精品解析：江西省吉安市八校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学（2025年12月） 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 图象与x轴交于负半轴 C. 图象与y轴的交点坐标是 D. y的值随x值的增大而增大 5. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知点的伴随点为的伴随点为这样依次得到点，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若一个正数的两个平方根分别是和，则______． 8. 若正比例函数的图象经过点，且的值随值的增大而减小，则______． 9. 写出一个以为解的二元一次方程组_______． 10. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则_____________． 11. 定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 12. 如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 __________． 三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. 化简： （1） （2） 14. 已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点． （1）求一次函数的解析式． （2）若点和在一次函数的图象上，求m，n的值． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，求它至少要走的路程． 16. 已知关于x，y的方程组的解也是二元一次方程2x＋y＝－6的解，求m的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在x轴上找一点P，使得最小． 四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 19. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 20. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的． 应用题：小东计划在某商场购买一台电视和一台空调，已知在“五一”节前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元．问：“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元， 根据题意，得 （1）被污染的条件是________； （2）请根据以上信息完成没写完的解答． 五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． （1）分别求x、y、z的值； （2）若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； （3）求其最大边上的高． 22. 在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：对于实数，我们称点为两点的“k”系和点．例如，已知点，，则点的“”系和点的坐标为．已知点，． （1）直接写出点的“2”系和点的坐标：_______； （2）若点A为点的“”系和点，求点C的坐标； （3）若点D为点的“k”系和点，三角形的面积为6，求符合条件的k的值． 六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点 A、B分别在x轴与y轴上．已知A点坐标为，B点坐标为，且a，b满足 ，为 y 轴上一点，其坐标为，点P 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． （1）求点B与点C的坐标． （2）求的面积S关于t的关系式． （3）点P 在运动过程中，是否存在一点，使为等腰三角形？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（2025年12月） 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟悉相关性质是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两条较短边的平方和是否等于最长边的平方来判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A．，故不能组成直角三角形． B．，故能组成直角三角形． C．，故不能组成直角三角形． D．，故不能组成直角三角形． 故选：B． 3. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果. 【详解】、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式没有意义，不符合题意； 、原式，符合题意. 故选. 【点睛】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 4. 下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 图象与x轴交于负半轴 C. 图象与y轴的交点坐标是 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象即可根据图象直接判断各选项． 【详解】解：A：对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴其图象与y轴交于负半轴， 综上，该一次函数图象过图象经过第一、三、四象限，故A错误； B：令，则，解得， ∴一次函数图象与x轴交于正半轴，故B错误； C：令，则，则一次函数图象与y轴交于，故C错误； D：∵， ∴y的值随x值的增大而增大，故D正确； 故选：D． 5. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及判断坐标点坐在象限，先求解方程组，再判断点在平面直角坐标系中的位置即可． 【详解】解： 由②代入①得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴原方程组的解为：， ∵，， ∴点在第一象限， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知点的伴随点为的伴随点为这样依次得到点，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键．根据伴随点的定义求出点的坐标，发现规律即可得出答案． 【详解】解：点， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， 由此可知，每4个点为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为， ∴点的坐标为． 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若一个正数的两个平方根分别是和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，正数的两个平方根互为相反数，故有， 即， 解得． 故答案为． 8. 若正比例函数的图象经过点，且的值随值的增大而减小，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正比例函数的性质可得，再将点代入正比例函数的解析式可得，利用平方根解方程即可得． 【详解】解：的值随值的增大而减小， ， 将点代入正比例函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质等知识点，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 9. 写出一个以为解的二元一次方程组_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义解决此题． 【详解】解：以为解的二元一次方程组是， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则_____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列式计算即可． 【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， 即：或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，是解题的关键． 11. 定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据新运算的定义可得， 由于 ，故 ，再进行计算. 【详解】解： ． 故答案为：. 12. 如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 __________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解，，结合以点P，O，B为顶点的三角形与全等，分三种情况讨论即可． 【详解】解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合），分情况如下： ①如图所示： ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴当时，当时，则， 解得：， ∴，， ； ②如图， 此时， ∴； ③如图，当时， 此时， ∴， 故点的坐标为或或． 故答案为：或或 三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点． （1）求一次函数的解析式． （2）若点和在一次函数的图象上，求m，n的值． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）两直线平行时，其函数解析式的一次项系数相等，设所求一次函数解析式为，将点代入求即可； （2）将点和分别代入（1）中的函数解析式，可求，的值． 本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，一次函数平移的性质，点的坐标与一次函数解析式的关系的问题． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与直线平行， 设所求一次函数解析式为：， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：将点和代入中， 得：；， 故，． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，求它至少要走的路程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径问题，解题的关键是将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ，则， 连接，在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 16. 已知关于x，y的方程组的解也是二元一次方程2x＋y＝－6的解，求m的值． 【答案】m＝23 【解析】 【分析】由题意可知，解出x和y后再代入即可求解. 【详解】依题意得方程组，用①加上②可得，5x=-35，解得x=-7， 则y=-6-2×(-7)=8，即， 将该解代入方程7x+9y=m, 解得：m＝23. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解同解的含义并重新组合方程组是解题关键. 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在x轴上找一点P，使得最小． 【答案】（1） 即为所求，点的坐标； （2）7 （3） 点P即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形面积看成矩形面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积； （1）把代入，再建立方程组求解即可； （2）先求解点坐标为，结合的面积为：，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：把代入得， 解得 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 点坐标为， 的面积为： 19. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】 （1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 20. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的． 应用题：小东计划在某商场购买一台电视和一台空调，已知在“五一”节前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元．问：“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元， 根据题意，得 （1）被污染的条件是________； （2）请根据以上信息完成没写完的解答． 【答案】（1）同样的空调每台优惠400元 （2） ， 解得：， 答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据所列方程组中的第二个方程为，可得出同样的空调每台优惠400元； （2）根据“促销前购买一台电视、一台空调，共花费5500元，促销期间购买同样的电视一台、空调两台，共花费7200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵所列方程组的第二个方程为， ∴被污染的条件是同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； 【小问2详解】 略 五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． （1）分别求x、y、z的值； （2）若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； （3）求其最大边上的高． 【答案】（1），， （2） 直角三角形，理由：∵， ∴， ∴的形状为直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）由立方根的定义可求出x的值，由平方和算术平方根的非负性可求出y和z的值； （2）根据勾股定理逆定理求解即可； （3）设最大边上的高为，根据三角形面积公式可得出，代入数据求解即可． 【小问1详解】 解：∵实数x的立方根是2， ∴． ∵，则， ∴， 解得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设最大边上的高为， ∵， ∴，即最大边上的高为． 【点睛】本题考查立方根的定义，非负数的性质，勾股定理逆定理，代数式求值，三角形的面积计算．熟练掌握上述知识是解题关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：对于实数，我们称点为两点的“k”系和点．例如，已知点，，则点的“”系和点的坐标为．已知点，． （1）直接写出点的“2”系和点的坐标：_______； （2）若点A为点的“”系和点，求点C的坐标； （3）若点D为点的“k”系和点，三角形的面积为6，求符合条件的k的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两点的“”系和点的定义，代入公式求解即可； （2）利用两点的“”系和点的定义，代入公式求解即可； （3）利用三角形的面积公式求得点到的距离为2，推得点的纵坐标，代入公式求解，即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：点，； 根据“”系和点的定义得：，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， 则，； ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵三角形的面积为6， ∴点到的距离为2， ∵点为，的“”系和点， 或， 或． 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，三角形的面积公式，理解掌握两点的“”系和点的定义是解题的关键． 六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点 A、B分别在x轴与y轴上．已知A点坐标为，B点坐标为，且a，b满足 ，为 y 轴上一点，其坐标为，点P 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． （1）求点B与点C的坐标． （2）求的面积S关于t的关系式． （3）点P 在运动过程中，是否存在一点，使为等腰三角形？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）, （2） （3）或或 【解析】 【分析】此题属于一次函数综合题，求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想解本题的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的非负性，可得，求得的坐标，再根据长方形的性质可得的坐标，即可解答； （2）当在段时，三角形底与高为固定值，求出此时面积；当在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出与的关系式； （3）分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出坐标即可． 【小问1详解】 解：根据，可得， 解得， ， 四边形是长方形， , ； 【小问2详解】 解：当点在线段上时，此时， 可得，边上的高为6， ； 当点在线段上时，此时 ，边上的高为， ； 综上，； 【小问3详解】 解：存在， 若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当， 在中，，， 根据勾股定理得：， ，即； ②当时，此时在的垂直平分线上， ； ③当时，过点作，交于点， 在中，， 根据勾股定理得：， ，即， 综上，满足题意的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $