可求得双曲线的渐近线方程为，结合题设条件列出方程求解即可. 【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 解得. 故选：C. 4. 已知数列的前项和为，数列满足，，则（ ） A. 1988 B. C. 32 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用已知及前n项和化简计算求值. 【详解】因为数列满足， 所以 所以， 又因为，则，所以. 故选：B. 5. 如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量的线性运算求出和，再利用向量的数量积公式即可求出答案. 【详解】由题意得，， ， 所以， 因为，，， 所以，，， 所以. 故选：A. 6. 已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. D. 是钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得，又由三角恒等变换得，即可判断A，进而得，结合即可判断BD， 再由余弦定理即可判断C. 【详解】由题意有：， 所以， 所以，即，故A正确； 由，所以或，而，即， 由，又， 又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误； 又，所以，故C正确； 故选：B. 7. 函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. 向左平移个单位后是奇函数 C. 的对称轴为， D. 的减区间为， 【答案】A 【解析】 【分析】由图象依次求得，代入点求出，即得解析式判断A，应用平移变换结合函数奇偶性判断B，应用对称轴方程计算判断C，根据正弦函数的单调性计算判断D. 【详解】结合函数的图象，设其最小正周期为， 则，所以，因，所以， 又因为，所以， 因，由图知，图象过点，则， 所以，即，由，可得， 所以，故A错误； 把向左平移个单位可得是奇函数，故B正确； 由，可得的对称轴为，，故C正确； 由，可得， 即的减区间为，，故D正确. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是具有周期性的奇函数 B. 若关于的方程在上有且仅有一个根，则 C. ，，满足 D. 若的图像与直线在上恰有3个交点，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A，根据，推出判断为奇函数，利用反证法证明不是周期函数；对于选项C，作差判断正负；对于选项BD，求出的解析式，作出在区间上的图象，在同一坐标系内作出直线的图象，通过观察图象求解. 【详解】对于选项A，由，用替换得， 又，所以，且的定义域为，所以为奇函数. 假设函数是周期函数，周期为，则， 由，得， 所以对任意都成立，取，得， 因为函数为奇函数，所以，所以，与矛盾.故不是周期函数，故选项A错误； 对于选项C，因为当时，， 任取，， ， ， 所以，C选项错误； 对于D选项，当时，， 当时，， 由得 当时，，， 当时，，，因为， 以代，得，所以， 所以， 因为，所以， 当时，，， 当时，，. 在同一坐标系内作出函数，的图象，和直线的图象，如图 观察图象可知，当直线与在和上的图象相切时，的图象与直线在上恰有3个交点. 由，消去得，由，得，所以； 由，消去得，由，得，所以. 所以的图象与直线在上恰有3个交点时，故选项D正确； 对于选项B，由图象可得时，方程在上也有且仅有一个根，故选项B错误. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分. 9. 若为复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数计算求解判断A，特殊值法计算判断B，应用模长性质计算判断C，应用复数乘方及复数的几何意义运算判断D. 【详解】对于A：设，若，则，即，则为实数，A选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于C：因为，则，则的最大值为，C选项正确； 对于D：若，则在复平面内对应的点在第二象限，D选项正确； 故选：ACD. 10. 已知苗圃中树苗的高度服从正态分布，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 树苗高度的下四分位数的估计值为105 C. 若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为 D. 已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为17 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用频率和为1计算，利用中点值和频率来估计平均数，即可判断A，利用频率分布直方图中的百分位数估计可判断B，利用古典概型概率公式可判断C，利用分层方差的计算公式可判断D. 【详解】由频率和为1可得：， 解得：； 利用中点值来估计平均数：，故A正确； 树苗高度的下四分位数，即分位数，设下四分位数为， 则，解得：， 即树苗高度的下四分位数的估计值为，故B错误； 根据频率可计算高度位于第一组和第七组的样本树苗各有棵， 从这10棵树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，， 则的概率为，故C正确； 已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4， 由频率分布直方图可知：两组树苗落在和的频率分别为， 可得这两组树苗合并后的平均数为：， 根据分层计算的方差公式， 可得：，故D正确； 故选：ACD 11. 如图所示，正方体的棱长为2，点和点分别是棱，上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点，的正方体截面可以是直角三角形 B. 为定值4 C. 直线与直线所成角余弦值的取值范围为 D. 直线与面夹角的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】过点，的正方体截面为三角形只能是锐角三角形，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法依次分析选项BCD即可. 【详解】正方体截面要是三角形，则该截面必须与同一顶点出发的三条棱相交， 因为该截面要过点 ，所以只能都在最左侧（或者最右侧）截面才是三角形, 根据正方体性质得到该三角形为等腰三角形，如图以为例，， 设，其中 ， 则由余弦定理得到，所以为锐角， 所以必定为锐角三角形； 所以过点，的正方体截面若为三角形只能是锐角三角形，选项A错误； 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 则，， 则，选项B正确； 直线与直线所成角为 则， 因为，所以，选项C正确； 面的法向量为 ，设直线与面夹角为， 则 ,因为，所以， 因此直线与面夹角的最大值为，选项D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】由题意得：， 故答案为：. 13. 三棱锥的四个顶点均在半径为3的球表面上，线段恰经过的外心且，则棱的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作图，连接，证明，再利用几何关系即可求出答案. 【详解】连接， 因为线段恰经过的外心， 所以平面，垂足为， 又因为平面，所以， 因为球的半径为，所以， 又因为，所以，， 在中，， 在中，. 故答案为：. 14. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，即，令，即，利用导数研究单调性，进而得，再令，即，利用导数研究单调性，进而求解. 【详解】由题意有：，又， 所以， 令，即， 又，由， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，所以，令，即， 所以， 所以当时，，所以在单调递减， 所以，所以，又， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若存在使得成立，求的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式成立可得即可，构造函数并求出函数的最大值可得结果； （2）将不等式恒成立转化为在上恒成立，对参数的取值分类讨论，即可求得. 【小问1详解】 易知的定义域为， 由可知，即存在满足， 令， 则，显然当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 所以，因此即可满足题意； 即的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可知当时在上无解， 因此在上恒成立； 由在定义域内恒成立可得在上恒成立； 因此可得在上恒成立， 令，则， 当时，； 若，可得在上恒成立； 此时可知在上单调递增，因此在上恒成立，满足题意； 若，由可得，即在上单调递增； 由可得，即在上单调递减； 所以，此时在上不恒成立，不合题意； 综上可知， 因此的取值范围为 16. 如图所示，已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，面积为的平行四边形所在平面与平面垂直，且平面平面，点到平面的距离为. （1）求的长； （2）若的长为，求的长. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理得出，再应用面面垂直的性质定理得出平面，最后计算求解； （2）先结合余弦定理得出，再根据线面垂直得出，进而计算求解. 【小问1详解】 中，由得 ， 如图所示，过作于， 又平面平面，平面平面，平面， 平面 即为点到平面的距离， 在中， 【小问2详解】 中，由题意可知：， 或（舍），即， 如图所示，过作于，与交于点， 由（1）可知平面， 平面， ，同理可证， 又，，平面， 平面 平面， 17. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点；在点处作曲线的切线，设与轴交于点重复以上过程，得的近似值序列：，并称数列为函数的牛顿数列.已知函数，函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若数列满足且（e为自然对数），求数列的前项积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由导数几何意义求切线方程，接着令得，结合点在该切线上即可求解； （2）由代入得，取对数得，进而得数列是等比数列，再利用等比数列通项公式和前项和即可求解. 【小问1详解】 由题意得，设切点为，由切线几何意义得切线斜率为， 故切线方程为， 则令，得， 由给定定义知在该切线上，所以， 所以； 【小问2详解】 由题，且， 所以， 所以数列是一个首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以. 18. 养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表： 种类 鳜鱼 鲢鱼 草鱼 第一次捕捞鱼（条） 100 600 300 第二次捕捞鱼（条） 197 1211 592 第二次捕捞标记鱼（条） 5 30 15 （1）请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数； （2）已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量. （i）求的均值； （ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？ 参考数据：. 【答案】（1）40000条 （2）（i）592；（ii）有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元 【解析】 【分析】（1）根据表格数据和鱼的总数计算公式求解； （2）（i）设捞到鳜鱼的数量为，由题知，根据二项分布的期望公式鳜鱼的期望进而可求出； （ii）注意到一网鱼中只要有1条鳜鱼，总价格就会大于500元，根据二项分布的概率求出至少1条鳜鱼的概率，判断其是否大于即可. 【小问1详解】 根据题意得，，， 所以（条）. 【小问2详解】 （i）由题意可知以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计整体， 一网鱼中某条鱼为鳜鱼的概率为， 所以一网鱼中鳜鱼的数量， 则总价，， 故（元）； （ii）当一网鱼没有鳜鱼时，总价为元， 有一条鳜鱼时，总价为元， 一网鱼总价超过500元即一网鱼中至少有一条鳜鱼， 由（i）得，， 因为， 所以，， 所以有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元. 19. 已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值. 【答案】（1），椭圆 （2）6 【解析】 【分析】（1）设到直线的距离为，由题意得，即，化简整理即可求解； （2）设直线方程为，，，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，进而得，再求直线的方程和直线的方程，解出，又，设直线方程为：，解出的坐标，进而得的坐标，进而得，最后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的准线， 设到直线的距离为， 由题意知，， 所以， 所以，， 所以， 所以是椭圆； 【小问2详解】 由题意直线的斜率不等于零，设方程为，，， 所以，恒成立， 所以，①， 又直线的方程为：②， 直线的方程为：③， 联立②③可得， 代入，可得， 将①代入可得，所以点的横坐标为4， 同理可得点的横坐标为4， 直线为定直线：， ，， ， 故设直线方程为：， 设直线方程为：， ，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 标准学术能力诊断性测试2025年12月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 已知集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知数列的前项和为，数列满足，，则（ ） A. 1988 B. C. 32 D. 5. 如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. D. 是钝角三角形 7. 函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. 向左平移个单位后是奇函数 C. 的对称轴为， D. 的减区间为， 8. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是具有周期性的奇函数 B. 若关于的方程在上有且仅有一个根，则 C. ，，满足 D. 若的图像与直线在上恰有3个交点，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分. 9. 若为复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第二象限 10. 已知苗圃中树苗的高度服从正态分布，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 树苗高度的下四分位数的估计值为105 C. 若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为 D. 已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为17 11. 如图所示，正方体的棱长为2，点和点分别是棱，上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点，的正方体截面可以是直角三角形 B. 为定值4 C. 直线与直线所成角余弦值的取值范围为 D. 直线与面夹角的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数为_____. 13. 三棱锥的四个顶点均在半径为3的球表面上，线段恰经过的外心且，则棱的长为_____. 14. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若存在使得成立，求的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 16. 如图所示，已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，面积为的平行四边形所在平面与平面垂直，且平面平面，点到平面的距离为. （1）求的长； （2）若的长为，求的长. 17. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点；在点处作曲线的切线，设与轴交于点重复以上过程，得的近似值序列：，并称数列为函数的牛顿数列.已知函数，函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若数列满足且（e为自然对数），求数列的前项积. 18. 养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表： 种类 鳜鱼 鲢鱼 草鱼 第一次捕捞鱼（条） 100 600 300 第二次捕捞鱼（条） 197 1211 592 第二次捕捞标记鱼（条） 5 30 15 （1）请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数； （2）已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量. （i）求的均值； （ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？ 参考数据：. 19. 已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $