精品解析：江西省抚州市六校联2025-2026学年上学期八年级 盟质量检测数学试卷

2025年秋八年级六校联盟质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在实数0，，，，，(相邻两个2之间1的个数逐次加1)中，无理数的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，2， C. ，4，7 D. 9，12，20 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，关于轴对称，则的值是( ) A. B. 2 C. D. 8 5. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象经过第二、三、四象限 C. 图象与正比例函数的图象平行 D. 点，都在直线上，则 6. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为( ) A. B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知的平方等于，则的算术平方根是________． 8. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则它最短边上的高为________． 9. 若函数是关于的正比例函数，且图象过点，则________． 10. 的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 11. 如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是______ 12. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程组： 14. 已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值． 15. 已知一次函数． （1）若该函数的图象经过原点，求的值； （2）当取不同的值时，该函数的图象会过某一定点，请直接写出该定点的坐标． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上时，求点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 17. 仅用无刻度直尺分别在图1和图2中作出不同的两个斜边均为的直角三角形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知直角三角形的两边，满足． （1）求，的值； （2）求这个直角三角形第三边的长度． 19. 为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行分段收费，具体情况如下表，设居民每月的用水量为x立方米，每月所需的水费为y元． 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2元 超过15立方米 超过的部分每立方米3元 （1）分别求出和时，与的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费60元，则该户居民这个月用水多少立方米？ 20. 当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”． （1）点在的“友好函数”的图象上，求的值； （2）若点既是一次函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 航天工程师用甲、乙两种原料为2025年航天发射任务调配燃料，已知每克甲原料含单位推进剂和单位助燃剂，每克乙原料含1单位推进剂和单位助燃剂． （1）根据题意，填写表格： 甲原料x克 乙原料y克 其中所含推进剂（单位） 其中所含助燃剂（单位） （2）如果一枚火箭发射需要单位推进剂和单位助燃剂，那么调配该燃料需要甲、乙两种原料各多少克恰好能满足发射需求？ 22. 解决问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：因为，所以． 所以，即． 所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：________； （2）计算：； （3）若，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求点C坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋八年级六校联盟质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在实数0，，，，，(相邻两个2之间1的个数逐次加1)中，无理数的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的定义．无理数是无限不循环小数，根据定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 0是整数，属于有理数； ∵是开方不尽的数，是无理数； ∵ 3.14是有限小数，属于有理数； ∵，是整数，属于有理数； ∵ 是的倍数，是无理数，故是无理数； ∵是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有、、，共3个 故选：C． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，2， C. ，4，7 D. 9，12，20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，熟知如果三角形的三边长，，满足，其中c为最长边，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键，根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求立方根、平方根．根据立方根、平方根的性质和运算规则判断各选项． 【详解】A，∵，∴A错误 B，∵，∴B错误． C，∵表示算术平方根，结果为6，而非，∴C错误． D，∵，，∴D正确． 故选：D． 4. 已知点，关于轴对称，则的值是( ) A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， ． 故选：A． 5. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象经过第二、三、四象限 C. 图象与正比例函数的图象平行 D. 点，都在直线上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，根据，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，， ∴随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数的图象平行 ∵ ∴ 故选：B． 6. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为( ) A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知的平方等于，则的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是另一个非负数，其平方等于原数；由已知，直接得出结果． 【详解】解：∵的平方等于，且为非负数， ∴的算术平方根是． 故答案为 8. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则它最短边上的高为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可判定这个三角形是直角三角形，进而可得答案． 【详解】∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最短边上的高为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 9. 若函数是关于的正比例函数，且图象过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求正比例函数解析式，根据正比例函数的定义，常数项，求出；再将点代入函数求，最后计算． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以，解得． 此时函数为． 将点代入，得，即， 解得．所以． 故答案为：． 10. 的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 11. 如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求解方程组的解． 【详解】解：直线和直线交于点， 方程组的解就是点的坐标． 故答案为：． 12. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【解析】 【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)， ∴OA=BC=10，OC=AB=4， 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； 如图所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=， ∴此时点P坐标为（3，4）； 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，算术平方根，绝对值，再算加减即可； （2）利用代入消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， 所以原方程组的解为． 14. 已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义求出a，b的值即可得出答案． 【详解】解：因为某正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得， 因为的立方根为， 所以， 解得， 所以，． 15. 已知一次函数． （1）若该函数的图象经过原点，求的值； （2）当取不同的值时，该函数的图象会过某一定点，请直接写出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）定点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）将代入解析式，即可求解． （2）将解析式变形为，令，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，将代入解析式， 得， 解得： 【小问2详解】 解：， 当时，， ∴定点的坐标为 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上时，求点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的坐标： （1）点在x轴上，其纵坐标为零； （2）与y轴平行的直线，横坐标恒定不变． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴， 故点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点且与轴平行的直线为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴， 故点的坐标为． 17. 仅用无刻度直尺分别在图1和图2中作出不同的两个斜边均为的直角三角形． 【答案】 如图所示，答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，可以作出由，，为直角边的直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴可以由，，为直角边作直角三角形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知直角三角形的两边，满足． （1）求，的值； （2）求这个直角三角形第三边的长度． 【答案】（1）， （2）这个直角三角形的第三边的长度是或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质； （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）需分两种情况讨论：①已知两边均为直角边；②较长的边为斜边，另一边为直角边．再根据勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，. ∵，为三角形的两边， ∴舍去， ∴，. 【小问2详解】 解：①若，都为直角边，则第三边长度为； ②若为斜边，为直角边，则第三边长度为. 综上所述，这个直角三角形的第三边的长度是或. 19. 为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行分段收费，具体情况如下表，设居民每月的用水量为x立方米，每月所需的水费为y元． 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2元 超过15立方米 超过的部分每立方米3元 （1）分别求出和时，与的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费60元，则该户居民这个月用水多少立方米？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）该户居民这个月用水25立方米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据每月用水量情况以及收费情况进行列式化简，即可作答． （2）先算出当时，（元），因为，则该户居民这个月用水量超过15立方米，再将代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：依题意，当时，（元）， ∵， ∴该户居民这个月用水量超过15立方米， 将代入中，得， 解得， 答：该户居民这个月用水25立方米． 20. 当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”． （1）点在的“友好函数”的图象上，求的值； （2）若点既是一次函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式： （1）把代入，即可求解； （2）根据题意，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，的“友好函数”为， 将点代入中，得， 解得. 【小问2详解】 因为的“友好函数”为， 将点分别代入和中， 得， 解得， 所以点的坐标为. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 航天工程师用甲、乙两种原料为2025年航天发射任务调配燃料，已知每克甲原料含单位推进剂和单位助燃剂，每克乙原料含1单位推进剂和单位助燃剂． （1）根据题意，填写表格： 甲原料x克 乙原料y克 其中所含推进剂（单位） 其中所含助燃剂（单位） （2）如果一枚火箭发射需要单位推进剂和单位助燃剂，那么调配该燃料需要甲、乙两种原料各多少克恰好能满足发射需求？ 【答案】（1） 如表： 甲原料克 乙原料克 其中所含推进剂（单位） 其中所含助燃剂（单位） （2）调配该燃料需要甲原料40克，乙原料15克 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用； （1）根据题意填写表格，即可求解； （2）根据（1）的结论，结合题意，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 设调配该燃料需要甲原料克，乙原料克. 由题意可得，解得. 答：调配该燃料需要甲原料40克，乙原料15克. 22. 解决问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：因为，所以． 所以，即． 所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化、平方差公式计算； （2）利用（1）的结论计算； （3）利用分母有理化把化简，根据完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求点C坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 【答案】（1）点的坐标为 （2） （3）可取的最大值为36，最小值为6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法和三角形全等的判定方法． （1）过点作轴于点，证明，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将的顶点B和C，代入，解方程，即可求得b的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点和点代入得， 解得， 所以直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当一次函数与点相交时， ， 解得， 当一次函数与点相交时， ， 解得， 所以可取的最大值为36，最小值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $