精品解析：山东省济南市济南高新技术产业开发区2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题

2025-2026学年济南高新区12月质量调研测试 九年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 下面哪个数的绝对值最小（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数大小的比较，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值是零，据此即可求解． 【详解】解：， ∴0的绝对值最小， 故选：D 2. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．年月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式． 根据科学记数法一般形式求解．科学记数法一般形式为，，是正整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 5. 如图，足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式被开方数非负，以及得到方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：B． 7. 某校运动会的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如图， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果有6种， 甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 9. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理逆定理，得到为直角三角形，作图得到平分，，推出，三线合一，得到垂直平分，得到，过点作，利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， 过点作， 则：为等腰直角三角形， 设，则：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键的掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形． 10. 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先由判别式得出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数关系得到，代入解方程即可求解． 【详解】解：已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，， ，即与同号，则： 当时，，解得，则解集为； 当时，，解得，则解集为； 综上所述，的解集为或， 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，则当时，， ， ，， ， ，即，解得，， 或， 舍去，取， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点，涉及交点格式个数与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，理解函数与方程的关系是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案． 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，正确理解题意、画出相应的树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得出所有可能的结果，然后找出两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果数，再根据概率公式解答． 【详解】解：画出树状图可得所有可能的结果： ∵共有16种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为， 故答案为：． 13. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象可以得到甲乙相遇时行驶的时间，然后根据函数图象中的数据可以列出相应的方程，即可求得A，两地之间的距离． 【详解】解：由题意和图象可得， 甲从A地到地用的时间为秒，乙从开始到回到地用的时间为秒， 甲乙相遇的时，甲乙都行驶了秒， 设，两地的路程为米， ， 解得，， 故答案为：． 15. 在正方形中，对角线上有一动点E，若以为边作如图所示的正方形，连结．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，明确各图形之间的关系成为解题的关键． 如图：过D作,过F作交延长线于H，先证明可得，再根据正方形的性质以及解直角三角形可得、、，最后根据图形的面积关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作,过F作交延长线于H， ∴， ∵正方形, ∴,, ∴， ∴, ∴, ∵正方形, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵， ∴ ,整理得：． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值，绝对值，0指数幂，二次根式的性质，根据，，及直接逐步求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】， 如图， 非负整数解有： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后根据数轴写出不等式组的非负整数解即可． 【详解】解： ， 解①得， 解②得， ， 不等式组的非负整数解有：． 18. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 是边上的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据证明得，再证明，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】略 19. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：      （1）这次抽样调查的学生人数是________人；并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图的值为________，其中“”组对应的圆心角度数为________； （3）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 【答案】（1）， 补全图形如下：    （2）；； （3）估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约为人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，样本所占百分比估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）组人数组所占百分比被调查总人数，将总人数组所占百分比求出组人数，即可补全频数分布直方图； （）组人数调查总人数即可得的值；组对应的圆心角度数组占调查人数比例； （）将样本中课外阅读时间不少于小时的百分比乘以即可求解． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有：（人）， 组人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，则， 组对应的圆心角为：； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约为人． 20. 图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． （1）计算坡面的铅直高度； （2）如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）坡面的铅直高度为； （2）纪念碑的实际高度为． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； 【小问2详解】 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 21. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】（1） 证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为. 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 22. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等． （1）A、B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ （2）某化工厂有3000kg化工原料需要搬运，A型机器人先工作若干小时，然后B型机器人加入一起搬运化工原料，所有化工原料搬运完成．若A、B两种机器人合作的时间不超过10小时，则A种机器人至少先工作多少小时？ 【答案】（1）B型号机器人每小时搬运60千克，A型号机器人每小时搬运90千克；（2）A种机器人至少先工作小时 【解析】 【分析】（1）设B型号机器人每小时搬运x千克，A型号机器人每小时搬运千克，列出分式方程计算即可； （2）设A种机器人至少先工作t小时，列出方程计算即可； 【详解】（1）设B型号机器人每小时搬运x千克，A型号机器人每小时搬运千克， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴B型号机器人每小时搬运60千克，A型号机器人每小时搬运90千克； （2）∵A、B两种机器人合作的时间不超过10小时， ∴设A种机器人至少先工作t小时， 则， 解得：， ∴A种机器人至少先工作小时． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确列出方程准确计算是解题的关键． 23. 如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点．点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标： （3）如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图像上是否存在一点Q，使得？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为 （2）的最小值为，点F的坐标 （3）在反比例函数上存在一点，使得，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由得出，从而得到，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴于，轴于，交直线于，设，则，表示出，，，解直角三角形得出，推出，则，当、、再同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为，求出，作点关于轴的对称点为，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，则，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，由勾股定理计算出最小值，再由待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得出点F的坐标； （3）过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则，由旋转的性质可得，，证明，，，从而得出，设直线与直线交于，证明，得出，作于，则，得到的横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，得到，待定系数法得出直线的解析式为，联立，解得：，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 将，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴于，轴于，交直线于， ， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当、、再同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为， ∵， ∴在中，当时，，即， 如图，作点关于轴的对称点为，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，最小值为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，即点F的坐标； 【小问3详解】 解：在反比例函数上存在一点，使得，理由如下： 过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则， ， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线与直线交于， ∵，， ∴， ∴， 作于，则， ∴的横坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， 当时，，当时，， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； （3）如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为2 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先证明，再由得到，再证明，得到，即可求解； （3）证明得到，求出，同理，，即可求解． 【小问1详解】 设， 则； 【小问2详解】 抛物线的表达式为，则点， 连接，过作交于点，作轴于点， 将代入得， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ； 【小问3详解】 是定值，为2，理由： 过点作一直线交抛物线于、两点， 设直线的解析式为，，，，， ，， 直线的解析式为②， 联立①②得：， ，， 如图，作轴于点，作轴于点， 则， ， 即， ， 同理，， ，为定值． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 25. 【提出问题】 如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，取的中点，连接，．当点，分别在边，上时，线段和的数量关系是 ． 【类比探究】 已知等边，等腰且，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，如图，连接，点为线段的中点，连接、，探索与的数量关系． （1）通过特例可以猜想一般结论．请你在备用图上画出一个符合条件的特殊图形，猜想： ； （2）在一般情形下，请利用图2验证你的猜想． 【迁移应用】 如图3，等腰中，，，，等腰中，，，点为线段的中点，则 ．(请用含有，的式子表示) 【答案】[提出问题] ，[类比探究]（1）；（2）；[迁移应用] 【解析】 【分析】[提出问题]根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； [类比探究]（1）根据题意画出特殊图形，结合等边三角形的性质，勾股定理，即可求解； （2）连接，延长至，使得，连接，得出是等边三角形，证明，进而得出是的中位线则，；设，导角得出，取的中点，连接，证明，在中，勾股定理即可求解． [迁移应用] 如图，连接，延长至，使得，连接，同理可得是的中位线则， 证明，，进而得，同理得出，过点作，则，证明，进而在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】[提出问题] 解：∵，点 F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． [类比探究] （1）如图，猜想： （2）如图，连接，延长至，使得，连接， ∵等腰且，绕点顺时针旋转一定角度后得到， ∴等腰且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵等边，则 ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ 设 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 取的中点，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ [迁移应用]如图，连接，延长至，使得，连接， 同理可得是的中位线则， ∵等腰中，， ∴ ∴ ∵等腰且 ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴，， ∴ ∴即 又∵， ∴ ∴ 设 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 在上取一点，使得， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即是的中点， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 过点作，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年济南高新区12月质量调研测试 九年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 下面哪个数的绝对值最小（ ） A. B. C. D. 0 2. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．年月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 某校运动会的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案． 11. 因式分解______． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 ________. 13. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 14. 甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为______米． 15. 在正方形中，对角线上有一动点E，若以为边作如图所示的正方形，连结．若，则的值为______． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 18. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 19. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：      （1）这次抽样调查的学生人数是________人；并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图的值为________，其中“”组对应的圆心角度数为________； （3）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 20. 图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． （1）计算坡面的铅直高度； （2）如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 21. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 22. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等． （1）A、B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ （2）某化工厂有3000kg化工原料需要搬运，A型机器人先工作若干小时，然后B型机器人加入一起搬运化工原料，所有化工原料搬运完成．若A、B两种机器人合作的时间不超过10小时，则A种机器人至少先工作多少小时？ 23. 如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点．点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标： （3）如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图像上是否存在一点Q，使得？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； （3）如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 25. 【提出问题】 如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，取的中点，连接，．当点，分别在边，上时，线段和的数量关系是 ． 【类比探究】 已知等边，等腰且，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，如图，连接，点为线段的中点，连接、，探索与的数量关系． （1）通过特例可以猜想一般结论．请你在备用图上画出一个符合条件的特殊图形，猜想： ； （2）在一般情形下，请利用图2验证你的猜想． 【迁移应用】 如图3，等腰中，，，，等腰中，，，点为线段的中点，则 ．(请用含有，的式子表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $