4.6 利用相似三角形测高 同步提升训练 2025-2026学年北师大版(2012)数学九年级上册

4.6 利用相似三角形测高 同步提升训练 一．选择题 1．如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB＝2米，BC＝8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（　　） A．9.5米 B．9米 C．8米 D．7.5米 2．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP＝2：5，BC＝20cm，则PQ的长是（　　） A．45cm B．50cm C．60cm D．80cm 3．如图，为了测量池塘的宽DE，在岸边找到点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为（　　） A．25m B．30m C．36m D．40m 4．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4米，CA＝2米，则树的高度为（　　） A．6米 B．4.5米 C．4米 D．3米 5．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D． ①△OB1C∽△OA1D； ②OA•OC＝OB•OD； ③OC•G＝OD•F1； ④F＝F1． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为（　　） A．1.6米 B．1.5米 C．2.4米 D．1.2米 7．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的距离约为（　　） A．5.5m B．6.2m C．11m D．2.2m 8．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边从下到上依次裁剪宽度均为3cm的矩形纸条（如图所示），则裁得的纸条中恰为正方形的纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 9．如图，CD是平面镜，光线从A点出发经过CD上点E反射后照到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝4，CD＝11，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 10．四川共青团雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C＝30°，AB＝10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（　　） A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3 二．填空题 11．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为　 　 ． 12．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD是 　 　 米． 13．如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC＝100米，BC边上的高AH＝80米，某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE＝40米），则这个矩形的面积是　 　 平方米． 14．如图，一同学在广场边的一水坑里看到一棵树，他目测出自己与树的距离约为20m，树的顶端在水中的倒影距自己约5m远，该同学的身高为1.7m，则树高约为 　 　 m． 15．如图，有一所正方形的学校，北门（点A）和西门（点B）各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点C）有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点D），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 　 　 平方米． 16．如图．为估算某河的宽度．在河对岸边选定一个目标点A．再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC．然后再选定点D．使DC⊥BC，点E在BC上．并且点A、E、D在同一条直线上．若测得BE＝30m，EC＝15m，CD＝30m，则河的宽度AB为　 　 m． 17．我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？ 译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处竖立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈＝10尺，1步＝6尺），并且AH，CB和DE在同一平面内．从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰AH的高度是　 　 ． 三．解答题 18．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度． 19．如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形） （1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数； （2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数． 20．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根3米高的标杆（CD）竖直放在某一位置，有一名同学站在F处与标杆底端（D）、旗杆底端（B）成一条直线，此时他看到标杆顶端C与旗杆顶端A重合，另外一名同学测得站立的同学（EF）离标杆（CD）的距离FD为3米，离旗杆（AB）的距离FB为30米．如果站立的同学（EF）的眼睛距地面1.6米，EF⊥BF，CD⊥BF，AB⊥BF，求旗杆AB的高度． 21．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方． ①计算小亮在路灯AD下的影长； ②计算AD的高． 22．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度． 23．如图1是一种客厅放置的创意书架，共分三层，忽略其厚度，其基本结构可简化为图2，量得△ABC为等边三角形，AB＝100cm，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝BF． （1）求书架的高度； （2）现有一种圆柱形茶叶盒的底面直径为10cm，高为15cm，若要将此茶叶盒按图中所示方式自然摆放在下层，一排可摆放多少个这样的茶叶盒？（结果精确到整数．参考数据：1.7） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B D B A C D D 二．填空题 11．0.4． 12．10． 13．2000． 14．5.1． 15．90000 16．60． 17．1255步． 三．解答题 18．解：延长OD， ∵DO⊥BF， ∴∠DOE＝90°， ∵OD＝1m，OE＝1m， ∴∠DEB＝45°， ∵AB⊥BF， ∴∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， 设AB＝EB＝xm， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴AB∥CO， ∴△ABF∽△COF， ∴， ∴， 解得：x＝4． 经检验：x＝4是原方程的解． 答：围墙AB的高度是4m． 19．解：（1）如图2所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为2； （2）如图3所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为． 20．解：如图，过点E作 EH⊥AB于点H，交CD于点G． 由题意可得，四边形EFDG、GDBH都是矩形，AB∥CD∥EF， ∴∠CGE＝∠AHE． 又∵∠CEG＝∠AEH， ∴△ECG∽△EAH． ∴． 由题意可得： EG＝FD＝3 米，EH＝BF＝30米，CG＝CD﹣GD＝CD﹣EF＝3﹣1.6＝1.4（米）． ∴， ∴AH＝14（米）， ∴AB＝AH+HB＝14+1.6＝15.6 （米）． 答：旗杆的高度为15.6米． 21．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB， ∴∠EPA＝∠CBA＝90° ∵∠EAP＝∠CAB， ∴△EAP∽△CAB ∴ ∴ ∴AB＝10（米） ∴BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5（米）； 即小亮在路灯AD下的影长为1.5米 ②∵FQ⊥AB，DA⊥AB， ∴∠FQB＝∠DAB＝90° ∵∠FBQ＝∠DBA， ∴△BFQ∽△BDA ∴ ∴ ∴DA＝12（米）． 所以AD的高为12米． 22．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米． 由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°， ∴△CND∽△ANB， ∴． 同理，△EMF∽△AMB， ∴． ∵EF＝CD， ∴，即． 解得x＝5， ∵， ∴． 解得AB＝8． 答：大树AB的高度为8米． 23．解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝100cm， 在Rt△ABH中，AB＝100cm， ∴AH＝ABsin60°＝1005085（厘米）， 答：书架的高度约为85厘米； （2）如图，设靠右侧摆放的茶叶盒的右侧与书架交于点M，P， 在Rt△MPC中，MP＝15cm，∠C＝60°， ∴CP5cm， ∴BC﹣2PC＝100﹣1083cm， ∴83÷10＝8.3， ∴一排可最多能摆放8个这样的茶叶盒． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/29 22:02:20；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $