精品解析：山东省东明县第一中学等校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

山东省大联考高三数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合，常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质，指数函数与对数函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列，导数及其应用，立体几何与空间向量，直线的方程． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求解集合A，解方程求解集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由，得，又因为，所以， 又，所以. 故选：C. 3. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 4. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系 【详解】，，， 故. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式化简已知条件可得，即可得结果. 【详解】， ∴. 故选：D 6. 在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和正弦定理化简为，再根据，结合两角和的正弦公式化简，即可求解. 【详解】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 7. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，将问题转化为在上存在变号零点，再分和两种情况讨论即可. 【详解】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为. 故选：D 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值. 【详解】因为，所以， 解得或0或． 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得：，根据正弦函数周期公式判断A；代入检验，结合对称性的性质判断BC；以为整体，结合正弦函数的性质求值域. 【详解】因为， 对于选项A：因为函数的最小正周期为，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为不为0， 所以函数的图象不关于点对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上的值域为，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论截距为和不为即可. 【详解】若直线经过原点，则方程为； 若直线不经过原点，设方程为， 故，得，所以方程为. 故答案为：或. 13. 设等差数列的前项和为，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出公差，，利用基本不等式即可求解 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，又，解得 ，所以. 故，，， 当且仅当时取等号，即时取得最小值. 故答案为： 14. 已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正三棱锥外接球半径，结合“正三棱锥体积正三棱锥表面积正三棱锥内切球半径”，可求内切球半径的表达式，再结合三角换元的方法可求内切球半径的最大值. 【详解】设正三棱锥的底面边长，到平面的距离为， 所以，， 所以，，， 所以 ， 不妨设，，所以，所以， 设，， 所以， 所以内切球半径的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步源． 15. 已知幂函数，且在上单调递增． （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据幂函数的定义，由求得m，再根据单调性确定m的值； （2）由（1）知，判断其单调性和奇偶性，根据，由求解. 【小问1详解】 由幂函数的定义得，解得或， ①当时，，此时函数在区间上单调递减，不合题意，舍去， ②当时，，此时函数在区间上单调递增，符合题意， 由上知； 【小问2详解】 由（1）知，此时函数的增区间为，减区间为， 且函数为偶函数，图象关于轴对称， 又由，若，则， 所以或， 解得或， 故实数的取值范围为． 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，化简已知条件，即可求得； （2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，求得，再利用余弦定理即可求得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 则，即， 又在中，由，故. 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，得. 又由，有，则，可得， 由余弦定理得，则，可得. 17. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【小问1详解】 ∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）得， ∴ . 18. 如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点. （1）当平面时，说明点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）点是线段的中点，证明： 连接，且，再连接， 平面，平面，且平面平面， ，又由为线段的中点，得是的中位线， 为线段的中点；   （2） 【解析】 【分析】（1）连接，且，再连接，利用直线与平面平行的性质即可判断证明； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，可设，并以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则， 设是平面的一个法向量，则， 取为平面的一个法向量，且， 设直线与平面所成角为，与所成角为， 则. 19. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减； （2） 令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数符号判断单调性； （2）构造函数，证明，再证明； （3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围. 【小问1详解】 由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省大联考高三数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合，常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质，指数函数与对数函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列，导数及其应用，立体几何与空间向量，直线的方程． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上的值域为 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______. 13. 设等差数列的前项和为，若，则的最小值为__________． 14. 已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步源． 15. 已知幂函数，且在上单调递增． （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 17. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 18. 如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点. （1）当平面时，说明点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $