江苏省海门中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省海门中学2024-2025学年度第一学期期中考试试卷 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．B 2．C 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．BD 10．ABC 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解：（1）当时， 当时，满足上式， 所以 …………6分 （2）令， 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 …………13分 16．解：（1）当直线，的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即 …………7分 （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 …………15分 17．解：（1）设圆 则解得，， 所以圆的标准方程为 …………5分 （2）设直线，圆心到的距离 因为，所以，即 所以或，所以直线的方程为或 …………10分 （3）若存在圆与圆外切，即存在点使得， 因为到的距离，所以 所以，即， 所以或 …………15分 18．解：（1）解得，， 所以， 所以椭圆的方程为 …………3分 （2）①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为两点都在轴上方，且， 所以，设直线 由消去得， 设，，则， 因为，所以， 由得 代入得，解得 所以 所以 …………9分 ②由①知，所以 令， 则 因为函数在上单调递增， 所以当，即时， …………17分 19．解（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时， 所以 当动圆与圆、圆都内切时， 所以， 所以 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以 所以曲线的方程为 ………………5分 （2）①因为，，所以直线的斜率存在， 因为，所以直线过点 设直线为， 由消去得 则有，解得 所以直线斜率的取值范围为 ………………10分 ②设直线，，由 消去得， ， 因为直线与轴交于点， 所以，即，即， 即， 所以 所以 即 即 所以，所以直线为 所以直线恒过定点 …………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省海门中学2024-2025学年度第一学期期中考试试卷 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则 A．， B．， C．， D．， 2．设为实数，若直线与直线平行，则 A． B． C． D． 3．已知圆，圆，则与圆和都相切的直 线的条数为 A． B． C． D． 4．椭圆与椭圆的 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 5．已知直线关于对称的直线与圆相离，则 A． B． C． D．或 6．在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个焦点，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 7．已知是椭圆上的一点，，是的两个焦点，离心率为 且，则点到轴的距离为 A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知直线与交于点 点是抛物线上一动点，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于、 两点，则 A． B．当，，不共线时，的周长为 C．存在，使得 D． 10．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点， 则 A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到 点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是 A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线 的方程为 . 13．若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 . 14．已知双曲线过左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为， 交另一条渐近线于点，其中点在第二象限，点在第一象限，若，则双曲 线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知抛物线. （1）若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； （2）求过点的抛物线的切线方程． 17．（15分） 已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且， ，点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 18．（17分） 已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点， ，是椭圆上的两点． （1）求的方程； （2）若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值. 19．（17分） 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内 切，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于，两点，设点，，其中，， ①若，求直线斜率的取值范围； ②过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴交于点， 证明：直线过定点，并求出该定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$