第02讲 分式方程（2命题点+11题型+3突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式方程”专题，覆盖中考核心考点：分式方程的解法（含解的正负、增根、无解、整数解等含参问题）及应用（行程、工程、销售、古代数学文化等），通过“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”的系统架构，帮助学生构建知识网络，结合解题口诀、步骤拆解等方法指导和成都中考真题训练，突破分式方程重难点。 亮点在于“题型精准分类+跨学科融合”的创新设计，如通过“物理电阻并联”“古代《四元玉鉴》问题”等题型，培养学生的抽象能力和模型意识，特设“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习及5分钟限时诊断，确保高效复习。教师可依托资料把控考点节奏，学生能通过针对性训练提升解题速度与准确率，切实增强中考应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 分式方程与解法 题型01 解分式方程 题型02 分式方程的解及运用 题型03 已知分式方程的解正负求参数 题型04 已知分式方程增根或无解、有解求参数 题型05 已知分式方程的整数解求参数 命题点二 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程实际应用之行程问题 题型03 分式方程实际应用之工程问题 题型04 分式方程实际应用之销售问题 题型05 分式方程实际应用之古代数学文化问题 题型06 分式方程实际应用之其它问题 05·重难突破·思维进阶难 27 突破一 解分式方程中新定义类题型 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 突破三 分式方程中探究类题型 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程与解法 成都卷 T10 （解方程） 成都卷T18 （求函数交点） 成都卷T18 （求函数交点） 熟练掌握将分式方程化为整式方程的解题步骤；明确验根的必要性；清楚增根产生的原因是去分母时最简公分母为0；会根据解的条件求参数：能结合分式方程的解的特殊限制条件，如正整数解、负数解等，求解方程中参数的取值范围；同时能准确区分分式方程无解的两种情况，即整式方程本身无解，或是整式方程的解为原分式方程的增根，进而求出对应参数的值。 分式方程的应用 成都卷T24 能从工程、行程、销售、浓度等实际问题中，找出等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程；熟练掌握分式方程的解法；验根需兼顾双重要求：一是检验是否为增根(代入最简公分母),二是检验解是否符合实际意义(如时间、数量、单价不能为负数或零)。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查分式方程的解法、分式方程的实际应用，题型一般以选填题和应用题为主，分值在8分左右。虽然近三年分式方程及应用单独考查的题量不大，但是在求一次函数与反比例函数交点、概率相关内容等任然会有用到。预计2026年成都中考对分式方程的考查重点为：分式方程解法（去分母、解整式方程、验根），分式方程的应用（行程问题、工程问题、销售问题等），应用方面情境更贴近生活，如环保、科技、经济等热点话题。 考点一 分式方程与解法 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据。 2.分式方程的解法 （1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想）； （2）解分式方程的具体步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④检验。 注意：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； ②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根。 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。 1．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是 ． 2．（2024·四川成都·中考真题）分式方程的解是 ． 3．（2025·成都·校考三模）解方程：． 4．（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 考点二 分式方程的应用 1.分式方程的应用 利用分式方程解决实际问题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥写答案。 2.应用分式方程解决实际问题的常见错误分析： 1）等量关系分析错误导致方程列错； 2）解方程过程中，去分母时，不含分母的项漏乘分母的最小公倍数导致错误； 3）方程解完后，忘记检验，导致错误。 1．（2025·四川成都·模拟预测）电阻（单位：）与电阻（单位：）并联后的总电阻为（单位：），它们之间满足关系式．当，时，的值为 ． 2．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 3．（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元．(1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 命题点一 分式方程与解法 ►题型01 解分式方程 快速避错口诀 ①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）（2）解分式方程 【典例】2．（2025·成都·校考三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）分式方程的解为 ． 【变式】2．（2025·广东深圳·三模）（2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误；②错误的原因是 ． ►题型02 分式方程的解及运用 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 漏乘常数项或整式项：只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项。 最简公分母找错：分母是多项式时，未因式分解直接找公分母；忽略分母间的公因式。 符号处理失误：分母互为相反数时，未统一符号直接乘；去分母时忽略分子的括号，导致符号错误。 错用 “约分” 代替去分母：直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构。 忽略分母不为0 的前提：去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解。 【典例】1．（2025·成都·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【变式】1．（2025·成都·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 【变式】2．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． ►题型03 已知分式方程的解正负求参数 解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法步骤如下：1） 化分式方程为整式方程；2）解整式方程，用参数表示解；3）列不等式，限制解的符号：若解为正数 → 列不等式：解大于0；若解为负数 → 列不等式：解大于0；解不等式，初步确定参数的取值范围；4）排除增根，补充限制条件：增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【典例】2．（24-25九年级上·成都·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【变式】1．（2025·成都·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 ►题型04 已知分式方程增根或无解、有解求参数 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 增根：1）是去分母后整式方程的解；2）代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义）。 无解：分式方程无解分两类情况：1）整式方程的解都是增根；2）去分母后的整式方程本身无解。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【典例】2．（2025·四川成都·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【变式】1．（24-25九年级下·成都·校考期中）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 ►题型05 已知分式方程的整数解求参数 1.忽略参数的限定条件：若题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 2.未排除增根直接求参数：只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 3.忽略整式方程无解的情况：当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 【典例】1．（2025·成都·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】1．（2025·成都·校考一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【变式】2．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 【典例】1．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1.（2025·四川成都·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B．C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）随着车辆的增多，城市的交通逐渐拥堵，为方便城市交通顺畅，某条道路被规划拓宽，已知该道路拓宽后汽车平均提速，拓宽后汽车行驶300km与拓宽前汽车行驶200km所用的时间相同．设道路拓宽后汽车的平均速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． ►题型02 分式方程实际应用之行程问题 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2.常见的等量关系 速度变化导致时间差:原时间−现时间=提前时间；现时间−原时间=推迟时间。 顺逆流/顺风逆风航行：顺流时间−逆流时间=时间差 不同主体行驶同一路程：甲的时间−乙的时间=时间差 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（）；逆流速度=静水速度-水流速度（）。 顺风/逆风同理 【典例】1．（2025·成都·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【典例】2．（2025·成都·校考三模）“热爱劳动，尊重劳动．”甲、乙两位同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ ►题型03 分式方程实际应用之工程问题 分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 1.基本公式：工作总量=工作效率×工作时间；变形公式：。 2.常见等量关系 单人效率变化：原工作时间−现工作时间=提前完成时间。 多人合作：甲工作量+乙工作量=总工作量；合作效率=甲效率+乙效率。 分段工作：先做工作量+后做工作量=总工作量。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ ►题型04 分式方程实际应用之销售问题 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 1.基本公式：总价=单价×数量；变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 2.常见等量关系 单价变化导致数量差：原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数；降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数。 两种商品单价对比：甲单价=k×乙单价（k为倍数）；甲购买数量=乙购买数量±差值。 总价相同的两种方案：方案一总价=方案二总价。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【典例】2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【变式】1．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同．(1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【变式】2．（2025·四川成都·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时．(1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ ►题型05 分式方程实际应用之古代数学文化问题 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·校考一模）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为 ． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． ►题型06 分式方程实际应用之其它问题 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·一模）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（   ） A． B． C． D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 【变式】3．（24-25九年级上·成都·期末）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（    ） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 突破一 解分式方程中新定义类题型 【典例】（2025·成都·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声、、．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，则的值是 ． 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 【典例】（2025·江苏扬州·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值；(2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【变式】1.（2025·成都·一模）电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 【变式】2．（2025·成都 ·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ． 突破三 分式方程中探究类题型 【典例】（2025·成都·校考一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：，，，⋯⋯， 照此规律，解答下列问题：(1)________；(2)若，求的值；(3)求的最小值． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 【变式】2．（2025·成都·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 1．（2025·成都·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·成都·一模）智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 3．（2025·四川成都·校考二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·成都·一模）已知是关于x的方程的解，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解是 ． 6．（2025·成都·二模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 7．（2025·成都·二模）山西省2025年初中学业水平体育考试将足球、篮球、排球列入考试选考项目．某市的足球考试办法规定：场地设置为长，宽，场地四周设置明显的标志线．考试需要按规定往返运球，已知考生的运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，求两位考生的平均速度． 8．（2025·成都·模拟预测）下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 9．（2025·成都·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量；②每只乙型号节能灯每个月的用电量；③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 10．（2025·成都·模拟预测）奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元．(1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？(2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？ 11．（2025·成都三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 1．（2025·成都·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2025·成都·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 3．（2025·成都·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出． 4．（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件：①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个．则满足以上所有条件的整数是 ． 5．（2025·成都·三模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 6．（2025·四川成都·二模）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 1．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 5．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 6．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 7．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 8．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 9．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）；(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 10．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 分式方程与解法 题型01 解分式方程 题型02 分式方程的解及运用 题型03 已知分式方程的解正负求参数 题型04 已知分式方程增根或无解、有解求参数 题型05 已知分式方程的整数解求参数 命题点二 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程实际应用之行程问题 题型03 分式方程实际应用之工程问题 题型04 分式方程实际应用之销售问题 题型05 分式方程实际应用之古代数学文化问题 题型06 分式方程实际应用之其它问题 05·重难突破·思维进阶难 27 突破一 解分式方程中新定义类题型 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 突破三 分式方程中探究类题型 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程与解法 成都卷 T10 （解方程） 成都卷T18 （求函数交点） 成都卷T18 （求函数交点） 熟练掌握将分式方程化为整式方程的解题步骤；明确验根的必要性；清楚增根产生的原因是去分母时最简公分母为0；会根据解的条件求参数：能结合分式方程的解的特殊限制条件，如正整数解、负数解等，求解方程中参数的取值范围；同时能准确区分分式方程无解的两种情况，即整式方程本身无解，或是整式方程的解为原分式方程的增根，进而求出对应参数的值。 分式方程的应用 成都卷T24 能从工程、行程、销售、浓度等实际问题中，找出等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程；熟练掌握分式方程的解法；验根需兼顾双重要求：一是检验是否为增根(代入最简公分母),二是检验解是否符合实际意义(如时间、数量、单价不能为负数或零)。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查分式方程的解法、分式方程的实际应用，题型一般以选填题和应用题为主，分值在8分左右。虽然近三年分式方程及应用单独考查的题量不大，但是在求一次函数与反比例函数交点、概率相关内容等任然会有用到。预计2026年成都中考对分式方程的考查重点为：分式方程解法（去分母、解整式方程、验根），分式方程的应用（行程问题、工程问题、销售问题等），应用方面情境更贴近生活，如环保、科技、经济等热点话题。 考点一 分式方程与解法 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据。 2.分式方程的解法 （1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想）； （2）解分式方程的具体步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④检验。 注意：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； ②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根。 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。 1．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴，解得：，经检验，是分式方程的解，故，故答案为：． 2．（2024·四川成都·中考真题）分式方程的解是 ． 【答案】x=3 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 3．（2025·成都·校考三模）解方程：． 【答案】无解 【详解】解：， 方程两边同乘以得：解得：， 经检验，是分式方程的增根，原方程无解． 4．（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：关于的分式方程，去分母得，， 关于的分式方程的增根是，，故答案为：3． 考点二 分式方程的应用 1.分式方程的应用 利用分式方程解决实际问题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥写答案。 2.应用分式方程解决实际问题的常见错误分析： 1）等量关系分析错误导致方程列错； 2）解方程过程中，去分母时，不含分母的项漏乘分母的最小公倍数导致错误； 3）方程解完后，忘记检验，导致错误。 1．（2025·四川成都·模拟预测）电阻（单位：）与电阻（单位：）并联后的总电阻为（单位：），它们之间满足关系式．当，时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：把，代入得： ；；；∴，经检验，是原方程的解．故答案为： 2．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元(2)该游客最多购买11个A种挂件 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得，解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得，解得， 由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件． 3．（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元．(1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)红花椒每千克进价为60元，青花椒每千克进价48元 (2)当红花椒以每千克69元出售时，红花椒每天的销售利润最大，最大利润为405元 【详解】（1）解：设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：红花椒每千克进价为60元，青花椒每千克进价48元； （2）解：设红花椒的售价为m元，获得利润为w元， 根据题意得： ， ，当时，w有最大值，最大值为405， 答：当红花椒以每千克69元出售时，红花椒每天的销售利润最大，最大利润为405元． 命题点一 分式方程与解法 ►题型01 解分式方程 快速避错口诀 ①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）（2）解分式方程 【答案】（2） 【详解】解：（2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【典例】2．（2025·成都·校考三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 去分母得， ，故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）分式方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：，原方程去分母得：， 整理得：，解得：，检验：当时，， 故原方程的解为，故答案为：． 【变式】2．（2025·广东深圳·三模）（2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误；②错误的原因是 ． 【答案】（2）①一；②去分母时，等号右边的未乘以 【详解】解：（2）①上述解方程过程中，从第一步开始错误， 故答案为：一； ②错误的原因是去分母时，等号右边的未乘以)， 故答案为：去分母时，等号右边的未乘以． ►题型02 分式方程的解及运用 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 漏乘常数项或整式项：只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项。 最简公分母找错：分母是多项式时，未因式分解直接找公分母；忽略分母间的公因式。 符号处理失误：分母互为相反数时，未统一符号直接乘；去分母时忽略分子的括号，导致符号错误。 错用 “约分” 代替去分母：直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构。 忽略分母不为0 的前提：去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解。 【典例】1．（2025·成都·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【答案】B 【详解】解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义， 所以不是方程的解．故选： B． 【变式】1．（2025·成都·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 【答案】3 【详解】解：将代入，∴，解得：， 经检验，是方程的解，故答案为：3． 【变式】2．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设印刷不清的分母为，由题意得，，解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意；故选：A． ►题型03 已知分式方程的解正负求参数 解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法步骤如下：1） 化分式方程为整式方程；2）解整式方程，用参数表示解；3）列不等式，限制解的符号：若解为正数 → 列不等式：解大于0；若解为负数 → 列不等式：解大于0；解不等式，初步确定参数的取值范围；4）排除增根，补充限制条件：增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：，解得：；由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正，故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且，故选：B． 【典例】2．（24-25九年级上·成都·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：，，，， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数，∴，即． 综上，的取值范围为且．故选B． 【变式】1．（2025·成都·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：，去分母得：，解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且，解得：且．故答案为：且． 【变式】2．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【详解】解：，得， 得，解得：， 根据题意，解，即，解得：， 分母，即，即，解得：，，故选：A． ►题型04 已知分式方程增根或无解、有解求参数 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 增根：1）是去分母后整式方程的解；2）代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义）。 无解：分式方程无解分两类情况：1）整式方程的解都是增根；2）去分母后的整式方程本身无解。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【详解】解：分式方程的分母为和，令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：，即，解得．故选：B． 【典例】2．（2025·四川成都·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【详解】解：原方程去分母得，整理得， 当时，无解，那么原方程无解，符合题意， 当时，若方程无解，那么它有增根，则，解得：， 综上，m的值为1或，故选：． 【变式】1．（24-25九年级下·成都·校考期中）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【详解】解：去分母得：，由分式方程有增根，得到，即， 把代入方程得：，解得：．故答案为：． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：方程两边乘以，得，整理得，， 当，即时，，此时方程无解；当时，解得， ∵分式方程无解，∴，即，解得；综上，的值是或，故选：． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：，解得：； 因为分母，即，依题意，，即，解得：， 综上，且；故选：D． ►题型05 已知分式方程的整数解求参数 1.忽略参数的限定条件：若题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 2.未排除增根直接求参数：只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 3.忽略整式方程无解的情况：当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 【典例】1．（2025·成都·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：去分母得到，，移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数，∴或，且解得或， 即方程的解为正整数的个数是2，故选：B 【变式】1．（2025·成都·校考一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数，∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个．故答案为：3． 【变式】2．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3，∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵，∴，∴满足条件的所有整数的值之和为：2．故答案为：2． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 【典例】1．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，，故选：A． 【变式】1.（2025·四川成都·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B．C． D． 【答案】A 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工个零件，根据题意得，故选：A． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）随着车辆的增多，城市的交通逐渐拥堵，为方便城市交通顺畅，某条道路被规划拓宽，已知该道路拓宽后汽车平均提速，拓宽后汽车行驶300km与拓宽前汽车行驶200km所用的时间相同．设道路拓宽后汽车的平均速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设道路拓宽后汽车的平均速度为，则该道路拓宽前汽车平均速度为，由题意得：，故选：A． ►题型02 分式方程实际应用之行程问题 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2.常见的等量关系 速度变化导致时间差:原时间−现时间=提前时间；现时间−原时间=推迟时间。 顺逆流/顺风逆风航行：顺流时间−逆流时间=时间差 不同主体行驶同一路程：甲的时间−乙的时间=时间差 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（）；逆流速度=静水速度-水流速度（）。 顺风/逆风同理 【典例】1．（2025·成都·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【答案】(1)2次(2)小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【详解】（1）解：设在活动二中篮球掉落x次， 由题意得，，解得， ∵x为整数，∴x的最大值为2，答：在活动二中篮球最多能掉落2次； （2）解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ，方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，，∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【典例】2．（2025·成都·校考三模）“热爱劳动，尊重劳动．”甲、乙两位同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度． 【答案】甲的速度为，则乙的速度为 【详解】解：∵甲、乙的速度比是， ∴设甲的速度为，则乙的速度为， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意；∴，， 答：甲的速度为，则乙的速度为． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设汽车原来的平均速度是， 根据题意得：解得：经检验：是原方程的解， 所以，汽车原来的平均速度是．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】1000公里 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里， ，解得，（舍），经检验，是原方程的解， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． ►题型03 分式方程实际应用之工程问题 分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 1.基本公式：工作总量=工作效率×工作时间；变形公式：。 2.常见等量关系 单人效率变化：原工作时间−现工作时间=提前完成时间。 多人合作：甲工作量+乙工作量=总工作量；合作效率=甲效率+乙效率。 分段工作：先做工作量+后做工作量=总工作量。 【典例】1．（2025·成都·校考三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，由题意，得，解得，， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ，由题意，得，解得，经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为，故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：，故C选项符合题意；D选项不符合题意；故选：C. 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该作家原计划每天写章，根据题意得，故选：A． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． ►题型04 分式方程实际应用之销售问题 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 1.基本公式：总价=单价×数量；变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 2.常见等量关系 单价变化导致数量差：原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数；降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数。 两种商品单价对比：甲单价=k×乙单价（k为倍数）；甲购买数量=乙购买数量±差值。 总价相同的两种方案：方案一总价=方案二总价。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 (2)购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是分式方程的解，， 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：，解得：， 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则，即， ∵，∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 【典例】2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量，∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量，∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为，∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个．故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同．(1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． (2)超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）解：据题意得，解得， ， ，随的增大而增大，又，为整数，且两种手办都有， 时，（元），此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时．(1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时(2)小时 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意，∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得，解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． ►题型05 分式方程实际应用之古代数学文化问题 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文，∴1株椽的价钱为文，∴，故选：D． 【典例】2．（2025·成都·校考一模）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，，故选：B． 【变式】1．（2025·成都·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，故答案为：． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，根据题意得：，故选：． ►题型06 分式方程实际应用之其它问题 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1(2)不公平，见解析 【详解】（1）解：由题意，得，解得， 经检验，是这个分式方程的解，的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果，嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为，该游戏规则不公平． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：乙物体的体积比甲物体的体积大，设甲物体的体积是， ∴乙物体的体积为，∴甲物体的密度为，乙物体的密度为， ∵甲物体的密度是乙物体密度的，∴，故选：A ． 【变式】2．（2025·成都·一模）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（   ） A． B． C． D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 【答案】B 【详解】解：根据图可知：， 即，故选项A错误，选项B正确；解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项C错误； 同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y， 则，解得：，经检验，是原分式方程的解，故选项D错误；故选：B． 【变式】3．（24-25九年级上·成都·期末）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（    ） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 【答案】B 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，x表示的意义是蒸发掉的水量．故选：B． 突破一 解分式方程中新定义类题型 【典例】（2025·成都·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ，化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得：解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为，故选：C． 【变式】1．（2025·成都·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意：方程即为：，即， 去分母得：，解得：，经检验：是原方程的解；故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声、、．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，则的值是 ． 【答案】20 【详解】解：根据调和数的定义可得：，解得：， 经检验：是分式方程的解．故答案为20． 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 【典例】（2025·江苏扬州·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【答案】(1)(2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 【详解】（1）解：由题意得：，解得，经检验，是原方程的解，∴； （2）解：在串联电路上，在并联电路上，理由如下： 证明：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵，∴，∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： 【变式】1.（2025·成都·一模）电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【详解】解：总电阻R满足，且，， ，解得，经检验是该方程的解，故选：A． 【变式】2．（2025·成都 ·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为， 由题意，得：，解得或（舍去）； ∴；∴；故答案为： 突破三 分式方程中探究类题型 【典例】（2025·成都·校考一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：，，，⋯⋯， 照此规律，解答下列问题：(1)________；(2)若，求的值；(3)求的最小值． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：，故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ，，，，⋯⋯， ∵，∴．解得，．经检验是方程的解，且符合题意．∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现，，，， ∴ ∵，∴时，的最小值是． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 【答案】11或12 【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为， 其解为或．对于方程 ，令，则． 代入原方程得：，整理得：， 此方程形式与已知规律一致，故其解为或． ∴ 或，∴或． ∵有一个解为，∴或，解得或；故答案为：11或12． 【变式】2．（2025·成都·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 【答案】第n个方程为，其解为 【详解】解：①的解是； ②的解是；③的解是；④的解是；……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 1．（2025·成都·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得，故选：D． 2.（2025·成都·一模）智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 【答案】C 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．故选：C． 3．（2025·四川成都·校考二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，方程两边同乘，得，解得：， 关于的方程一定有根，，， 将代入，得，，故选：A． 4．（2025·成都·一模）已知是关于x的方程的解，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵是关于x的方程的解，∴，解得：， 当时，，∴是分式方程的解，故选：C． 5．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解是 ． 【答案】 【详解】解： 解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，故答案为：． 6．（2025·成都·二模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 【答案】 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：，解得：，经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元；故答案为：． 7．（2025·成都·二模）山西省2025年初中学业水平体育考试将足球、篮球、排球列入考试选考项目．某市的足球考试办法规定：场地设置为长，宽，场地四周设置明显的标志线．考试需要按规定往返运球，已知考生的运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，求两位考生的平均速度． 【答案】考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为 【详解】设考生乙的平均速度为，则考生甲的平均速度为． 根据题意，得．解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际．所以，． 答：考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为． 8．（2025·成都·模拟预测）下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数 (2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根，∴（个）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根，∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 9．（2025·成都·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量；②每只乙型号节能灯每个月的用电量；③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量，故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得：，整理得：，解得：， 经检验，是原方程的解，∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ，整理得：，解得：，经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 10．（2025·成都·模拟预测）奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品．一批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购价每千克5元．(1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？(2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响，大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和中果的收购价分别为每千克多少元？ 【答案】(1)该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克 (2)第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元 【详解】（1）解：设该批发商大果收购了千克，则中果收购了千克， 则，解得，则， 答：该批发商大果收购了600千克，中果收购了400千克； （2）设收购单价的上涨金额为元， 由题意得，解得（负值不符合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的根，且符合题意； 大果收购价为（元），中果收购价为（元）， 答：第二次收购时大果的收购价为每千克10元，中果的收购价为每千克7元． 11．（2025·成都三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作(2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：，解得： 经检验，时，，则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：，解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 1．（2025·成都·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】解： ， 分式方程的解是非正数，，且， ，整理得：，且， 解得，且，，综上所述，则取值范围是且，故选：B。 2．（2025·成都·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴∴∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离，直线与的位置关系是相切．故选：A． 3．（2025·成都·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出． 【答案】25 【详解】解：设n号木板最多可伸出， ∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，∴n号木板最多伸出自身长度的，由题意，得，解得， 经检验符合题意且是原方程的解，所以第25号木板最多可伸出．故答案为：25． 4．（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件：①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个．则满足以上所有条件的整数是 ． 【答案】 【详解】解：,解不等式得：， 解不等式得：，∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解，∴，解得：， ∵是整数，∴的值可为：、， ，去分母得：，解得：， ∵，∴，解得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数，∴，∴， 综上，的值为，故答案为：． 5．（2025·成都·三模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)1200元(2)购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆，根据题意，得，解得， 经检验，是所列分式方程的根，答：今年型车每辆售价1200元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆， 根据题意，得，解得， 设这批车获利元，则， ，随的减小而增大， ，当时值最大，则购进型车辆， 答：购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多． 6．（2025·四川成都·二模）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【详解】（1）解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴，解得，，检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元），∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：计划购进两种茶叶共30千克，∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，∴，解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为，∴， ∵，∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 1．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．方程两边同时乘以，得：．故选：A． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴，即．故选：C． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得．故选：A． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：，即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时，解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或；故选：D． 5．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【详解】解：解①得：解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含，此时． 分式方程化简为：，解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，即为大于等于6的偶数． ∵，∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为，故选：B． 6．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，，故答案为：． 7．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下：， ， 解得：，经检验，是增根，∴原方程无解． 8．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80(2)190 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：，解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：，解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 9．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）；(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴，解得：，经检验是原方程的解且符合题意；∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 10．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ．解之得． ． ∵，且对称轴为，∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且，∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $