27.2.3 相似三角形应用举例 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

相似三角形的实际应用 一、单选题 1．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 3．如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 4．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 6．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 7．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　） A． B． C． D． 8．小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 9．小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A． B． C． D． 10．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，最大的“”字高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 12．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 13．如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 15．如图 ，在等边中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点 ．点处读数分别为18，14，1，3，则直尺的宽为 ． 16．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 三、解答题 17．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 18．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 19．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 20．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C D D A B C 1．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 3．D 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 【详解】解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 米，米，米， 米， 该古城墙的高度是15米． 故选C． 6．D 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 即小明射击到的点偏离目标点B的长度为0.15米， 故选：D． 7．D 【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点， ∴AB=DC=2BE，AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∴==， ∴DF=2BF，=()2=， ∴=， ∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF， ∴==， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键． 8．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据证明，利用相似三角形的性质求解即可．熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图所示：、相交于点， 是烛焰的高，是实像的高， ， ， 蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ， ． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据条件可得，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：． 11．10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据题意可知高脚杯前后的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意可知， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边的比相等的性质是解题的关键． 先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，先利用等边三角形的三线合一性质可得，从而在中利用勾股定理求出的长，然后根据题意可得：，，从而证明字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 是等边三角形， ， 等边的边长为， 如图，过点作，垂足为，延长交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 由题意得：，， ，， ， ， ， ， ， 直尺的宽为， 故答案为：． 16．// 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 17． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 18．(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 19． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．设，，通过证明和，得到和，再代入数据列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①和②解得（负值已舍去）， ∴， 答：大厦主体建筑的高度是． 20．路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形的实际应用 一、单选题 1．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 3．如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 4．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 6．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 7．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　） A． B． C． D． 8．小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 9．小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A． B． C． D． 10．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，最大的“”字高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 12．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 13．如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 15．如图 ，在等边中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点 ．点处读数分别为18，14，1，3，则直尺的宽为 ． 16．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 三、解答题 17．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 18．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 19．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 20．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $