精品解析：河南省信阳市息县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上期九年级适应性测试（二）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中式纹样是一种独特的艺术形式，不仅代表着中国传统文化中的吉祥和美好，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 3. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】由旋转的性质可知，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB 4. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解本题的关键． 由根与系数的关系得出，从而得出结论． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 点，都在该函数图象上，则 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，比较反比例函数值的大小，求反比例函数值，求出当时的函数值即可判断A；根据解析式可得该反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，据此可判断B、C、D． 【详解】解：A、在中，当时，，则图象不经过点，原结论错误，符合题意； B、∵在中，， ∴该反比例函数图象经过第一，三象限， ∵点，都在该函数图象上，且， ∴，原结论正确，不符合题意； C、∵在中，， ∴该反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，原结论正确，不符合题意； D、在中，， ∴该反比例函数图象经过第一，三象限，原结论正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片分别记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故选：B． 7. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可． 【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得： ． 故选D． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键． 8. 如图，是的直径，点A，C在上，，交于G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系．根据直径所对的圆周角为90度可知，根据，可知，进而可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线经过点（－1，－4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥－6；③若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2−4ac>0，即b2>4ac，所以①正确； ∵抛物线的顶点坐标为(−3，−6)，即x=−3时，函数有最小值，∴ax2+bx+c⩾−6，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=−3，而点(−2，m)，(−5，n)在抛物线上，∴m<n，所以③错误； ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1，−4)，而抛物线的对称轴为直线x=−3，∴点(−1，−4)关于直线x=−3的对称点(−5，−4)在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−4的两根为−5和−1，所以④正确． 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系.利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+bx+c上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对④进行判断． 10. 如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，得，，再观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长，且的长是一次函数，则当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即，再结合勾股定理算出，所以，根据等面积法，求出，运用勾股定理，在中，，即，即可作答． 【详解】解：由图（2）得当时，则，当时，则， ∵点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y， ∴，， 观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长， ∵都是常量， ∴的长是一次函数 观察函数图象，当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即， ∵四边形是矩形 ∴， 则， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 则， ∵点P是函数图象的最低点， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 当时，在中，， 即， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，勾股定理，矩形的性质，一次函数的几何应用，垂线段最短．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点和关于原点对称，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴a=2，b=-3， ∴a+b=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 13. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________m． 【答案】2 【解析】 【分析】设小路的宽度为xm，则根据平移的性质得草坪是一个长为(24-2x)m，宽为(10-x)m的矩形，根据其面积为，可得方程，解方程即可． 【详解】设小路的宽度为xm，则由题意可得：(24-2x)×(10-x)=160 解方程，得：， 当时，10-x=-10<0，不合题意，舍去 所以 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移性质，通过左右平移和上下平移，得到一个新的矩形，此时新矩形跟原矩形相比，长减小了两个路宽，宽减小了一个路宽，同时注意检验解的合理性． 14. 对于实数a、b，定义运算“”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义，解一元二次方程，先解一元二次方程得到两个根，再根据新定义的运算规则分情况计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴得或， 当，时， ∵， 故， 当，时， ∵， 故， 故答案为：3或． 15. 如图，在扇形中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，过点作于点，则图中阴影部分的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，可得是等边三角形，然后利用阴影部分的周长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，弧长的计算，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程即可. 【详解】解：（1）因式分解，得 ∴或 ∴， （2）方程化为 ，， 方程有两个不等的实数根 即， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键. 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点O中心对称，画出，并直接写出点的坐标； （2）绕原点O顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用中心对称作图、利用旋转的性质作图． (1)利用中心对称的性质作出，根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系得到点的坐标； (2)分别画出点、绕原点顺时针旋转得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别作出点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； 点的坐标是， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：如下图所示， 分别画出点、绕原点顺时针旋转得到的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所求． 18. 以“新质生产力·农业新未来”为主题的第32届中国杨凌农业高新科技成果博览会于2025年10月在陕西杨凌举办．小刚和小亮到博览会游玩，现将正面分别写有“A．国际农业交流合作展”“B．特色现代农业展”“C．农业实用技术推广展”“D．智慧农机装备展”“E．名特优新农产品展”的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． （1）小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）分析可能性求解即可； （2）利用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A，B，C，D，E五种情况，B为其中一种， ∴小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意列表可得： 小亮 小刚 由上表可知，一共有25种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的情况有9种， ∴． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）当时，请直接写出的取值范围． （3）过点作轴于点，连接．求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图像上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点的坐标； （2）根据图像即可求解； （3）根据题意可求出点的坐标，进而求出的值，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 反比例函数的表达式为， 、关于原点对称， ； 【小问2详解】 根据图像可知，当时， 的取值范围为：或； 【小问3详解】 根据题意得：， ， ． 20. 某数学兴趣小组在学习完角平分线的作法后，对如何作一个角的平分线产生了浓厚兴趣．除了常用的尺规作图方法外，小明提出了一个更为便捷的方法：在任意角中，将量角器放在角中，使得角的两边分别与量角器的半圆弧相切，再连接角的顶点与量角器的圆心即可得到该角的平分线． 为了验证小明做法的正确性，该小组画出了如图①所示的示意图，请你将“已知”和“求证”补充完整，并完成证明． 已知：如图，已知，半圆，          ．        求证：    ． 【答案】、分别与半圆相切于点、；平分． 证明：如图所示，连接，， 、分别与半圆相切于点、， ，，， 在和中， ， ， 即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，圆的切线的性质，连接切点与圆心即半径是解题关键． 连接，，由圆的切线的性质可得，，，从而得出，即可得解． 【详解】 略 21. 综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题 （1）求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 （2）腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 【答案】（1）； （2）①米；； ②落点D在安全范围内．  理由：由①得， 令， 或舍去 米． 又米， 落点D在安全范围内． 【解析】 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出x可得的长，从而求出即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【小问1详解】 解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为 又， 抛物线为； 【小问2详解】 ①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点．  又，， 抛物线的顶点为 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ； 抛物线的解析式 ②略 22. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与、重合），连结并延长与交于点，连、、． （1）求的长． （2）若，求的长． （3）①若点在、之间（点不与点重合），求证：； ②若点在、之间（点不与点重合），求与满足的关系． 【答案】（1）3 （2）5 （3）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差关系及圆的性质可得答案； （2）根据点的位置关系及圆的性质可得答案； （3）①连接，由图可知，由垂径定理可得，，再根据全等三角形的判定与性质可得结论； ②连接，由圆内接四边形的性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质可得结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∵为直径 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴点和点重合 ∴； 【小问3详解】 ①证明：如图1：连接，可得 ∵是直径， ∴，即是的垂直平分线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； ②，理由如下： 如图2：连接， ∵四边形为圆的内接四边形 ∴ ∵是直径， ∴，即是的垂直平分线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用圆的性质成为解答本题的关键． 23. 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则与的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为________________ 【答案】（1），； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，得到，，即可求解； （2）根据正方形和旋转的性质，证明，得到，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）根据题意作图，连接、交于点，连接、，根据矩形的性质和勾股定理，证明是等边三角形，再结合旋转的性质，证明，得到 ，则点在射线上运动，且，当时，有最小值，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又， ， ，； 【小问2详解】 解：正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是正方形； 【小问3详解】 解：如图，根据题意作图，连接、交于点，连接、， 矩形， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又，， ， ， 点在射线上运动，且， 当时，有最小值， ， ， ， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期九年级适应性测试（二）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中式纹样是一种独特的艺术形式，不仅代表着中国传统文化中的吉祥和美好，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 3. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 4. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 5. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 点，都在该函数图象上，则 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 6. 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点A，C在上，，交于G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线经过点（－1，－4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥－6；③若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点和关于原点对称，则__________． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________m． 14. 对于实数a、b，定义运算“”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则______． 15. 如图，在扇形中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，过点作于点，则图中阴影部分的周长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点O中心对称，画出，并直接写出点的坐标； （2）绕原点O顺时针旋转得到，画出． 18. 以“新质生产力·农业新未来”为主题的第32届中国杨凌农业高新科技成果博览会于2025年10月在陕西杨凌举办．小刚和小亮到博览会游玩，现将正面分别写有“A．国际农业交流合作展”“B．特色现代农业展”“C．农业实用技术推广展”“D．智慧农机装备展”“E．名特优新农产品展”的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． （1）小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的概率． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）当时，请直接写出的取值范围． （3）过点作轴于点，连接．求的面积． 20. 某数学兴趣小组在学习完角平分线的作法后，对如何作一个角的平分线产生了浓厚兴趣．除了常用的尺规作图方法外，小明提出了一个更为便捷的方法：在任意角中，将量角器放在角中，使得角的两边分别与量角器的半圆弧相切，再连接角的顶点与量角器的圆心即可得到该角的平分线． 为了验证小明做法的正确性，该小组画出了如图①所示的示意图，请你将“已知”和“求证”补充完整，并完成证明． 已知：如图，已知，半圆，          ．        求证：    ． 21. 综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题 （1）求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 （2）腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 22. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与、重合），连结并延长与交于点，连、、． （1）求的长． （2）若，求的长． （3）①若点在、之间（点不与点重合），求证：； ②若点在、之间（点不与点重合），求与满足的关系． 23. 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则与的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为________________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $