球的接、切、截问题 （教学设计+教案+课件）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦几何体外接球问题，通过复习回顾球的定义与公式，分活动探究正方体、长方体、直棱柱及棱锥的外接球求法，结合课堂小结构建知识网络，凸显知识点内在逻辑脉络。 其亮点在于融入《九章算术》中堑堵、阳马等数学文化，采用“例题-变式”分层设计，如例2及变式训练由易到难，培养学生数学思维与空间观念。补形法等策略助力学生用数学眼光分析几何体结构，教师可依托此资料实施分层教学，提升复习针对性与效率。

球的接、切、截问题 ——几何体的外接球问题 昆山市柏庐高级中学 王素彦 2024年6月12日 人教2019版必修第二册第八章 立体几何初步 复习回顾 球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体. • O R 3.球的体积公式： 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 1.球的定义： 2.球的表面积公式： 4.对称性： 它的任何截面均为圆面． 活动一 正方体、长方体的球的切接问题 思考1：设正方体的棱长a，你还记得内切球、棱切球和外接球的半径吗？ 切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心. 直径：相对两个面中心连线. ①内切球 ②棱切球 切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线 ③外接球 O A B C D 球心：正方体的中心. 直径： 体对角线 O O 思考2：若长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则其外接球的半径为多少？ a b c 例1：直三棱柱中，侧棱的长为，上下底面是直角三角形，且AC⊥BC，AC=BC=若直三棱柱所有顶点都在一个球面上，则该球的体积为______________ 活动二 直棱柱的外接球问题 A C B A1 C1 B1 O1 O2 O · · · 例2:若三棱锥P-ABC的三条侧棱AP，AB，AC两两垂直，且侧棱长均为2 ，则其外接球的表面积是______________. A B C P O1 · O 变式1：若三棱锥P-ABC的三条侧棱AP，AB，AC两两垂直，且侧棱长PA=2，AB=3，AC=4，则其外接球的表面积是______________. 活动三 棱锥的外接球的问题 · 变式2：在四面体S-ABC中, SA⊥平面 ABC，∠BAC=120°, SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为_____. A B C S O1 · O 例3：正三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为       ，则球O的体积是__________． D A B C O1 O LOGO 几何体外接球半径求法 （1）确定球心大概位置； （2）列方程求半径R. A B C S O1 · O r R 1、确定球心法 2、补形法 LOGO 10 数学文化-补形法 《九章算术》中记载，堑堵（qiàn dǔ）是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的立体，即两底面为直角三角形的直三棱柱；将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）． 堑堵 阳马 鳖臑 课堂小结 • O R 方法： 结论： 补形法 直接法 1.正方体的三个球 2.长方体的外接球 3.棱柱与棱锥的外接球 思想： 数形结合 化归转化思想 1.球的表面积、体积公式 2.球与多面体的接、切 确定球心法 LOGO 12 课后练习 2.在四面体A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体A-BCD的外接球O的表面积为_____________. 3.若棱长为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则球的表面积为____________. 1.《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥. 在阳马P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且AB＝PA＝2BC＝2，则该阳马的外接球的表面积等于 　　　　⁠.  三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为边长2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为__________________. 课后思考： B C P A $ 1、表头信息 本表由作者自填. 送审地区 （区、市） 苏州市昆山市 送审学校 （全称） 昆山市柏庐高级中学 作者 王素彦 职称 中学一级教师 科目分类 中数 教学设计文章标题 球的接、切、截问题教学设计 2、查重结果 3、正文 球的接、切、截问题教学设计 1、 教材分析 本节课是对人教 2019 版必修第二册第八章立体几何初步中空间几何体的结构特征、球的定义与表面积、体积公式的延伸与应用，属于立体几何初步的核心综合题型. 从知识体系来看，本节课是空间几何体与球的交叉内容：前序知识中，学生已掌握正方体、长方体、棱柱、棱锥的结构特征，以及球的基本性质，本节课通过外接球这一核心载体，将两类几何体的性质结合，实现从单一几何体到组合几何体的认知跨越. 同时，本节课也是后续学习空间向量与立体几何的基础，为高二阶段更深入的立体几何学习埋下伏笔. 2、 教学目标 （一）核心素养目标 1、直观想象：通过观察正方体、长方体与球的位置关系，能准确描述内切球、棱切球、外接球的切点、球心位置，建立空间图形直观认知. 2、逻辑推理：在推导直棱柱、棱锥外接球半径过程中，能依据几何体结构特征，推理球心位置的确定方法，形成严谨的逻辑链条. 3、数学运算：能熟练运用球的表面积、体积公式，结合勾股定理、正弦定理等，准确计算各类几何体外接球半径及相关量. （2） 知识与技能 1、 熟练掌握正方体的内切球、棱切球、外接球半径计算，以及长方体外接球半径推导方法. 2、 能运用确定球心法、补形法，解决直棱柱、棱锥的外接球问题. （3） 过程与方法 1、 通过观察—猜想—推导—验证的探究过程，经历几何体外接球问题的求解思路构建，提升自主探究能力. 2、 在小组讨论中，学会交流解题思路，能从他人方法中优化自身解题策略，培养合作学习能力. （4） 情感态度与价值观 1、 了解《九章算术》中堑堵、阳马、鳖臑等数学文化知识，感受古代数学的智慧，增强文化自信. 2、 在解决复杂外接球问题的过程中，体验从陌生到熟悉、从复杂到简单的转化过程，增强克服难题的信心. 3、 教学重难点 1、教学重点 （1）正方体三种球和长方体外接球半径的计算； （2）运用确定球心法和补形法求解直棱柱、棱锥的外接球问题. 2、教学难点 （1）棱锥外接球问题中球心位置的确定以及相关方程的建立； （2）灵活运用补形法将不规则几何体转化为规则几何体来解决外接球问题. 4、 教学方法 1、讲授法：清晰讲解球的基本概念、公式以及几何体外接球问题的基本方法和思路. 2、探究法：设置思考问题和活动，引导学生自主探究正方体、长方体、直棱柱、棱锥的外接球问题，培养学生的探究能力. 3、讨论法：组织学生小组讨论，针对难点问题交流想法，相互启发，共同解决问题. 4、多媒体辅助教学法：利用PPT展示图片、例题、公式等，直观呈现教学内容，帮助学生理解空间几何关系. 5、 教学手段 1、动态多媒体演示：利用GeoGebra软件制作正方体与球的内切、棱切、外接动态模型，直观展示球的缩放过程、切点位置、球心移动轨迹，帮助学生突破空间想象难点. 2、分层作业：课后作业分为基础层、拓展层，满足不同层次学生的需求，体现因材施教. 6、 教学过程 （一）复习回顾（3分钟） 师生活动 教师通过PPT展示球的相关知识，引导学生集体回忆： （1） 球的定义； （2） 球的表面积公式；• O R （3） 体积公式； （4）球的对称性. 设计意图 通过教师提问，学生回答，进行旧知回顾，为新课学习搭建桥梁，避免知识断层. （二）新课讲授（30分钟） 活动一：正方体、长方体的球的切接问题（5分钟） 1、正方体的三种球 思考1：设正方体的棱长a，你还记得内切球、棱切球和外接球的半径吗？ 师生活动 学生自主思考，小组讨论交流，并按照小组给出答案；教师用GeoGebra演示球与正方体的接触过程，再次引导学生分析三种球. 2、长方体的外接球 思考2：若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，求其外接球的半径. 师生活动 学生类比正方体外接球的求解方法，自主思考推导. 设计意图 从特殊（正方体）到一般（长方体），逐步推导外接球半径公式，符合学生认知规律. 活动二：直棱柱的外接球问题（5分钟） 例1：直三棱柱中，侧棱的长为2，上下底面是直角三角形，且AC⊥BC，AC=BC=，若直三棱柱所有顶点都在一个球面上，则该球的体积为______. 师生活动 教师展示直三棱柱模型，提问：直棱柱的外接球球心如何确定？ 学生观察，教师引导——直棱柱的上下底面是全等的多边形，它们的外接圆有什么关系？ 总结方法：①求底面多边形外接圆半径r； ②求直棱柱的高h； ③外接球半径. 设计意图 将直棱柱转化为“面外接圆+中心连线”的模型，简化外接球问题，为后续棱锥问题奠定找底面外接圆的思路. 活动三：棱锥的外接球问题（20分钟） 例2：若三棱锥P-ABC的三条侧棱AP，AB，AC两两垂直，且侧棱长均2，则其外接球的表面积是______________. 师生活动 小组讨论，让学生展示解题思路，如果只用了确定球心法，没有补形法，则教师引导学生采用补形法. 反之，有补形法，则强化确定球心法，强化两种思路. 变式1：若三棱锥P-ABC的三条侧棱AP，AB，AC两两垂直，且侧棱长PA=2，AB=3，AC=4，则其外接球的表面积是______________. 师生活动 学生运用补形法自主解题，教师巡视指导，学生上台展示解题过程，教师点评总结. 设计意图 通过补形法将不规则棱锥转化为规则长方体，体现化归转化思想，降低解题难度，同时培养学生的创新思维. 变式2：在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为_____. 师生活动 小组讨论——如何确定球心？教师引导：先求底面△ABC外接圆的半径r，再根据球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，结合SA的长度，利用勾股定理求出外接球半径R. 设计意图 通过复杂棱锥问题，强化确定球心法的三步流程，培养学生拆解问题、逐步求解的逻辑思维，突破难点. 例3：正三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球O的体积是__________． 师生活动 学生自主求解，教师重点关注 “绝对值方程” 的处理，避免学生忽略球心在外部的情况. 设计意图 引入分类讨论思想，让学生认识到外接球问题的复杂性，培养思维的严谨性. （三）数学文化渗透，提升素养（5分钟） 1、教师介绍《九章算术》中关于堑堵、阳马、鳖臑的定义； 2、展示相关几何体的图片，让学生直观了解这些古代数学中的几何体，感受古代数学与现代立体几何知识的联系，激发学生对数学文化的兴趣. 设计意图 将数学文化与本节课内容深度融合，而非简单贴标签，让学生感受数学的历史厚重感，增强文化自信. （四）课堂小结（2分钟） 1、知识梳理： ◎球的公式； ◎几何体的外接球：正方体（3种球）→长方体→直棱柱→棱锥. 2、方法总结：强调补形法和确定球心法是解决外接球问题的核心方法，数形结合、化归转化是关键思想. 师生活动 学生分享本节课的收获和疑问，教师解答学生疑问，进一步巩固所学知识. 设计意图 帮助学生构建知识体系，避免知识点零散，学生反馈能及时发现问题，调整后续教学. （五）分层作业，巩固提升（5分钟） 1、 基础层（必做）：完成课后练习，确保所有学生掌握补形法的基本应用. 2、 拓展层（挑战）：“三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为边长2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为？” 设计意图 分层作业兼顾不同层次学生的需求，避免“吃不饱”和“吃不了”的问题，实现“因材施教”. 7、 板书设计 1、 复习回顾 1.球的定义 2.公式：， 3.对称性：截面为圆 二、正方体、长方体的球的切接 1. 正方体： - 内切球： - 棱切球： - 外接球 2. 长方体： 三、直棱柱外接球 （r为底面外接圆半径，h为直棱柱的高） 四、棱锥外接球 1. 补形法 2. 确定球心法 8、 教学反思 本节市级公开课在三星级特色高中实施后，通过学生课堂反馈及听课教师点评，从优势亮点、存在问题、改进策略三方面进行反思，为后续教学优化提供依据. （一）优势亮点 1、数学思想引领明确：将化归与转化、模型思想等融入探究过程，而非单纯讲授解题步骤，学生在后续变式中能主动尝试补形法解决棱锥外接球问题，思维迁移效果显著； 2、动态演示助力直观：GeoGebra软件的应用有效解决了三星级学生空间想象薄弱的问题，课堂提问中85%的学生能准确描述球与正方体的三种接切关系，直观想象素养得到提升； 3、分层设计兼顾差异：探究环节从特殊到一般、作业从基础到拓展，符合三星级学生的认知节奏，实现因材施教. （二）存在问题 1、思想方法的语言表达不足：部分学生无法用语言表述补形法的依据、球心位置确定的推理过程，说明逻辑推理素养的培养仍需加强； 2、文化渗透时间略显紧张：数学文化环节不足，学生对堑堵、阳马的历史背景探究不充分，未能深入讨论古代数学思想对现代解题的启发； 3、小组讨论的深度待提升：部分小组讨论停留在答案分享层面，未深入探讨不同方法的优劣对比，思维碰撞不足. （三）改进策略 1、强化思想表达训练：在例题探究中增加说思路环节，如“首先将三棱锥补成长方体，因为两两垂直的棱可看作长方体的棱，所以外接球与长方体相同”，培养逻辑推理的严谨性； 2、优化文化渗透设计：将数学文化环节延长，增加学生自主探究任务，如阅读《九章算术》中关于鳖臑的描述，实现文化了解到思想应用的深化； 3、引导讨论深度探究：小组讨论前明确任务清单，如“对比补形法与确定球心法的适用条件”，安排小组汇报时不仅说答案，还要说方法选择的思想依据，激发思维碰撞. 总之，球的接、切、截问题教学作为立体几何综合课的典型代表，其核心不仅是传授外接球半径公式，更在于以数学思想为引领，培养学生用数学思维解决复杂问题的核心素养. 对于三星级特色高中而言，教学需兼顾基础夯实与能力提升，让学生在探究中感受数学的逻辑性与实用性，真正实现以素养为导向的教学目标，为后续高中数学学习奠定坚实的思维基础. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 球的接、切、截问题 学习目标： 1.掌握正方体的几个球，长方体的外接球直接求解方法； 2.利用确定球心法解决简单几何体的外接球问题. 3.会用补形法求一些特殊几何体的外接球． 一、复习回顾 1.球的定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 2.球的表面积公式_____________;球的体积公式__________________. 3.球的对称性：____________、______________. 二、温故知新 活动一：正方体、长方体的球的切接问题 思考1：设正方体的棱长a，你还记得其内切球、棱切球和外接球的半径吗？并回答以下问题。 (1)正方体的内切球半径________________. (2)正方体的棱切球半径________________. (3)正方体的外接球半径________________. 思考2：若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球的半径为多少？ 活动二 直棱柱的外接球问题 例1：直三棱柱中，侧棱的长为2，上下底面是直角三角形，且AC⊥BC，AC=BC=，若直三棱柱所有顶点都在一个球面上，则该球的体积为______________ 活动三 棱锥的外接球问题 例2:若三棱锥P-ABC的三条侧棱AP，AB，AC两两垂直，且侧棱长均为2 ，则其外接球的表面积是______________. 变式1：若三棱锥P-ABC的三条侧棱AP，AB，AC两两垂直，且侧棱长AP=2，AB=3，AC=4，则其外接球的表面积是______________. 变式2：在四面体S-ABC中, SA⊥平面 ABC，∠BAC=120°, SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为_____. 例3：正三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球O的体积是__________． 思考题：三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为边长2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为__________________. 三、课堂小结 1.球的表面积、体积公式 2.球与多面体的接、切 3.方法 4.思想 四、课后练习 1.《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥. 在阳马P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且AB＝PA＝2BC＝2，则该阳马的外接球的表面积等于_______________.  2. 在三棱锥A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则三棱锥A-BCD的外接球O的表面积为__________________. 3.若棱长为a的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则球的表面积为______________. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $