8.3.2.2球的“切”“接”问题课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

球的内切、外接问题 1 （1）正方体 切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心. 直径：相对两个面中心连线. 直径等于正方体的棱长. ①内切球 • O O • ②棱切球 O • • O 切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线 直径等于正方体一个面的对角线长. ③外接球 O A B C D O • A B C D 直径等于正方体的体对角线长. a是正方体棱长 球心：正方体的中心. 直径： 体对角线 LOGO 2 （2）长方体 ①内切球 一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切. 没有. LOGO 3 （2）长方体 O • A B C D O A B C D ②外接球 结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线. R= l = √a2+b2+c2 (a,b,c是长方体的棱长) LOGO 4 ①内切球 （3）圆柱、直棱柱 若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径. 若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高. LOGO 5 直棱柱外接球半径求法 3、 1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点； 2、球心到底面的距离是侧棱长的一半 r o1 o o2 ● R LOGO 6 设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E （4）正棱锥、圆锥 ①内切球 例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积． A B C D P O E 解1：如图，P-ABC为正三棱锥, 以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥 PE为斜高, ∴PD=2,易知 ， ∴ S球=4πr2= V球= πr3= 利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等) 等体积法 LOGO 7 （4）正棱锥、圆锥 ①内切球 例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积． A B C D P O E 解2：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,与侧面PBC切于点F, PE为斜高D, 过PA,PD作轴截面，交BC边中点E, ∴PD=1,易知 ， S球=4πr2= V球= πr3= r r O E P A D F 连接OE，OF 由△POF∽△PED，得 ， 解得r= 轴截面法 作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上. LOGO 8 训练3 已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为 由题可知，母线PA＝PB＝2，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示， √ O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心， 设球O的半径为R，底面圆E的半径为r， 因为圆锥侧面积为2π， LOGO 9 （4）正棱锥、圆锥 36π ②外接球 O O A O′ P • • R 2 R O′ • PO′= 4，OO′=4－R，AO=R AO2 = OO′ 2 + AO′ 2， R=3 例8 O • O′ LOGO 10 （4）正棱锥、圆锥 正棱锥外接球半径求法——轴截面法 1.球心在棱锥的高所在的直线上 2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值 d= |h －R | ②外接球 3. O A O′ P • • R l R h |h-R| LOGO 11 O （4）正棱锥、圆锥 ②外接球 例3 LOGO 12 （4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球) • O D R • O′ P C B A a 解1： 作出截面图如图示. 由图可知， R O A D O′ P • • R a R LOGO 13 解2： 补形法. • O P C B A （4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球) 注意：图中三棱锥的外接球与 正方体的外接球是同一个球。 LOGO 14 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体． P A B C 补形法： （4）正棱锥——球的内接正四面体问题(正四面体的外接球) LOGO 15 新知探究 补形法 特点：一条棱垂直于一个平面，平面有直角 方法：补形法 一、棱垂直（墙角模型） 侧棱两两垂直 4个面为Rt三角形 3个面为Rt三角形 2个面为Rt三角形 16 17 18 19 20 变式 如下图所示三棱锥 ，其中 ， ，