第01讲 一次方程（组）（2命题点+22题型+4突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦一次方程（组）专题，覆盖一元一次方程解法与实际应用（含古代数学文化、行程等），二元一次方程组解法与实际应用（含方案问题、工程问题等），构建知识网络并按考情分层。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破新定义、参数问题等难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于融合古代数学文化与时代热点，如《孙子算经》“河上荡杯”题培养数学眼光，分层练习（基础巩固到全国新趋势）与典例变式训练发展数学思维。通过“列方程解古代问题”等活动提升模型意识，助力学生高效突破考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组） 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 一元一次方程与实际应用 题型01 等式的基本性质与运用 题型02 一元一次方程方程的解及运用 题型03 解一元一次方程 题型04 一元一次方程中程序流程图问题 题型05 一元一次方程实际应用之列方程（古代数学文化） 题型06 一元一次方程实际应用行程问题 题型07 一元一次方程实际应用盈亏问题 题型08 一元一次方程实际应用配套问题 题型09 一元一次方程实际应用比赛积分问题 题型10 一元一次方程实际应用水费电费问题（分段计费） 题型11 一元一次方程实际应用日历与数字、和差倍分问题 命题点二 二元一次方程组及实际应用 题型01 二元一次方程（组）的解及运用 题型02 解二元一次方程组（计算题） 题型03直接构造法解二元一次方程组 题型04 二元一次方程组中同解问题 题型05 二元一次方程（组）实际应用之列方程（古代数学文化） 题型06 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 题型07 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 题型08 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 题型09 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 题型10 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 题型11 三元一次方程组解法与应用 05·重难突破·思维进阶难 45 突破一 一次方程（组）中新定义题型 突破二 已知二元一次方程（组）解的情况求参数 突破三 一次方程（组）中新情境类题型 突破四 一次方程（组）实践探究题型 06·优题精选·练能提分 53 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程与实际应用 成都卷 T10 （方程解法） 成都卷 T7 （数学文化） 掌握方程的解的含义；掌握等式的基本性质，能熟练运用等式性质解一元一次方程；能在现实情境中准确提取等量关系并列出一元一次方程求解相关问题。 二元一次方程组及实际应用 成都卷 T6 （数学文化） 成都卷 T7 （数学文化） 成都卷 T24 （实际应用） 成都卷 T24 （实际应用） 清楚二元一次方程的无数组解与方程组的唯一解（或无解等）的区别；掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组；能在现实情境中准确提取等量关系并列出方程组求解。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用问题及数学文化，方程的解法也时有考查，题型既有选填题，也有解答题，分值在10分左右。一元一次方程主要考查一元一次方程的解法、实际应用及古代数学文化等问题；二元一次方程组主要考查二元一次方程组的实际应用及古代数学文化等问题。从成都近年真题及命题研讨方向来看，传统的行程、工程、销售等经典情境仍会保留，但会更多结合乡村振兴、绿色能源、非遗传承等时代热点，或融入《九章算术》、《孙子算经》等古代数学文化素材，创设真实且有意义的问题情境。 考点一 一元一次方程与实际应用 1.等式的基本性质 1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式； 2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式； 3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。 2.一元一次方程 1）方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程． 2）方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。 3）一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。 4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。 5）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 3.列一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 1．（2025·成都·校考一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、∵，∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵，∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵，∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵，∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意；故选：． 2．（2025·成都·模拟预测）如果关于的方程的解为，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入可得：，解得：， ∴．故选：D． 3．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：3． 4．（2023·四川成都·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木长尺，根据题意得，，故选：A 考点二 二元一次方程组与实际应用 1.二元一次方程（组） 1）二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。 2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。 3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。 方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。 4）解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。 5）二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 2.一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量； （2）储蓄利息问题：本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间； （4）行程问题：路程=速度×时间； （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路； （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程； （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程； （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。 3. 三元一次方程组 1）三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 2）三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3）三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的核心是消元，即通过代入消元法或加减消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再消去一个未知数转化为一元一次方程，求解后逐步回代，得到三个未知数的值。 1．（2025·成都·校考二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：将代入得：，解得：．故选：B． 2．（2025·成都·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：，得， ，∴ ，故选：B． 3．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：；故选A． 4．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； 【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：，解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 命题点一 一元一次方程与实际应用 ►题型01 等式的基本性质与运用 加减法：看两边是否加、减了同一个对象（数或整式），若是则正确。 乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。 除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。 天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴， ∴∴，即，故选：． 【典例】2．（2025·成都·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即．所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．故选：B． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得，故选：C． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．不等式的性质2 D．分式的基本性质 【答案】B 【详解】解：在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是等式的两边同时乘以一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故满足等式的性质2．故选B． ►题型02 一元一次方程方程的解及运用 1）已知方程的解，求参数；原理‌：方程的解代入方程，等式成立 → 构造关于参数的方程。 2）判断一个数是否是方程的解‌；原理‌：代入检验，左右是否相等。 3）构造方程，利用解反推原方程；‌原理‌：已知解，反向构造满足条件的方程（开放性题型）。 【典例】1．（2025·成都·校考二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴，∴，故答案为：． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，，． 关于的一元一次方程是妙解方程，， ，的值为．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，∴，∴k的值不可能是，故答案为：． 【变式】2．（2025·广东深圳·二模）关于的一元一次方程的解为，这个方程可以是 ．（写出一个答案即可，且不能是） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：这个方程可以是．故答案为： ． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入一元一次方程，得，解得．故选：A． ►题型03 解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤:去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。 【典例】1．（2025·成都·校考二模）（2）解方程：． 【答案】（2） 【详解】（2）． 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期中）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【详解】解：当时，原方程化为，解得：； 当时，原方程化为，解得：，不符合题意； 当时，原方程化为，此时方程无解； 当时，原方程化为，解得：； 综上，原方程的解为或，共个，故选：C． ►题型04 一元一次方程中程序流程图问题 解一元一次方程的程序流程，本质是‌“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”‌的步骤化。流程图里，每个步骤用‌矩形框‌表示，‌判断条件‌用‌菱形框‌（比如“a是否为0”），‌输入/输出‌用‌平行四边形框‌。 【典例】（2025·成都·校考一模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值；(2)若得到，求输入的的值及相应的的值；(3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由题意得，，解得，∴； （3）解：由题意得，，； ∵得到的的值比值小，∴， 解得． 【变式】1．（2025·四川成都·九年级期中）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积；(2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值：②求，4，5，这四个数的平均数． 【答案】(1)60(2)①；②四个数的平均数为 【详解】（1）解：，即这已知的四个数的积为60； （2）解：①∵横排三个数的和与竖列三个数的和相等， ∴，解得：； ② 即这四个数的平均数为． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则，． (1)若得到，求输入的值及相应的值． (2)若输入值后得到的始终大于，求输入的最大整数值是多少． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∴把代入可得：，解得：，∴； （2）∵， ，∴由题意得：，解得：， ∵为整数，∴取的最大整数为． ►题型05 一元一次方程实际应用之列方程（古代数学文化） 核心技巧： 设元要灵活‌：1）直接设未知数（如设人数为x）；2）间接设元（如设物价为y，通过人数表示）。 找等量关系是关键‌：根据题意提炼两个代数式表示同一量，使其相等（如总价、数量关系）。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设客人是人，由题意，得：；故选B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，由题意可得：，故选：D． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每只雀x斤，每只燕y斤， 交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即， 五只雀和六只燕共重1斤，即，所以 故选：B． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得，故选：B． ►题型06 一元一次方程实际应用行程问题 解行程问题的核心是抓住两个核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt）。 1.审题：明确行程类型（相遇/追及/顺水逆水等），提取关键信息。 2.设未知数：直接设：求什么设什么；间接设：若直接设不便，设与所求量相关的量。 3.找等量关系列方程：根据基本公式和题目中的特殊关系，列出方程。 4.检验作答：检验解是否符合实际意义（速度、时间为正数）；回答题目所求的量，注意带单位。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【答案】学校到部队的路程是13千米 【详解】解：设学校到部队的路程是x千米，根据题意得：，解得， 答：学校到部队的路程是13千米． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 【答案】C 【详解】解：设第六天走了x里，依题意得：，解得.故选：C. 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）轻音部在夏日合宿时乘坐轮船出海游玩，轮船航行于A，B两个码头之间．她们测出水的流速为，轮船以相同的速度，顺水航行需要，逆水航行需要．求轮船的速度和A，B两个码头之间的距离． 【答案】轮船的速度为，A，B两个码头之间的距离为 【详解】解：设A、B码头之间的距离为千米， 根据题意，得，解得：，则， ∴轮船的速度为，A，B两个码头之间的距离为． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设乙出发x日，甲乙相逢，根据题意，得，故选：D． 【变式】3．（2025·成都·二模）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么有故选：A． ►题型07 一元一次方程实际应用盈亏问题 1.核心不变量：无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。 2.通用等量关系：方案1的物品总数=方案2的物品总数 【典例】1．（2025·成都·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺，∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺，∴ ∴ 即 解得：∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ；选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ；选项 D 正确，故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意得，可列方程为，故选：C． 【变式】2．（2025·成都·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设牧童有x人，∵每人6竿多14竿，∴竹竿总数为； ∵每人8竿少2竿，∴竹竿总数为，∴，故选：A． 【变式】3．（2025·四川成都·校考三模）有一批学生分配宿舍，如果每间宿舍住8人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住6人，那么有12个人剩下来没地住，设宿舍有x间，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到题目中的等量关系，列出方程．设宿舍有x间，则学生人数为人或人，进一步可得方程． 【详解】解：设宿舍有x间，由题意可得：，故答案为：． ►题型08 一元一次方程实际应用配套问题 配套问题的本质是比例关系，如： 1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量 1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【答案】B 【详解】解：若设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，则能制成个笔套，可列方程为：； 若设用于制作笔套的短竹数为y根，则能制成个笔套，用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔套，可列方程为：．故选：B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套?设生产茶杯的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设生产茶杯的工人有人，则生产茶壶的工人有人， 则一天能做个茶杯，一天能做个茶壶，由8个茶杯和1个茶壶为一套， 则列式为，故选：C． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得，解得，答：应分配名工人生产电压表． ►题型09 一元一次方程实际应用比赛积分问题 比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数、总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分，通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？(3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1(2)答对了道题(3)参赛者不可能得分，见解析 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分；故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得：解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分，理由：假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立，故参赛者不可能得分． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 【答案】B 【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分， 由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分，丙同学得分也符合； 设学生丁答对x道题，则答错道题，∴得分，且x为正整数， A、，解得：，不符合题意；B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不合题意；D、6x-20=62，解得：，不符合题意；故选：B． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？ 【答案】7场 【详解】解：设六（1）班胜了x场，则负了场， 根据题意得：，解得：，答：六（1）班第一轮胜了7场． ►题型10 一元一次方程实际应用水费电费问题（分段计费） 核心技巧：分段点与等量关系。 1）明确分段点‌：例如：水费分0-12m³（2元/m³）、12-20m³（3元/m³）、20m³以上（4元/m³）。 电费分0-140度（0.56元/度）、140度以上（0.61元/度）。 2）找准等量关系‌：总费用 = 各段费用之和。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【答案】(1)该城市规定的基础用水量是吨(2)他家这个月最多能用吨水 【详解】（1）解：，小亮家上个月用水量超过了基础用水量， 设该城市规定的基础用水量是吨，根据题意列方程得：，解得：， 答：该城市规定的基础用水量是吨； （2）解：设他家这个月最多能用吨水，根据题意得：，解得：， 他家这个月最多能用吨水． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明：每件快递按送达地分别计算运费；运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】(1)求、的值；(2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？(3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)；(2)元；(3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【详解】（1）解：根据题意可得：，解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：元，答：小美需要支付元快递费； （3）解：设这份特产重量按计费， 小美在江西，首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：，解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 【变式】3．（2025成都·校考二模）学科实践：近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决：(1)若汽车充电的总电量为，①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____；②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②；(2)他们此次的充电量是． 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于，.解得. 答：他们此次的充电量是. ►题型11 一元一次方程实际应用日历与数字、和差倍分问题 日历问题技巧 1）找规律‌：横行相邻日期差1，竖行相邻日期差7，斜行相邻日期差8。 2）设元与列方程‌：设第一个日期为x，根据规律表示其他日期，利用和或差关系列方程。 数字问题技巧 1）设元与表示‌：两位数表示为10a + b，三位数表示为100a + 10b + c。 2）数字位置变化‌。 和差倍分问题技巧 1）找等量关系‌：和差关系：通过“多、少、和、差”等关键词体现。 2）倍分关系：通过“是几倍、增加几倍”等关键词体现。 3）设元与列方程‌：直接设未知数或间接设关键未知数，根据等量关系列方程。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解： 【小明提出问题】利用一元一次方程将化成分数． 【小明的解答】解：设方程两边都乘以10，得．由，得．所以（请你体会将方程两边都乘10起到的作用），解得．所以． 【小明的问题】将写成分数形式． 【小白的答案】．（正确） (1)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数：①，②； (2)你能通过上面的解答判断吗？说明你的理由． 【答案】(1)① ②(2)，理由见解析 【详解】（1）解：①设， 方程两边都乘以100，可得． 由，可得：．解得，故； ②设，方程两边都乘以1000，可得． 由，可知， 即．解得，故； （2）解：，理由如下：设， 方程两边都乘以10，得．由，得， 所以，解得．故． 【典例】2．（2025成都·校考一模）如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（    ） A．95 B．60 C．85 D．72 【答案】D 【详解】解：依题意，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是， ∴，当时，则，故A选项不符合题意； 当时，则，故B选项不符合题意；当时，则，故C选项不符合题意； 当时，则，不是整数，故D选项符合题意；故选：D 【变式】1．（2025·成都·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数，这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意，得，解得． 【变式】2．（2025·成都·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【答案】甲、乙两组家庭共植树棵． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵， 根据题意得：，解得．∴．答：甲、乙两组家庭共植树棵． 【变式】3．（2025·四川成都·校考一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 【答案】此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵 【详解】解：设此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵， 根据题意得：，解得：，（棵）， 答：此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵． 命题点二 二元一次方程组与实际应用 ►题型01 二元一次方程（组）的解及运用 题型1：已知二元一次方程的一组解，求参数 步骤1：将解Ax+By=C（A、B、C含参数） 步骤2：代入后得到一个关于参数的一元一次方程； 步骤3：解一元一次方程，求出参数的值。 题型2：已知二元一次方程组的解，求参数 步骤1：将解方程组中的每一个方程； 步骤2：得到关于参数的一元一次方程（组）； 步骤3：解这个方程（组），求出参数的值。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）若是方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，解题关键是理解二元一次方程的解的概念. 将解代入方程，转化为关于待定字母的方程求解即可. 【详解】解：将代入，，解得：，故选B 【变式】1．（2025·成都·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 将代入，得，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意．故选C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，，∴，，故答案为：3；1． 【变式】3．（2025·成都·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，即，∴，故答案为： ►题型02 解二元一次方程组（计算题） 一、代入消元法与代入消元法易错点 1.变形方程时移项忘变号 规避方法：移项严格遵循“移项必变号”，变形后可代入原方程验证是否等价。 2.代入时选错方程，导致循环推导 规避方法：必须代入另一个未变形的方程，消去一个未知数。 3.代入多项式时漏乘括号内的项 规避方法：代入含多项式的式子时，先给多项式加括号，再用乘法分配律展开。 4.给方程乘系数时漏乘常数项 规避方法：方程两边每一项都要乘同一个系数，包括常数项，乘完后检查每一项的系数。 5.加减消元时符号处理错误 规避方法：系数互为相反数→两方程相加消元 系数相等→两方程相减消元，减法时把被减方程的每一项变号后在相加。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）计算(2)解方程组： 【答案】(2) 【详解】（2）解：， ，得， 将代入①，得，∴， ∴方程组的解为． 【变式】1．（2025·成都·一模）解方程组： 【答案】 【详解】解：，①，得③， ，得，解得，，将代入①，得，方程组的解是． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）解方程组：． 【答案】 【详解】解：，，得，解得， 把代入①，得，所以方程组的解是． ►题型03直接构造法解二元一次方程组 直接构造法解二元一次方程组‌的核心在于‌观察方程组结构‌，通过整体代入或整体加减简化计算，避免繁琐的逐项消元。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【详解】解：，得：， ∵，∴， ∴．故选C． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：方程组的两个方程相加，得，∴， ∵，∴，∴．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：，由得，，故选：B． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：，由得：③， 由得：，故选：C． ►题型04 二元一次方程组中同解问题 二元一次方程组的同解问题，核心是指两个不同的方程组有完全相同的解。解题关键是抓住 “公共解同时满足四个方程” 这一特点，通过 “先求无参公共解，再代入含参方程求参数” 的步骤求解。 规范解题步骤 筛选方程：从两个方程组中，选出不含参数的两个方程，组成新的方程组。 求公共解：解这个由无参方程组成的新方程组，得到的就是两个原方程组的公共解。 代入求参：将公共解代入两个原方程组中含参数的方程，得到关于参数的一元一次方程（组）。 解参数方程：求解参数方程（组），得到参数的值。 检验：将参数和公共解代入原方程组，验证所有方程是否成立。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：，整理得：， 两边同时除以 3 ，得：，因此，的值为，故选：D． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：，整理得：， 两边同时除以 3 ，得：，因此，的值为，故选：D． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【详解】解：根据题意，可有， ①②，可得 ，解得 ， 把代入①，可得，解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． ►题型05 二元一次方程（组）实际应用之列方程（古代数学文化） 【典例】1．（2025·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设玉重两，石重两，由 “总重斤”，得， 由“体积为立方寸”，得，∴列方程组为，故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有“二人持米”问题：“今有甲，乙二人持米不知其数．甲云：“我得乙半，当满五十石．”乙云：“我得甲大半，亦满五十石．”问甲，乙各持米几何？”这里的“大半“指三分之二，设甲有x石，乙有y石，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设甲有x石，乙有y石，由题意可得：，故选：C； 【变式】2．（24-25九年级下·广西贵港·月考）中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，可列方程为，故选：C． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为 ． 【答案】 【详解】解：今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金， ∴，将牛与羊互换其中一只（头），值金相同，∴，即， ∴方程组为，故答案为： ． ►题型06 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 方案问题‌的核心在于‌通过设元、列方程组、解方程，最终比较不同方案的优劣‌。常见有商品购买方案；研学优惠方案；商品进货方案等。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得：，解这个方程组得， 答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹． （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：，整理得：，即， ∵和都为整数，∴符合条件的解为：，，， 答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个． 【变式】1．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长，∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 【变式】2．（2025·成都·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：，， 又，y均为正整数，或或或，共有4种购买方案．故选：． ►题型07 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 二元一次方程组解工程问题的核心是：将总工作量设为单位“1”，以“工作效率×工作时间=工作量”为基础，结合“合作效率=各效率之和”“总工作量=各部分工作量之和”列方程组。 【典例】1．（2025·成都·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元．(1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 (2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：，解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； （2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天，单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：，解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：，解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． ►题型08 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 二元一次方程组解数字问题的核心是利用数位与数值的关系，用代数式表示多位数，再结合题目中的数字关系（如和差、倍数、数位对调）列出两个等量关系，进而列方程组求解。 【典例】1．（2025·成都·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设十位数字是，个位数字是，十位数字比个位数字的倍大，， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，， 可列方程组．故答案为： ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数是 ． 【答案】648 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，，解得， 答：这个三位数为648． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】6 【详解】解：如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得， 故答案为：6 ►题型09 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 二元一次方程组解销售利润问题的核心是梳理 “单价、数量、总价”“进价、售价、利润” 两组核心关系，提取题目中关于数量、利润的两个独立等量关系，设未知数后列方程组求解。 【典例】1．（2025·成都·二模）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？(2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 【答案】(1)购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元 (2)购买个模型时，两种方案费用相同 【详解】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元， 可得，解得， 答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元； （2）解：设购买种模型个，则购买种模型个， 则可得，解得， 答：购买个模型时，两种方案费用相同． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）某商场为推广新品，对商品采取分段折扣促销策略，以下是相关信息： 【基础应用】若某商品原价为400元，折扣后价格为320元，则该商品应打几折？ 【函数建模】设商品原价为元，折扣后价格为元，经统计发现： 当时，与满足的关系为． 当时，与成一次函数关系，且当时，，当时，． （1）求当时，与的函数表达式； （2）若小丽在该商场购买了一件商品，共花费240元，求该商品的原价． 【方案决策】为进一步刺激消费，商场推出两种新方案： 方案一：全店商品统一打折． 方案二：所购商品按原价每满300元减元（，不满300元部分不优惠）． 若某商品原价为600元，分别按方案一和方案二的优惠后价格相同，直接写出与的关系． 【答案】基础应用：该商品打8折；函数建模：（1）；（2）该商品的原价为元或350元；方案决策： 【详解】解：基础应用 ∴该商品打8折． 函数建模：（1）设当时，与的函数关系式为， 当时，，当时，， ，解得．． （2）当时，，解得．当时，，解得． 当小丽在该商场购买了一件商品，共花费240元，则该商品的原价为元或350元． 方案决策：按照方案一：元；按照方案二：（）元； 若某商品原价为600元，按方案一和方案二折扣后价格相同，． 【变式】2．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)(2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． ►题型10 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【答案】 【详解】解：，． ①如图1，设，则， 可得方程组，解得（不成立）或（不成立）． ②如图2，设，则， ∵，∴，即，可得方程组，无解； ③如图3，设，则， ∵，∴，即.可得方程组 解得或（不成立）． ，∴； 综上所述，的长为．故答案为：. 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【答案】每本书籍厚度为，桌子的高度为 【详解】解：设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为， 由题意，得，解得：， 答：每本书籍厚度为，桌子的高度为． 【变式】2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个(2)至少需要134张正方形硬纸片 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得，得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则．由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值．根据题意，得，解得，其中最小整数解为34． 即当时，．答：至少需要134张正方形硬纸片． ►题型11 三元一次方程组解法与应用 解三元一次方程组的基本步骤： ①消元 1：从方程组中选两个方程，消去其中一个未知数（如z），得到一个二元一次方程； ②消元 2：再选另外两个方程，消去同一个未知数（z），得到另一个二元一次方程； ③解二元一次方程组：将两个二元一次方程联立，求解得到两个未知数的值； ④回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值； ⑤检验：将三个未知数的值代入原方程组的所有方程，验证是否成立。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元；(2)小明共买了杯或杯． 【详解】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得：，由得：， ∴，即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元，∴，整理得， ∵，，且a、b均为整数，∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 【变式】1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13；∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组；的正整数解有组； 的正整数解有组；的正整数解有组； 的正整数解有组；的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·校考模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 次数口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 【答案】41 【详解】解：设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ，由得：， ∴，即各买一杯，需要花费41元．故答案为：41 突破一 一次方程（组）中新定义题型 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【详解】解：A、由题意，得，解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况：，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．，，， 当为整数时，，，， 当时，解得：，，符合题意； 当时，解得：，，符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 当时，解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ，，即， 对任意有理数，都成立，，故选项D正确．故选：B． 【变式】1．（2025·四川成都·校考二模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：由题可知，， 即，解得：，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，∴解得．故选C． 突破二 已知二元一次方程（组）解的情况求参数 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，①②得：，即， ∵，∴，解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴，即的值为．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵，解得．∴． 点为和谐点，∴，． 又，∴．∴，故答案选：C． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【详解】解：，解得， ∵，为正整数，∴，，，， ∴，，，，∴，故答案为：． 突破三 一元一次方程中新情境类题型 【典例】（2025·成都·校考一模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________；(2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）解：输入，得到，；故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ，解得：，∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大，∴，解得：． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果；(2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数；(3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【答案】(1)(2)3(3)5 【详解】（1）解：如图可知，第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域为，所以． （2）解： 设指针所指区域为，则解得：，所以指针所指区域的数为． （3）当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； ，所以最大的结果为． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了；(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答案】(1)(2)2 【详解】（1）解：，去分母，得； 移项，合并同类项，得；系数化为1，得． （2）解：设被污染的正整数为m，则有，解之得，， ∵是正整数，且m为正整数，∴． 突破四 一次方程（组）实践探究题型 【典例】（2025·成都·一模）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【详解】解：任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得：，解得， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得，∴，∴ 方案二：， 解得，∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 【变式】1．（2025·成都·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：，得：，解得：， 把代入得：，解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：，解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：，整理得：， 、均为正整数，当时，， 当时，，当时，，当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ ［情境引入］小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元． ［迁移类比］（2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． ［拓展探究］（3）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至多购买A种品牌足球多少个？ 【答案】（1）②；（2）种品牌足球的单价为80元，种品牌足球的单价为50元；（3）至多购买种品牌足球31个 【详解】解：（1）∵种品牌足球的单价为元，∴表示种品牌足球的单价， ∴例题中被覆盖的条件是：种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元．故答案为：②； （2）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意得：，解得：． 答：种品牌足球的单价为80元，种品牌足球的单价为50元； （3）设购买个种品牌足球，则购买个种品牌足球， 根据题意得：，解得：， 又∵为正整数，∴的最大值为31．答：至多购球种品牌足球31个． 1．（2025·四川成都·二模）某文创店制作甲、乙两种热销产品销售，已知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克．设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为： ，故选：A． 2．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设人数为，琎价为，根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出，则方程组为：，故选：B． 3`．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：，故选B． 4．（25-26九年级上·成都·校考期中）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：mn＝m+n，比如12＝1+×2＝．若y（510）＝25，则y的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵mn＝m+n，∴510＝5+×10＝5， ∴y（510）＝y5＝y+×5＝y+， ∵y（510）＝25，∴y+＝25，解得：y＝，故答案为：． 5．（2025·成都·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：，，，，∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为．故答案为：6． 6．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． (1)求，两种食材的单价； 【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得， ，解得：， 答：种食材的单价为元，种食材的单价为元； 7．（2025·四川成都·模拟预测）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价．(2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】(1)A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； (2)B型文创用品最多可以购买25件． 【详解】（1）解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得： ，解得：， 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）解：设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品， 根据题意得：，解得：，∴的最大值为25， 答：B型文创用品最多可以购买25件． 8．（2025·四川成都·二模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝．(1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】(1)每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； (2)该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【详解】（1）解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意：，解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ，解得：，∵x为整数，∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 9．（2025·四川成都·二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元． (1)，两个工种的工人各有多少人？ (2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额． 【答案】(1)工种的工人有人，工种的工人有人 (2)招聘工种工人人时，每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元 【详解】（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人， 根据题意，得，解得：， 答：工种的工人有人，工种的工人有人； （2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元， 则， ∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍， ∴解得：， 对于，，∴随的增大而减小， ∴ 当时，每月所付的工资总额最小，最小为（元）， 答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元． 10．（2025·四川成都·二模）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 【答案】(1)数学书有本，语文书有本；(2)最多还可以摆本语文书． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本， 由题意得：，解得， 答：数学书有本，语文书有本． （2）解：设再摆本语文书， 根据题意得：，解得：， 答：最多还可以摆本语文书． 11．（2025·成都·模拟预测）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．(1)求该旅行团中成人是多少人？(2)因游玩时间充足，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人人和少年人带队，则当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简），当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简）； ②旅行团经过测算，只有1200元经费剩余可用于购买景区B门票游玩，在经费使用不超额的前提下，如果安排11个成人和尽可能多的若干个少年带队游玩，请问这一次游玩实际购票费用是多少？ 【答案】(1)17人 (2)①，；②1180元 【详解】（1）解：设少年有x人，由题意可得：，解得：， 人，∴该旅行团中成人是17人； （2）①当时，所需门票的总费用是；   当时，所需门票的总费用是；   故答案为：，； ②设可以安排成人人，少年人带队， 若，则费用为，得，的最大值是1，此时， 实际购票费用为元； 1．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 【答案】D 【详解】解：第一次可得到4个正方形； 第二次可得到个正方形；第三次可得到个正方形；则第n次可得个正方形， ∵若要得到2026个小正方形，∴解得．故选：D． 2．（2025·河北邯郸·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有12个盘子 【答案】B 【详解】解：A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可列出方程组，选项A不符合题意； B．设有x名客人，根据题意可列出方程，选项B符合题意； C．解方程，得：，∴有30名客人，选项C不符合题意； D．∵，∴（个），∴有13个盘子，选项D不符合题意．故选：B． 3．（2025·成都·校考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令， 等式两边都乘以x，得．① 等式两边都减，得．② 等式两边分别分解因式，得．③ 等式两边都除以，得．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 【答案】④ 【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变， ∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；故答案为：④． 4．（2025·成都·校考三模）李老师正在表演一个神奇的魔术，他邀请一位同学在心里默默想一个1到9之间的整数，接着按照一系列步骤进行计算：首先将这个数字乘以2，再加上5，随后把得到的结果乘以50，然后加上1775；最后用上述计算的结果减去自己的出生年份．经过一番计算后，若这位同学报出最终运算结果是615，则这位同学心里想的整数是 ． 【答案】6 【详解】解：该同学想的整数是x，他的出生年份是b，则，∴， ∵x是一个1到9之间的整数，∴当时，，不符合实际出生年份， 当x是小于5的整数时，b都不符合实际出生年份，当时，，符合实际出生年份， 当时，，不符合实际出生年份， 当或9时，b的值也不符合实际出生年份，∴，故答案为：6． 5．（2025·四川成都·二模）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？ (2)请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大． 【答案】(1)商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元 (2)，当最低销售单价为元时，公司所获利润越大 【详解】（1）解：设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元． 根据题意，得，解得． 答：商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元． （2）设销售件，所获利润元．当时， ，随的增大而增大，当时值最大，； 当时：根据题意，得，解得，， ， 该函数图象开口向下，对称轴为，，当时值最大，， ，元． 答：当最低销售单价为元时，公司所获利润越大． 6．（2025·四川成都·模拟预测）哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口．其中一美食店推出了两款哈尔滨红肠套餐，其中一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元． (1)求每份套餐和每份套餐的售价； (2)为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得的利润，每份套餐定价为多少元可使得套餐的销售额最大，并求出最大销售额． 【答案】(1)每份套餐的售价为26元，每份套餐的售价为20元 (2)套餐售价为21元，销售额最大，为元 【详解】（1）解：设每份套餐的售价为元，每份套餐的售价为元， 由题知，解得， 答：每份套餐的售价为26元，每份套餐的售价为20元； （2）解：设销售定价每份降低元，套餐的销售总额为元， 由（1）知套餐一份售价为26元，每天的销售量为100份， ， 为保证商家至少获得的利润， 商家的最低销售定价为元，每份套餐降价不超过元，． 又，∴当时，随的增大而增大， 当时，即每份套餐售价为21元，套餐的销售额最大，最大销售额（元）． 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，，解得， ∴这款风扇每台的标价为350元，故选：A． 2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得：．故答案为：1． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 【答案】6 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：，解得：，即每尺绢的价格是6分，故答案为：6． 4．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵关于的方程的解为，∴，解得：，故答案为：4． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【详解】解：把代入，得：， ∵，∴，即：， ，得：，∵方程组有解，∴，∴， 把代入①，得：，解得：；∴方程组的解集为：；故答案为：． 6．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【详解】解：根据题意列方程得，．故答案为：． 7．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 【答案】60 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ，解得，∴参加“深海探秘”的人数为60人，故答案为：60． 8．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得，得， ∴，∴，∴，∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B，故答案为：A，B． 9．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】五 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵，∴∴上述推理过程中，第五步是错误的；故答案为：五． 10．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高．答：这只风筝的骨架的总高． 11．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．(2)需要准备公斤大米． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 12．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【详解】解：（1）由图可知：；故答案为：； （2）由图可知：；故答案为：； （3）由题意，得：，；故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：；故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组） 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 一元一次方程与实际应用 题型01 等式的基本性质与运用 题型02 一元一次方程方程的解及运用 题型03 解一元一次方程 题型04 一元一次方程中程序流程图问题 题型05 一元一次方程实际应用之列方程（古代数学文化） 题型06 一元一次方程实际应用行程问题 题型07 一元一次方程实际应用盈亏问题 题型08 一元一次方程实际应用配套问题 题型09 一元一次方程实际应用比赛积分问题 题型10 一元一次方程实际应用水费电费问题（分段计费） 题型11 一元一次方程实际应用日历与数字、和差倍分问题 命题点二 二元一次方程组及实际应用 题型01 二元一次方程（组）的解及运用 题型02 解二元一次方程组（计算题） 题型03直接构造法解二元一次方程组 题型04 二元一次方程组中同解问题 题型05 二元一次方程（组）实际应用之列方程（古代数学文化） 题型06 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 题型07 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 题型08 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 题型09 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 题型10 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 题型11 三元一次方程组解法与应用 05·重难突破·思维进阶难 45 突破一 一次方程（组）中新定义题型 突破二 已知二元一次方程（组）解的情况求参数 突破三 一次方程（组）中新情境类题型 突破四 一次方程（组）实践探究题型 06·优题精选·练能提分 53 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程与实际应用 成都卷 T10 （方程解法） 成都卷 T7 （数学文化） 掌握方程的解的含义；掌握等式的基本性质，能熟练运用等式性质解一元一次方程；能在现实情境中准确提取等量关系并列出一元一次方程求解相关问题。 二元一次方程组及实际应用 成都卷 T6 （数学文化） 成都卷 T7 （数学文化） 成都卷 T24 （实际应用） 成都卷 T24 （实际应用） 清楚二元一次方程的无数组解与方程组的唯一解（或无解等）的区别；掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组；能在现实情境中准确提取等量关系并列出方程组求解。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用问题及数学文化，方程的解法也时有考查，题型既有选填题，也有解答题，分值在10分左右。一元一次方程主要考查一元一次方程的解法、实际应用及古代数学文化等问题；二元一次方程组主要考查二元一次方程组的实际应用及古代数学文化等问题。从成都近年真题及命题研讨方向来看，传统的行程、工程、销售等经典情境仍会保留，但会更多结合乡村振兴、绿色能源、非遗传承等时代热点，或融入《九章算术》、《孙子算经》等古代数学文化素材，创设真实且有意义的问题情境。 考点一 一元一次方程与实际应用 1.等式的基本性质 1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式； 2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式； 3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。 2.一元一次方程 1）方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程． 2）方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。 3）一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。 4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。 5）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 3.列一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 1．（2025·成都·校考一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·模拟预测）如果关于的方程的解为，那么的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 4．（2023·四川成都·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点二 二元一次方程组与实际应用 1.二元一次方程（组） 1）二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。 2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。 3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。 方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。 4）解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。 5）二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 2.一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量； （2）储蓄利息问题：本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间； （4）行程问题：路程=速度×时间； （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路； （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程； （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程； （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。 3. 三元一次方程组 1）三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 2）三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3）三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的核心是消元，即通过代入消元法或加减消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再消去一个未知数转化为一元一次方程，求解后逐步回代，得到三个未知数的值。 1．（2025·成都·校考二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·成都·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； 命题点一 一元一次方程与实际应用 ►题型01 等式的基本性质与运用 加减法：看两边是否加、减了同一个对象（数或整式），若是则正确。 乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。 除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。 天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【变式】2．（2025·成都·校考一模）在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．不等式的性质2 D．分式的基本性质 ►题型02 一元一次方程方程的解及运用 1）已知方程的解，求参数；原理‌：方程的解代入方程，等式成立 → 构造关于参数的方程。 2）判断一个数是否是方程的解‌；原理‌：代入检验，左右是否相等。 3）构造方程，利用解反推原方程；‌原理‌：已知解，反向构造满足条件的方程（开放性题型）。 【典例】1．（2025·成都·校考二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 【变式】1．（2025·成都·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【变式】2．（2025·广东深圳·二模）关于的一元一次方程的解为，这个方程可以是 ．（写出一个答案即可，且不能是） 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． ►题型03 解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤:去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。 【典例】1．（2025·成都·校考二模）（2）解方程：． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期中）解方程：(1)；(2)． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 ►题型04 一元一次方程中程序流程图问题 解一元一次方程的程序流程，本质是‌“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”‌的步骤化。流程图里，每个步骤用‌矩形框‌表示，‌判断条件‌用‌菱形框‌（比如“a是否为0”），‌输入/输出‌用‌平行四边形框‌。 【典例】（2025·成都·校考一模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值；(2)若得到，求输入的的值及相应的的值；(3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【变式】1．（2025·四川成都·九年级期中）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积；(2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值：②求，4，5，这四个数的平均数． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则，．(1)若得到，求输入的值及相应的值． (2)若输入值后得到的始终大于，求输入的最大整数值是多少． ►题型05 一元一次方程实际应用之列方程（古代数学文化） 核心技巧： 设元要灵活‌：1）直接设未知数（如设人数为x）；2）间接设元（如设物价为y，通过人数表示）。 找等量关系是关键‌：根据题意提炼两个代数式表示同一量，使其相等（如总价、数量关系）。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． ►题型06 一元一次方程实际应用行程问题 解行程问题的核心是抓住两个核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt）。 1.审题：明确行程类型（相遇/追及/顺水逆水等），提取关键信息。 2.设未知数：直接设：求什么设什么；间接设：若直接设不便，设与所求量相关的量。 3.找等量关系列方程：根据基本公式和题目中的特殊关系，列出方程。 4.检验作答：检验解是否符合实际意义（速度、时间为正数）；回答题目所求的量，注意带单位。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）轻音部在夏日合宿时乘坐轮船出海游玩，轮船航行于A，B两个码头之间．她们测出水的流速为，轮船以相同的速度，顺水航行需要，逆水航行需要．求轮船的速度和A，B两个码头之间的距离． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·二模）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． ►题型07 一元一次方程实际应用盈亏问题 1.核心不变量：无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。 2.通用等量关系：方案1的物品总数=方案2的物品总数 【典例】1．（2025·成都·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【变式】1．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·校考三模）有一批学生分配宿舍，如果每间宿舍住8人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住6人，那么有12个人剩下来没地住，设宿舍有x间，可列方程为： ． ►题型08 一元一次方程实际应用配套问题 配套问题的本质是比例关系，如： 1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量 1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套?设生产茶杯的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ ►题型09 一元一次方程实际应用比赛积分问题 比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数、总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分，通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？(3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 【变式】2．（2025·成都·校考一模）某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？ ►题型10 一元一次方程实际应用水费电费问题（分段计费） 核心技巧：分段点与等量关系。 1）明确分段点‌：例如：水费分0-12m³（2元/m³）、12-20m³（3元/m³）、20m³以上（4元/m³）。 电费分0-140度（0.56元/度）、140度以上（0.61元/度）。 2）找准等量关系‌：总费用 = 各段费用之和。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【变式】1．（2025·成都·校考一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明：每件快递按送达地分别计算运费；运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】(1)求、的值；(2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？(3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【变式】3．（2025成都·校考二模）学科实践：近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决：(1)若汽车充电的总电量为，①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____；②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． ►题型11 一元一次方程实际应用日历与数字、和差倍分问题 日历问题技巧 1）找规律‌：横行相邻日期差1，竖行相邻日期差7，斜行相邻日期差8。 2）设元与列方程‌：设第一个日期为x，根据规律表示其他日期，利用和或差关系列方程。 数字问题技巧 1）设元与表示‌：两位数表示为10a + b，三位数表示为100a + 10b + c。 2）数字位置变化‌。 和差倍分问题技巧 1）找等量关系‌：和差关系：通过“多、少、和、差”等关键词体现。 2）倍分关系：通过“是几倍、增加几倍”等关键词体现。 3）设元与列方程‌：直接设未知数或间接设关键未知数，根据等量关系列方程。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解： 【小明提出问题】利用一元一次方程将化成分数． 【小明的解答】解：设方程两边都乘以10，得．由，得．所以（请你体会将方程两边都乘10起到的作用），解得．所以． 【小明的问题】将写成分数形式． 【小白的答案】．（正确） (1)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数：①，②； (2)你能通过上面的解答判断吗？说明你的理由． 【典例】2．（2025成都·校考一模）如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（    ） A．95 B．60 C．85 D．72 【变式】1．（2025·成都·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【变式】2．（2025·成都·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【变式】3．（2025·四川成都·校考一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 命题点二 二元一次方程组与实际应用 ►题型01 二元一次方程（组）的解及运用 题型1：已知二元一次方程的一组解，求参数 步骤1：将解Ax+By=C（A、B、C含参数） 步骤2：代入后得到一个关于参数的一元一次方程；步骤3：解一元一次方程，求出参数的值。 题型2：已知二元一次方程组的解，求参数 步骤1：将解方程组中的每一个方程；步骤2：得到关于参数的一元一次方程（组）； 步骤3：解这个方程（组），求出参数的值。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）若是方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式】1．（2025·成都·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【变式】3．（2025·成都·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ． ►题型02 解二元一次方程组（计算题） 代入消元法与代入消元法易错点 1.变形方程时移项忘变号规避方法：移项严格遵循“移项必变号”，变形后可代入原方程验证是否等价。 2.代入时选错方程，导致循环推导规避方法：必须代入另一个未变形的方程，消去一个未知数。 3.代入多项式时漏乘括号内的项 规避方法：代入含多项式的式子时，先给多项式加括号，再用乘法分配律展开。 4.给方程乘系数时漏乘常数项 规避方法：方程两边每一项都要乘同一个系数，包括常数项，乘完后检查每一项的系数。 5.加减消元时符号处理错误 规避方法：系数互为相反数→两方程相加消元 系数相等→两方程相减消元，减法时把被减方程的每一项变号后在相加。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）计算(2)解方程组： 【变式】1．（2025·成都·一模）解方程组： 【变式】2．（2025·成都·校考一模）解方程组：． ►题型03直接构造法解二元一次方程组 直接构造法解二元一次方程组‌的核心在于‌观察方程组结构‌，通过整体代入或整体加减简化计算，避免繁琐的逐项消元。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式】3．（2025·成都·校考二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 ►题型04 二元一次方程组中同解问题 二元一次方程组的同解问题，核心是指两个不同的方程组有完全相同的解。解题关键是抓住 “公共解同时满足四个方程” 这一特点，通过 “先求无参公共解，再代入含参方程求参数” 的步骤求解。 规范解题步骤 筛选方程：从两个方程组中，选出不含参数的两个方程，组成新的方程组。 求公共解：解这个由无参方程组成的新方程组，得到的就是两个原方程组的公共解。 代入求参：将公共解代入两个原方程组中含参数的方程，得到关于参数的一元一次方程（组）。 解参数方程：求解参数方程（组），得到参数的值。 检验：将参数和公共解代入原方程组，验证所有方程是否成立。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． ►题型05 二元一次方程（组）实际应用之列方程（古代数学文化） 【典例】1．（2025·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有“二人持米”问题：“今有甲，乙二人持米不知其数．甲云：“我得乙半，当满五十石．”乙云：“我得甲大半，亦满五十石．”问甲，乙各持米几何？”这里的“大半“指三分之二，设甲有x石，乙有y石，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（24-25九年级下·广西贵港·月考）中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为 ． ►题型06 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 方案问题‌的核心在于‌通过设元、列方程组、解方程，最终比较不同方案的优劣‌。常见有商品购买方案；研学优惠方案；商品进货方案等。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【变式】1．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 【变式】2．（2025·成都·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 ►题型07 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 二元一次方程组解工程问题的核心是：将总工作量设为单位“1”，以“工作效率×工作时间=工作量”为基础，结合“合作效率=各效率之和”“总工作量=各部分工作量之和”列方程组。 【典例】1．（2025·成都·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元．(1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 ►题型08 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 二元一次方程组解数字问题的核心是利用数位与数值的关系，用代数式表示多位数，再结合题目中的数字关系（如和差、倍数、数位对调）列出两个等量关系，进而列方程组求解。 【典例】1．（2025·成都·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数是 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． ►题型09 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 二元一次方程组解销售利润问题的核心是梳理 “单价、数量、总价”“进价、售价、利润” 两组核心关系，提取题目中关于数量、利润的两个独立等量关系，设未知数后列方程组求解。 【典例】1．（2025·成都·二模）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？(2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）某商场为推广新品，对商品采取分段折扣促销策略，以下是相关信息： 【基础应用】若某商品原价为400元，折扣后价格为320元，则该商品应打几折？ 【函数建模】设商品原价为元，折扣后价格为元，经统计发现： 当时，与满足的关系为． 当时，与成一次函数关系，且当时，，当时，． （1）求当时，与的函数表达式； （2）若小丽在该商场购买了一件商品，共花费240元，求该商品的原价． 【方案决策】为进一步刺激消费，商场推出两种新方案： 方案一：全店商品统一打折． 方案二：所购商品按原价每满300元减元（，不满300元部分不优惠）． 若某商品原价为600元，分别按方案一和方案二的优惠后价格相同，直接写出与的关系． 【变式】2．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． ►题型10 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【变式】2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? ►题型11 三元一次方程组解法与应用 解三元一次方程组的基本步骤： ①消元 1：从方程组中选两个方程，消去其中一个未知数（如z），得到一个二元一次方程； ②消元 2：再选另外两个方程，消去同一个未知数（z），得到另一个二元一次方程； ③解二元一次方程组：将两个二元一次方程联立，求解得到两个未知数的值； ④回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值； ⑤检验：将三个未知数的值代入原方程组的所有方程，验证是否成立。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【变式】1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【变式】2．（2025·成都·校考模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 次数口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 突破一 一次方程（组）中新定义题型 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【变式】1．（2025·四川成都·校考二模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 突破二 已知二元一次方程（组）解的情况求参数 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 突破三 一元一次方程中新情境类题型 【典例】（2025·成都·校考一模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________；(2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【变式】1．（2025·成都·校考三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果；(2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数；(3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了；(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 突破四 一次方程（组）实践探究题型 【典例】（2025·成都·一模）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【变式】1．（2025·成都·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ ［情境引入］小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元． ［迁移类比］（2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． ［拓展探究］（3）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至多购买A种品牌足球多少个？ 1．（2025·四川成都·二模）某文创店制作甲、乙两种热销产品销售，已知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克．设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3`．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·成都·校考期中）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：mn＝m+n，比如12＝1+×2＝．若y（510）＝25，则y的值为 ． 5．（2025·成都·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 6．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． (1)求，两种食材的单价； 7．（2025·四川成都·模拟预测）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价．(2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 8．（2025·四川成都·二模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝．(1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 9．（2025·四川成都·二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元． (1)，两个工种的工人各有多少人？ (2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额． 10．（2025·四川成都·二模）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 11．（2025·成都·模拟预测）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．(1)求该旅行团中成人是多少人？(2)因游玩时间充足，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人人和少年人带队，则当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简），当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简）； ②旅行团经过测算，只有1200元经费剩余可用于购买景区B门票游玩，在经费使用不超额的前提下，如果安排11个成人和尽可能多的若干个少年带队游玩，请问这一次游玩实际购票费用是多少？ 1．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 2．（2025·河北邯郸·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有12个盘子 3．（2025·成都·校考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令， 等式两边都乘以x，得．① 等式两边都减，得．② 等式两边分别分解因式，得．③ 等式两边都除以，得．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 4．（2025·成都·校考三模）李老师正在表演一个神奇的魔术，他邀请一位同学在心里默默想一个1到9之间的整数，接着按照一系列步骤进行计算：首先将这个数字乘以2，再加上5，随后把得到的结果乘以50，然后加上1775；最后用上述计算的结果减去自己的出生年份．经过一番计算后，若这位同学报出最终运算结果是615，则这位同学心里想的整数是 ． 5．（2025·四川成都·二模）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？ (2)请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大． 6．（2025·四川成都·模拟预测）哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口．其中一美食店推出了两款哈尔滨红肠套餐，其中一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元． (1)求每份套餐和每份套餐的售价； (2)为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得的利润，每份套餐定价为多少元可使得套餐的销售额最大，并求出最大销售额． 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 4．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 6．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 7．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 8．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 9．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 10．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 11．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 12．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $