陕西省榆林市清涧县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

清涧县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1．若关于x的方程（3﹣a）x2﹣5x+1＝0是一元二次方程，则a的值不可以为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 2．下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 3．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，如表是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据表格，估计张辰一次投篮命中的概率是（　　） A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85 4．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 5．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 6．如图，在正方形ABCD内，以CD为边作等边三角形CDE，连接BE，则∠ABE的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为19cm，宽为12cm，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是170cm2，若设空白边的宽度为xcm，根据题意列出的方程是（　　） A．12（19﹣2x）＝170 B．（12﹣x）（19﹣x）＝170 C．19（12+2x）＝170 D．（12﹣2x）（19﹣2x）＝170 8．如图，在△ABC中，E是AC边上一点，连接BE，∠CBE＝∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，交BE于点F．已知AC＝9，BC＝6，，则CF的长为（　　） A． B．7 C． D．6 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．已知，则 　 　 ． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝32°，D是AC边的中点，连接BD，则∠ABD＝　 　 ． 11．若x＝1是方程x2+mx﹣3＝0的一个解，则这个方程的另一个解是　 　 ． 12．燕子是众所周知的益鸟，它的繁殖方式是靠产卵，然后孵化，孵化后雏鸟为雌性与为雄性的概率相同．一个燕子窝中有2枚卵．如果这2枚卵都成功孵化，则2只雏鸟都为雄性的概率是　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，点M从点A开始沿AB边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿BC边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过　 　 秒后，△MBN与△ABC相似． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点O作OE⊥DC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，此时CF＝3OF，若OE＝3，则线段BD的长为　 　 ． 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15．解方程：2x2﹣5x+3＝0． 16．围棋是一种智力游戏，棋子分黑白两色，形状为扁圆形体．一个不透明的盒子里放了黑、白两种棋子共20颗．张毅将盒子里的棋子搅匀后从中随机摸出一颗，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次，发现有60次摸到白棋，请你估计盒子里白色棋子的数量． 17．如图，直线a∥b∥c，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝3，AC＝8，DE＝4，求EF的长． 18．智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务．某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩338个．求该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率． 19．为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程中随机选择一门学习． （1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是　 　 ； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 20．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，延长DC至点F，且DE＝CF，BE＝AF． 求证：▱ABCD是矩形． 21．用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：（2x﹣1）2＝5（2x﹣1）．下面是小睿的解题过程： 解方程：（2x﹣1）2＝5（2x﹣1）． 解：两边同时约去2x﹣1，得2x﹣1＝5．（第一步） 移项，合并同类项，得2x＝6．（第二步） 两边同时除以2，得x＝3．（第三步） （1）小睿的解题方法是从第 　 　 步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确的解出这道题． 22．如图，菱形ABCD中的两条对角线BD，AC相交于点O，其中BD＝8，∠ACD＝23°，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE． （1）求AE的长度； （2）求∠E的度数． 23．“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在AC，AD的延长线上取点E，F，连接EF，使得EF∥CD．经测量，CD＝9m，EF＝15m，且点F到河岸BC的距离FH为16m．过点A作AB⊥BC于点B（AB即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 24．手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价0.5元，那么平均每天可以多售出2件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为CD的中点，连接BE并延长交AC于点F，且有BF＝AF，过点F作FH⊥AB于点H． （1）求证：△BDE∽△ADC； （2）若EF＝3，求BE的长度． 26．【问题情景】如图，E是正方形ABCD的边AB上一点（点E与点A，B不重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． 【初步探索】 （1）如图1，求证：AE＝BF； 【深入研究】 （2）如图2，连接EF，DF，若AB＝4，△DEF的面积为6． ①求AF的长； ②如图2，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 清涧县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C D B D C 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1．若关于x的方程（3﹣a）x2﹣5x+1＝0是一元二次方程，则a的值不可以为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【解答】解：∵方程是一元二次方程， ∴3﹣a≠0，则a≠3， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程方程的定义．熟练掌握该知识点是关键． 2．下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由相似多边形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、2：4＝5：10，故A符合题意； B、3：4≠5：10，故B不符合题意； C、4：4≠6：10，故C不符合题意； D、3：4±9：10，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似三角形多边形的判定方法． 3．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，如表是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据表格，估计张辰一次投篮命中的概率是（　　） A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85 【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数较大时，频率稳定于概率，因此，计算总命中次数与总投篮次数的比值作为估计值，即可得到答案． 【解答】解：当试验次数较大时，频率稳定于概率，由篮球队的队员张辰投篮的统计结果可知，命中率在0.80附近波动，则估计张辰一次投篮命中的概率是0.80， 故选：C． 【点评】本题考查由频率估计概率，读懂题意是解决问题的关键． 4．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【分析】菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【解答】解：A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 5．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，利用判别式公式求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：Δ＝42﹣4a×（﹣1）＝16+4a＝0，且a≠0， 解得a＝﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查由一元二次方程判别式求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 6．如图，在正方形ABCD内，以CD为边作等边三角形CDE，连接BE，则∠ABE的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据正方形，等边三角形的性质得到∠BCE＝30°，∠CBE＝75°，结合角度的计算即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝DE＝CE，∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°， ∴BC＝CE，∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣75°＝15°， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 7．如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为19cm，宽为12cm，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是170cm2，若设空白边的宽度为xcm，根据题意列出的方程是（　　） A．12（19﹣2x）＝170 B．（12﹣x）（19﹣x）＝170 C．19（12+2x）＝170 D．（12﹣2x）（19﹣2x）＝170 【分析】根据照片的长、宽及空白边的宽度，可得出图案部分的长为（19﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm，结合图案部分的面积是170cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设空白边的宽度为xcm，则图案部分的长为（19﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm， 根据题意得：（12﹣2x）（19﹣2x）＝170． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，E是AC边上一点，连接BE，∠CBE＝∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，交BE于点F．已知AC＝9，BC＝6，，则CF的长为（　　） A． B．7 C． D．6 【分析】先证明△ACD∽△BCF，再列出比例求出CF的长． 【解答】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于点D， ∴∠ACD＝∠BCF， 又∠CBE＝∠A， ∴△ACD∽△BCF， ∴， ∵AC＝9，BC＝6，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形角平分线的定义，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．已知，则 　　 ． 【分析】先根据已知条件，把a用b表示，c用d表示，然后分别代入所求分式中进行化简即可． 【解答】解：∵， ∴a＝3b，c＝3d， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝32°，D是AC边的中点，连接BD，则∠ABD＝　58°　 ． 【分析】先求得∠A＝58°，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出BD＝AD，AC＝18，BC＝12，根据等边对等角，即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝32°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣32°＝58°， ∵D是AC边的中点， ∴BD＝AD，AC＝18，BC＝12， ∴∠ABD＝∠A＝58°， 则∠ABD的度数为58°． 故答案为：58°． 【点评】本题考查了直角三角形中斜边上的中线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 11．若x＝1是方程x2+mx﹣3＝0的一个解，则这个方程的另一个解是　﹣3　 ． 【分析】设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系得x1•1＝﹣3，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一根为x1，根据题意得x1•1＝﹣3，所以x1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 12．燕子是众所周知的益鸟，它的繁殖方式是靠产卵，然后孵化，孵化后雏鸟为雌性与为雄性的概率相同．一个燕子窝中有2枚卵．如果这2枚卵都成功孵化，则2只雏鸟都为雄性的概率是　　 ． 【分析】用树状图法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种， ∴只雏鸟都为雄性的概率是； 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法和树状图法，树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，点M从点A开始沿AB边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿BC边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过　1或　 秒后，△MBN与△ABC相似． 【分析】根据△MBN与△ABC相似，分两种情况：当BM与AB是对应边时，当BM与BC是对应边时，进行计算即可． 【解答】解：设经过x秒后，△MBN与△ABC相似， 则BM＝AB﹣AM＝4﹣x，BN＝2x， ∵∠B＝∠B， ∴当BM与BC是对应边时， ，即，解得x＝1， 当BM与AB是对应边时， ，即，解得， 故经过或1秒后，△MBN与△ABC相似． 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点O作OE⊥DC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，此时CF＝3OF，若OE＝3，则线段BD的长为　12　 ． 【分析】先根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝OC，BO＝OD，从而可得AO＝OD＝OC＝OB，再说明F是AO的中点，结合DF⊥AO，可说明△AOD是等腰三角形，再证明△AOD是等边三角形．然后利用中位线的性质求得AD，从而可求得BD． 【解答】解：由矩形的性质可知AC＝BD，AO＝OC，BO＝OD， ∴AO＝OD＝OC＝OB． ∵CF＝3OF， ∴F是AO的中点． ∵DF⊥AO， ∴△AOD是等腰三角形， 即OD＝AD， ∴OD＝AD＝AO， 即△AOD是等边三角形． 又∵OD＝OC，OE⊥DC， ∴E是CD的中点． 又∵O是AC的中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴AD＝2OE＝6， ∴BD＝2OD＝2AD＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三线合一，等边三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15．解方程：2x2﹣5x+3＝0． 【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：方程2x2﹣5x+3＝0， 因式分解得：（2x﹣3）（x﹣1）＝0， 可得：2x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得：x1，x2＝1． 【点评】考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 16．围棋是一种智力游戏，棋子分黑白两色，形状为扁圆形体．一个不透明的盒子里放了黑、白两种棋子共20颗．张毅将盒子里的棋子搅匀后从中随机摸出一颗，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次，发现有60次摸到白棋，请你估计盒子里白色棋子的数量． 【分析】先求出摸到白棋的频率，再利用频率估计概率，从而可利用概率求数量． 【解答】解：∵一共摸了100次，有60次摸到白棋， ∴摸到白棋的频率， ∴估计摸到白棋的概率是0.6， ∴估计盒子里白色棋子的数量为20×0.6＝12（颗）， 答：估计盒子里白色棋子的数量有12颗． 【点评】本题考查了由频率估计概率，已知概率求数量，由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17．如图，直线a∥b∥c，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝3，AC＝8，DE＝4，求EF的长． 【分析】先求出BC，再根据由平行截线列出比例式求解． 【解答】解：∵直线a∥b∥c，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，AC＝8，AB＝3， ∴BC＝AC﹣AB＝8﹣3＝5． ∵a∥b∥c， ∴． ∵AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴， ∴． 【点评】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 18．智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务．某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩338个．求该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率． 【分析】设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意列出一元二次方程，求出x的值，并根据题意取舍即可． 【解答】解：设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意，得200（1+x）2＝338， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 故该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为30%． 【点评】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 19．为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程中随机选择一门学习． （1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是　　 ； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画出树状图，再利用概率公式求解． 【解答】解：（1）阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修． 九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们两人选择的劳动课程相同的情况有5种， 所以概率为． 【点评】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，延长DC至点F，且DE＝CF，BE＝AF． 求证：▱ABCD是矩形． 【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD，由DE＝CF，推导出EC＝FD，而BE＝AF，可根据“SSS”证明△BEC≌△AFD，得∠BCE＝∠ADF，因为∠BCE+∠ADF＝180°，所以∠ADF＝90°，即可证明▱ABCD是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∵延长CD至点E，延长DC至点F，且DE＝CF， ∴DE+DC＝CF+DC， ∴EC＝FD， 在△BEC和△AFD中， ， ∴△BEC≌△AFD（SSS）， ∴∠BCE＝∠ADF， ∵∠BCE+∠ADF＝180°， ∴∠ADF+∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝90°， ∴▱ABCD是矩形． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明△BEC≌△AFD是解题的关键． 21．用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：（2x﹣1）2＝5（2x﹣1）．下面是小睿的解题过程： 解方程：（2x﹣1）2＝5（2x﹣1）． 解：两边同时约去2x﹣1，得2x﹣1＝5．（第一步） 移项，合并同类项，得2x＝6．（第二步） 两边同时除以2，得x＝3．（第三步） （1）小睿的解题方法是从第 　一　 步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确的解出这道题． 【分析】（1）第一步的变形不符合等式的性质； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0，或 2x﹣1﹣5＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的； 故答案为：一； （2）正确解法为：（2s﹣1）2﹣5（2s﹣1）＝0， （2x﹣1）（2x﹣1﹣5）＝0， 2x﹣1＝0，或 2x﹣1﹣5＝0． 所以x1，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 22．如图，菱形ABCD中的两条对角线BD，AC相交于点O，其中BD＝8，∠ACD＝23°，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE． （1）求AE的长度； （2）求∠E的度数． 【分析】（1）先根据菱形的性质得出AB＝DC，AB∥DC，再证明四边形ABDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出AC⊥BD，即∠COD＝90°，从而可求得∠CDO，再根据平行四边形的性质得出BD∥AE，从而可求得∠E． 【解答】解：（1）由菱形性质可知：AB＝DC，AB∥DC． ∴ED∥AB， 又∵DE＝CD， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD． ∴AE＝BD＝8， ∴AE的长度为8； （2）由菱形性质可知：AC⊥BD，即∠COD＝90°． ∵∠ACD＝23°， ∴∠CDO＝180°﹣90°﹣23°＝67°． ∵BD∥AE， ∴∠E＝∠CDO＝67°． 【点评】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 23．“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在AC，AD的延长线上取点E，F，连接EF，使得EF∥CD．经测量，CD＝9m，EF＝15m，且点F到河岸BC的距离FH为16m．过点A作AB⊥BC于点B（AB即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 【分析】先证明△ACD∽△AEF，再根据相似三角形的性质列出比例求得，从而可得．再证明△ABD∽△FHD，根据相似三角形的性质列出比例求得AB＝24． 【解答】解：∵CD∥EF， ∴∠ACD＝∠E，∠ADC＝∠AFE， ∴△ACD∽△AEF， ∴， ∴， ∴． ∵AB⊥BC，FH⊥BC， ∴∠ABD＝∠FHD＝90°． ∵∠ADB＝∠FDH， ∴△ABD∽△FHD， ∴， ∴， ∴AB＝24， ∴这段河流的宽度为24m． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 24．手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价0.5元，那么平均每天可以多售出2件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 【分析】（1）设当每个手工编织挂件降价x元时，根据“张阿姨每天可获得192元利润”列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设当每个手工编织挂件降价x元时， 由题意，得， 解得x1＝2，x2＝﹣6（舍去）． 答：当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润； （2）张阿姨每天的销售利润不能达到260元， 设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润， ， ∴y2+4y+5＝0， b2﹣4ac＝42﹣4×1×5＝﹣4＜0， 所以张阿姨每天的销售利润不能达到260元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为CD的中点，连接BE并延长交AC于点F，且有BF＝AF，过点F作FH⊥AB于点H． （1）求证：△BDE∽△ADC； （2）若EF＝3，求BE的长度． 【分析】（1）依据题意，由CD⊥AB，FH⊥AB，则∠BDE＝∠ADC＝90°，又BF＝AF，可得∠DBE＝∠DAC，从而可得△BDE∽△ADC，进而可以得解； （2）依据已，由点E为CD的中点，则，结合△BDE∽△ADC可得AD＝2BD，故AB＝AD+BD＝3BD，又FH⊥AB，AF＝BF，则，从而，结合CD∥FH，可得，进而可以得解． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°，CD∥FH． ∵BF＝AF， ∴∠DBE＝∠DAC． 又∵∠BDE＝∠ADC， ∴△BDE∽△ADC； （2）解：∵点E为CD的中点， ∴． ∵△BDE∽△ADC， ∴， ∴AD＝2BD， ∴AB＝AD+BD＝3BD． ∵FH⊥AB，AF＝BF， ∴， ∴． 由（1）知CD∥FH， ∴， ∴BE＝2EF＝2×3＝6． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 26．【问题情景】如图，E是正方形ABCD的边AB上一点（点E与点A，B不重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． 【初步探索】 （1）如图1，求证：AE＝BF； 【深入研究】 （2）如图2，连接EF，DF，若AB＝4，△DEF的面积为6． ①求AF的长； ②如图2，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【分析】（1）证明△ADE≌△BAF（ASA），得出AE＝BF即可； （2）①设AE＝BF＝a，得出BE＝CF＝4﹣a，求出，，，根据△DEF的面积为6，求出正方形ABCD的面积为4×4＝16，得出，解方程求出a＝2，即可得出答案； ②连接AM，并延长交CD于点H，连接FH，证明△DMH≌△EMA（AAS），得出DH＝AE＝2，AM＝MH，根据勾股定理得出，根据中位线的性质得出． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAF+∠DAG＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， 在△ADE和△BAF中 ， ∴△ADE≌△BAF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）①解：设AE＝BF＝a， ∵AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°， ∴BE＝CF＝4﹣a， ∵，，， 又∵△DEF的面积为6，正方形ABCD的面积为4×4＝16， ∴S△ADE+S△BEF+S△CDF＝16﹣6， ∴， 整理得：a2﹣4a+4＝0， ∴（a﹣2）2＝0， ∴a＝2， ∴AE＝BF＝2， 在Rt△ABF中，； ②解：如图，连接AM，并延长交CD于点H，连接FH． ∵在①的条件下，AE＝BF＝2， 在正方形ABCD中，AB∥DC， ∴∠MDH＝∠MEA，∠MHD＝∠MAE， ∴点M是DE的中点， ∴DM＝EM， 在△DMH和△EMA中 ， ∴△DMH≌△EMA（AAS）， ∴DH＝AE＝2，AM＝MH， ∴CH＝CD﹣DH＝2， 又∵CF＝BC﹣BF＝2， ∴CH＝CF＝2， 在Rt△CFH中，， ∵AM＝MH，点N是AF的中点， ∴MN是△AFH的中位线， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是能熟练利用正方形中“十字架”模型、勾股定理和三角形中位线定理进行求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $