27.2.3 解题方法专题 作相似三角形的常用辅助线-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

:矩形DEFG的周长为4X号-智 e紧 7.解：(1)设PQ=y,则PN=2y. :四边形PQMN是矩形，PN∥BC, ·△APN∽△ABC. ,AD⊥BC,.AD⊥PN, 发-铝即登=10.2解得)只， .P-PN- 2设AE=x由D蜘院-5即登- PN=St,PQ=DE=10- S=号210-)=-9(r-5r+30. ∴.当x=5时，矩形PQMN的面积最大，最大值为30. 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此 时PQ=5,PVN=6. 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.6 3.解：(1)如图①，过点E作EH⊥ CD于点H,交AB于点J,则四 边形EFBJ、四边形EFDH都 是矩形， ..FE-BJ=DH=1.5 m,FB- EJ=2 m,BD=JH=23 m, E .EH=EJ+JH=2+23=25 (m). 图① AB=25m,∴.AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m). :AJ∥CH,∴.△EAJ∽△ECH, 品-品动-号CH=125m 2 .CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m), .大楼的高度CD为14m. (2)如图②，过点E作ET⊥CD 于点T,交AB于点R. AR∥GT, ∴.△AER∽△GET, 器器。 1 ER ∴11.5-1.525 D 图② .ER=2.5m. 2.5-2=0.5(m) .“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5m 4.C5.5.46.360 7.解：由题意，得∠ABE=∠ACD=90°，∠BAE=∠BAE, ∴△AnEn△ACD,0器，即B器 AB BE .'BC=12 m,BE=10 m,CD=16 m, ÷D-8,解得AB=20m AB 故河宽AB是20m. 解题方法专题作相似三角形的常用辅助线 1.解：如图，过点E作EH∥AC交BD于点H, ÷△BEH△BCD.:器误 .BE=3EC, 器瓷 D是AC的中点，AD=CD, :EH、3 ·AD4 :EH/AD,△AFD△EFH崇-鋁=号 2.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AB∥CD,.∠OAE=∠OCF. '∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中，OA=OC, (∠AOE=∠COF, .△AOE≌△COF(ASA),.OE=OF. (2)如图，过点O作ON∥BC交AB于点 N,则△AONc∽△ACB, ..OA_ON_AN ·AcCBTAB1 :.ON-BC-AD-2,AN-BN-7AB-3. .'ON∥BC,.△ONE∽△MBE, 器能即号=3E解得E=1 BE 3.解：如图，延长BA,CD交于点E. .'CM平分∠BCD,CM⊥AB, .MB-ME. :AM=号AB, .'BM=2AM,EM=2AM,..AM=AE, AE=子BE .'AD∥BC,'.△EAD∽△EBC, S△ED=1 S△Bc 1。·.Se运cD—16S⅓人5 S-9,SEw=6Sam=号 1 1 1 S西边形AcD=2SAE一SAEAD=1. 4.解：(1)证明：：∠ACB=90°，∠CAD+∠ADC=90. .CE⊥AD,.∠BCE+∠ADC=90°， .∠CAD=∠BCE. (2)如图，过点E作EF⊥BC于点F, 则∠CFE=90. AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°，.∠BEF =90°-∠B=45°=∠B,.EF=BF. 设BF=x,则EF=x,CF=BC-BF=4-x .∠ACD=90°，∴.∠ACD=∠CFE=90° 由(1)知∠CAD=∠BCE,∴.△ACD∽△CFE, 4 :祭罡即产豆解得1经检验=1是原方 3 程的解且符合题意，∴.BF=EF=1,∴BE=2. 5.证明：(1)BE⊥AC,BF⊥BD, ∴.∠OEB=∠OBF=90° ∠EOB=∠BOF,∴△OBE∽△OFB. (2)如图，作CG⊥BF于点G,则 ∠CGF=∠OBF=90°， D .OB∥CG, .△FCGv△FOB 品部那 .四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O, .0B-OD-BD.(C-0A-TAC.BD-AC, .OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB. ,∠OBF=∠BEF=90°， AH下册参考答案 151 ∴.∠CBF+∠OBC=90°，∠CBE+∠OCB=90°， ∴.∠CBF=∠CBE,即BC平分∠EBF CG⊥BF,CE⊥BE, C=c器-8= .OC·CF=EC·OF 6.解：如图，过点O作OG∥BC,交 AB于点G, 则OG是△ABC的中位线， 0G=号C=名，GB=合AB 2 在△FOG中，由于OG/∥EB, .△FEBn△FOG, 器腸 FB :.BE-FG ·G0= bc c+号 2a+2c 7.解：如图，取BC的中点M,连接AM. .'AB⊥AC,.AM=CM,.∠MAC=∠C 'BD=DC,.∠DBC=∠C, ∴.∠MAC=∠DBC 又∠C=∠C, ∴.△MACp△DBC, 瓷瓷 DC-1MC-BC.AC-MBC DC 易证RI△AECRi△BAC÷瓷-是 EC=1,AC=EC·BC=BC.② 由①@，得AC=号AC,解得AC=疗或0（不合题意，舍 去)，.AC=2 27.3位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.D2.号3.4/E元 4.解：(1)如图（画出一个即可）. B (2)S△Bc=6X4- 号×2×4-×6×2-2×4×2=10. 2 第2课时位似图形的坐标变化规律 1.C2.D3.A变式题(1,0)或(-1,0)4.√/13 5.解：(1)△ABC如图所示 64321 456 (2)A1(-4,-6),C1(-6,-2). 152 九年级数学RJ版AH 章末对点导练 1.A2,A3号 4.解：如图，过点D作DH∥BF交AC于 点H, AD是△ABC的中线，∴.BD=CD 又DH∥BF,.FH=HC. ,AE:AD=1:4,.AE:ED=1:3 ,DH∥BF, 開器器古 .AF 1 5.A6.A7.D8.3或3√2 9.证明：(1)AB为⊙O的直径 .∠ADB=90°，即AD⊥BC. 又，AB=AC,.BD=CD,∴.D是BC的中点」 (2).'∠DBE=∠EAD,且∠BCE=∠ACD, ∴.△BECc∽△ADC. 10,B1.D12813.号 14.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形 .AB∥DC,AB=DC,∴.△FECc∽△FAB. :E为边DC的中点DE=-CE=号DC=号AB, 器器-用FB=2FCC=FC (2)四边形ABCD是平行四边形，E为边DC的中点， .AB∥DC,AB=2EC,.△CEG∽△ABG, -（）=4 :△CEG的面积为2，∴.S△ABG=4SAcm=4X2=8. .'△CEG∽△ABG, 需-器-78am=5m=2×8=4小 ∴S△Bc=SAABG十SA=8+4=12, ∴.SOABCD=2S△ABc=2X12=24. 15.D16.2.717.43.62 18.解：如图，过点C作CM∥AB,分别交EF,AD于点N,M, 作CP⊥AD,分别交EF,AD于点Q,P. .BC∥EN∥AM, ∴.四边形AENM与四边形ABCM都 是平行四边形， ∴.EN=AM=BC=20cm, .MD=AD-AM=50-20=30(cm). 由题意可知，CP=40cm,PQ=8cm, ∴.CQ=CP-PQ=32cm. .'EF∥AD,∴.△CNFc∽△CMD, “汇品即-器解得NF=24em, .EF=EN+NF=20+24=44(cm). 故横梁EF应长44cm. 19.(-5,2) 20.解：(1)如图所示，△A1BC即为所求 y个 (2)由图可知，A1(-2,2),B1(2,6),C(6,0)解题方法专题 作相似三角形的常用辅助线 题型① 作平行线 题型② 作延长线 1.如下图，在△ABC中，点E在边BC上，且 3.如右图，在四边形ABCD中， A BE=3EC,D是边AC的中点，AE,BD交于 AD∥BC,CM是∠BCD的平 M 点R求器的值 分线，且CM⊥AB,M为垂 B 足，AM=号AB.若四边形ABCD的面积为 ,试求四边形AMCD的面积. 2.如右图，□ABCD的对角 线AC,BD相交于点O,EF 经过点O,分别交AB,CD 于点E,F,FE的延长线交CB的延长线于 点M. (1)求证：OE=OF; (2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长. 题型③ 作垂线 4.(2024抚州乐安期中)如右 图，在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=4,D为BC A 边上一点（与点B,C不重合），连接AD,过 点C作CE⊥AD交AB于点E,设CD=a. (1)求证：∠CAD=∠BCE; 下册第二十七章 41y△ (2)当a=专时，求BE的长. 题型④作中线、中位线 6.如右图，□ABCD的对角 线交于点O,OE交BC于 点E,交AB的延长线于 点F.若AB=a,BC=b,BF=c,求BE的长. 5.如右图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC与 BD交于点O,过点B 7.如右图，在△ABC中，AB⊥ 作BE⊥AC于点E,作 AC,AE⊥BC于点E,点D在 BF⊥BD交AC的延长线于点F.求证： AC边上.若BD=DC=EC=B (1)△OBE∽△OFB; 1,求AC的长. (2)OC·CF=EC·OF. 42 九年级数学RJ版