精品解析：广西壮族自治区柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

柳州地区民族高级中学2025-2026学年秋季学期 高一年级数学学情调研 本试卷满分150分，考试时间120分钟 考试范围：《必修一》第一章至第五章5.4节 命题人：林雪梅 审题人：唐甜甜 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷､草稿纸上作答无效 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知函数，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数（且）的图象过定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若且满足，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上是增函数 D. 的图象关于点对称 10. 已知符号函数，下列说法中正确的是（　　） A. 是奇函数 B. 对任意的实数 C. 函数的值域为 D. 直线和函数的图象至多有2个公共点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________. 12. 函数的定义域为__________． 13. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 全集，集合，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 15. 已知角为第二象限角，且，求： （1）和的值； （2）的值； （3）若，化简并求值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； （3）预测第几个月会员人数会达到14万. 18. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州地区民族高级中学2025-2026学年秋季学期 高一年级数学学情调研 本试卷满分150分，考试时间120分钟 考试范围：《必修一》第一章至第五章5.4节 命题人：林雪梅 审题人：唐甜甜 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷､草稿纸上作答无效 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】， 所以 所以 故选：B. 3. 已知函数，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 4. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理和函数单调性即可判断. 【详解】由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为， 所以函数的零点所在区间为， 故选：A． 5. 已知函数（且）的图象过定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数过定点问题求出函数过定点，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数过定点，即， 所以. 故选：D 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将变形为，再由幂函数和对数函数的单调性，并借助中间值1比较出的大小. 【详解】， ∵，，函数在上单调递增， ∴，即，∴. ∵函数在上单调递增， ∴，即，∴. ∴. 故选：D. 7. 若且满足，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对原式进行化简，然后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】，因为， 所以根据基本不等式的性质得. 因为，所以，所以， 当且仅当即时等号成立，此时取最小值. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质可得A、B；举出反例可得C；借助作差法计算可得D. 【详解】对A：由，则，故，故A正确； 对B：由，，则，故B正确； 对C：若，，则，故C错误； 对D：， 由，，则，故，故D正确. 故选：ABD. 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上是增函数 D. 的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期，对称轴，对称中心和单调区间即可对各选项逐一判断. 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，因，故直线不是该函数的对称轴，故B错误； 对于C，由，解得， 令得，即在上是增函数，而，故C正确； 对于D，因，故点不是该函数的对称中心，故D错误. 故选：AC 10. 已知符号函数，下列说法中正确的是（　　） A. 是奇函数 B. 对任意的实数 C. 函数的值域为 D. 直线和函数的图象至多有2个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义即可求解A，根据绝对值以及符号函数的定义可判断BC，作出函数图象，即可求解D. 【详解】解：对于A，当时，，则， 当时，，则， 当时，， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，令， 当时，，当时，，当时，， 所以的值域为，故C正确： 对于D，当时，或， 当时，或， 当时，， 所以， 设， 作出函数的图象如图所示， 由图可知，当或时，与的图象无交点， 当或时，与的图象有2个交点， 当时，与的图象有3个交点， 综上所述，与图象至多有3个公共点，故D错误． 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为，，设该扇形的弧长为， 则，解得. 故答案为： 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0，根式内表达式大于等于0，两者的交集即为函数的定义域． 【详解】， ，解得． 故答案为：． 13. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造新函数，判定其奇偶性及单调性进行计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 整理得， 即， 由是偶函数且在单调递增，在单调递减， 可得，解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 全集，集合，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意化简集合，结合集合的交集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合集合的包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为集合，则或， 若，则集合， 所以或. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 且集合，非空集合， 则且，解得， 所以实数的取值范围为. 15. 已知角为第二象限角，且，求： （1）和的值； （2）的值； （3）若，化简并求值. 【答案】（1）， （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系即可求解； （3）根据诱导公式和同角三角函数的商数关系化简计算即可． 【小问1详解】 由角为第二象限角，且， 所以，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案； （2）根据，确定，由正弦函数的性质求得答案. 【小问1详解】 因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 函数， 当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数. 所以， 故的值域为. 17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； （3）预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】（1）最符合实际的函数模型是模型①，理由： 由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）； （3）第16个月. 【解析】 【分析】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. 【小问3详解】 当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 18. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 【答案】（1）8 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而结合二次函数的性质求最值即可得答案； （2）令，进而根据函数单调性与函数值的符号得到，再根据“偏差”函数的概念解即可. 【小问1详解】 解：， 因为，， 所以，即， 所以函数与的“偏差”为8. 【小问2详解】 解：令， ∵，均为上的单调递减函数， ∴是上的单调减函数， 令得，， 又，， 所以 所以，即的“偏差”为， 因为的“偏差”为， 所以，解得 所以，当的“偏差”为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $