精品解析：辽宁省盘锦市双台子区第一中学2025-2026学年 八年级上学期数学期中试题

数学试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分120分) 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于D，，于P，则长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 空调是人们现代生活中不可缺少的一部分，在墙上安装空调时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法背后的数学依据是______． 12. 因式分解___________ 13. 若可以配成一个完全平方式，则m的值为___________ 14. 如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为__________ 15. 如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 先化简， 再求值： 其中 18. 在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出关于轴对称的（不写画法）； （2）连接、，则的面积是______； （3）记是轴上一点，连接，，得，当周长最小时，点的坐标为_______．（直接写出结果） 19. 如图，C为上一点，点A、D分别在两侧，，，，与是否全等？请说明理由． 20. （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①：： 公式②： 公式③： 公式④：． 图2对应公式 ，图4对应公式 ． （2）请利用你所学过乘法公式解决下面的问题： ①已知 求的值； ②已知 求的值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若阴影部分的面积为，，线段的长度为 (提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°) 21. 如图，是的角平分线，过点B作交的延长线于点C，点F在上，连接交于点G． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数． 22. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 我们细心观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a， b， c分别是三边的边长且 请判断 的形状，并说明理由． 23. （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，线段和相交于点，．连接、，．求证：． ①如图2，小欣同学的想法是以点为圆心．长为半径画弧，交于点，连接，从而构造出全等三角形； ②如图3，小铭同学发现，故将复制粘贴在的外侧．以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法或按自己的想法写出完整的解题过程． 类比分析】 （2）请你在理解了小欣同学或小铭同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题．如图4，已知，，证明：．． 【拓展应用】 （3）是等边三角形，点E是直线上一动点(点E不与点A，B重合)．点F 在直线上， 连接， 使．过点E作，垂足为点M．若等边 的边长为 ，请直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分120分) 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，进行判断即可． 【详解】解：设第三边的长为，由题意，， ∴， 故第三边的长可能为3； 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为． ∴对称点的坐标为． 故选：A． 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，同时在第一个三角形中，为，两边的夹角，在第二个三角形中，为边的对角， ∴． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式，熟记各运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、、不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 6. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误， 故选：B． 7. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角等于不相邻的两个内角之和的性质，根据角平分线的性质以及三角形内角之和为180°的性质，分析相互角度关系，把已知角度代入关系式求解，问题即可得到解决． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，平分交于D，，于P，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 空调是人们现代生活中不可缺少的一部分，在墙上安装空调时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法背后的数学依据是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性进行作答即可． 【详解】解：由图可知，这种方法背后的数学依据是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 12. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式y，再对剩余部分应用平方差公式进行因式分解． 【详解】原式 故答案为． 13. 若可以配成一个完全平方式，则m的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 将表达式与完全平方式比较，确定a和b值，再根据中间项系数相等求解m． 【详解】解：， 可以配成一个完全平方式， ， 解得． 故答案为：． 14. 如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质等知识，本题分三种情况：，，，根据平行线的性质和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ， 把沿折叠，点C落在点处， ， ， ， ； 如图2，当时， ， ， 由折叠得， ， ， ； 是线段上的一个动点， 不存在的情况， 综上所述，等于或， 故答案为：或． 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）利用提公因式法把原式分解因式，再利用平方差公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 先化简， 再求值： 其中 【答案】 ； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 需要先根据完全平方公式和平方差公式对中括号内的式子进行化简，再进行除法运算，最后将给定的，的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当，， 原式． 18. 在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出关于轴对称的（不写画法）； （2）连接、，则的面积是______； （3）记是轴上一点，连接，，得，当周长最小时，点的坐标为_______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图−轴对称、轴对称的性质、点的坐标的规律，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别找出点A、B、C关于y轴对称的对称点、、，即可作图； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）找出点B关于轴的对称点，再根据点C、P、三点共线时，的值最小即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，的面积是； ； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求； ∵点B与点关于轴对称， ∴y轴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C、P、三点共线时，的值最小． 此时，点的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，C为上一点，点A、D分别在两侧，，，，与是否全等？请说明理由． 【答案】与全等，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形全等的判定方法，解题的关键是明确全等三角形的判定方法． 首先利用平行线的性质可得，再利用定理判定即可． 【详解】解：与全等． 理由：， ， ，， ． 20. （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①：： 公式②： 公式③： 公式④：． 图2对应公式 ，图4对应公式 ． （2）请利用你所学过的乘法公式解决下面的问题： ①已知 求的值； ②已知 求值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若阴影部分的面积为，，线段的长度为 (提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°) 【答案】（1）④；③ （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式③即可得解； ②利用（1）中的公式②即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式②求出的值，即可得解； 【小问1详解】 解：图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式④； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式②； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 【小问2详解】 ①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②把平方得：， ∵ ∴． 【小问3详解】 设，，由， 则有， 由阴影部分面积为32， 可得，即， 把两边平方得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 的长度为 故答案为：． 21. 如图，是的角平分线，过点B作交的延长线于点C，点F在上，连接交于点G． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义、平行线的判定． （1）由垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，进而得到，利用等量代换得到，再利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 22. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 我们细心观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a， b， c分别是三边的边长且 请判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组得到，再利用完全平方公式和提公因式法分解因式，进一步利用提公因式法分解因式即可； （2）根据题意可得，则可得到，根据非负数的性质可得，据此可得结论． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 23. （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，线段和相交于点，．连接、，．求证：． ①如图2，小欣同学的想法是以点为圆心．长为半径画弧，交于点，连接，从而构造出全等三角形； ②如图3，小铭同学发现，故将复制粘贴在的外侧．以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法或按自己的想法写出完整的解题过程． 【类比分析】 （2）请你在理解了小欣同学或小铭同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题．如图4，已知，，证明：．． 【拓展应用】 （3）是等边三角形，点E是直线上一动点(点E不与点A，B重合)．点F 在直线上， 连接， 使．过点E作，垂足为点M．若等边 的边长为 ，请直接写出线段的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，得到，等角的补角相等，得到，等边对等角，得到，等量代换即可得证；②证明，即可得证； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，进而证明，得到，，证明为等边三角形，得到，证明，得到，根据，结合等量代换即可得出结论； （3）分点在上，点在的延长线上，点在的延长线上，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①由作图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴（等角的补角相等）， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①当点在上时, ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； ②当点在延长线上时, 过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③若点在的延长线上，则，与已知，矛盾， ∴此种情况不存， 综上：或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形、等边三角形的性质和判定等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $