4.6 利用相似三角形测高 同步分层练习2025-2026学年北师大版九年级上册

4.6 利用相似三角形测高 同步分层练习 一．选择题 1．邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂．如图，嘉嘉用两根木棍AC，BD制成一个测量工具，测量白瓷瓷瓶瓶底内径AB的长．若两木棍交于点E，且△ABE∽△CDE，，CD＝2cm，则AB的长为（　　） A．4cm B．8cm C．6cm D．9cm 2．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，在AC、BC上分别找点M，N，使得AM＝2CM，BN＝2CN，测量出MN的长为12m，由此可知A、B间的距离为（　　） A．18m B．24m C．36m D．48m 3．如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度GA为（　　） A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m 4．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的倒立、放大的实像．已知蜡烛的高度AB＝8cm，物距u＝OA＝14cm，焦距f＝OF1＝OF2＝10cm，光线BD通过凸透镜的光心O，折射光线B﹣E﹣D通过凸透镜的右焦点F2，则像CD的高度为（　　） A．20cm B．22.5cm C．25cm D．30cm 5．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝2m，BC＝8m，则建筑物CD的高是（　　） A．6m B．6.5m C．7m D．7.5m 6．如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏底部边缘C，D在水平放置的尺子上的读数分别为3cm和7cm，并且C，D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点O刚好和刻度5cm水平对齐，上面部分的沙面（A，B所在直线）与刻度8cm水平对齐，则此时沙面的宽AB＝（　　） A．3cm B．2.5cm C．2.4cm D．2cm 7．象棋是中华民族的文化瑰宝．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步有①～④处位置可选．要使“马”“炮”“卒”所在位置的点连成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的点连成的三角形相似，则“马”下一步应落在（　　） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 8．如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时液面AB的宽度是（　　） A．2.8cm B．3cm C．3.2cm D．3.6cm 9．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　） A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm 10．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（　　） A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m 12．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为（　　）cm． A．20 B．22 C．24 D．26 二．填空题 13．如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.4m，标杆FC的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE＝　 　 ． 14．图①是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图②是其示意图，其中物距BF＝2m，像距CE＝1m．若像的高度CD是0.9m，则物体的高度AB为 　 　 ． 15．如图，甲、乙两建筑物在太阳光线下的影子的端点重合在地面上的点C处，已知AD⊥CD，BE⊥CD点D、B、C在一条直线上，若BC＝20m，CD＝30m，乙建筑物的高度BE＝10m，则甲建筑物的高度AD为　 　 m． 16．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A′B′平行，已知玻璃棒AB＝12厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A′B′的长是　 　 厘米． 17．兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为1.5米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长BC为2米，AB⊥BC，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是 　 　 米． 18．高为4.8米的两路灯OP、O′P′之间的距离OO′为10米，身高1.6米的亮亮AB站在之间某处，如图所示，点O、D、A、C、O′均在一条直线上，此时他身前身后两影子之和DC为 　 　 米． 19．如图，某学生利用一根长0.5米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度DB为 　 　 米． 三．解答题 20．随着对相似三角形、锐角三角比等知识的掌握，同学们跃跃欲试，希望学以致用．我校数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，策划了一次特别的实践活动一测量那根每日在朝阳中升起、我们最为熟悉的校园旗杆的高度．实践过程见表． 主题 测量旗杆的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把一根长1.4米标杆垂直立于地面点D处，旗杆尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线BD于点Q，测得QD＝1.8米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，旗杆尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线BD于点P，测得PF＝2.4米，FD＝3.2米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求旗杆的大致高度AB．（结果保留整数） 21．【项目式学习】制作“E”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为5米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“E”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“E”与②号“E”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表．以图2所示，①号“E”是标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45mm，求小明在制作视力为4.2的②号“E”字时，②号“E”的高度CD应为多少mm？（A、C、O在一条直线上，B、D、O在一条直线上） 22．根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得OF＝5m； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m． 解决问题 （1）求OB的长． （2）请利用上述数据，求出围墙AB的高度． 23．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 24．小明想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在点C处（镜子的大小忽略不计），人站在点F时，正好在镜子中看到树顶点A，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间BC的距离，于是小明从点F向后退到点H处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点D处重合．已知小明身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量CD＝12米，CF＝1.8米，DH＝3.8米，请你用所学的知识，帮小明求出松树AB的高． 25．小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝6m，BC＝16m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度． 26．文昌阁矗立在榆林古城步行街最南端，巍峨高耸，画栋雕梁，流光溢彩，实为古城南大门以内前瞻景观，为历史文化名城增添了亮丽的色彩．数学小组的同学想测量文昌阁的高度，如图，小组同学在点D处竖立了高为1m的标杆CD，发现地面上的点G、标杆顶端C和文昌阁顶端A在一条直线上；然后，小组同学甲站在F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和文昌阁底端B在一条直线上．同学甲的眼睛到地面的距离EF＝1.2m，DG＝1m，DF＝3.6m．已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点B、D、G、F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内，请你求出文昌阁的高度AB． 27．永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有1100多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼（如图①）的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点A，垂直地面竖立标杆AB，后退2米到E处，此时M，B，E在同一条直线上．另选一点C，垂直地面竖立标杆CD，后退3米到F处，此时M，D，F三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离AC是19米，两个标杆的高度均为1.6米，且N，A，E，C，F在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼MN的高度． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A A D C B B C B A 题号 12 答案 A 二．填空题 13．5.4m． 14．1.8m． 15．15． 16．4． 17．8． 18．5． 19．2． 三．解答题 20．解：∵CD⊥BP，EF⊥BP，AB⊥BP， ∴∠ABP＝∠CDP＝∠EFP＝90°， ∵∠P＝∠P，∠AQB＝∠CQD， ∴△PEF∽PAB，△QCD∽△QAB， ∴，， ∴，， ∴， 解得：DB＝9.6， ∴， 解得：AB≈9， ∴旗杆的大致高度AB约为9米． 21．解：问题1：由题可得AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， ∴①号“E”字与②号“E字”测试的视力相同， 问题2：由（1）可得， ， ∵AB＝45，OB＝5，OD＝3， ∴， ∴CD＝27， 答：②号“E”的高度CD应为27mm． 22．解：（1）连接CD． ∵AB⊥BF，DO⊥BF，∠BEA＝∠OED， ∴△ABE∽△DOE． ∴由相似三角形的性质可得：． 代入数据可得： ． ∴． 同理，△ABF∽△COF． ∴． 代入数据可得：． ∴． 解得，OB＝2（m）． （2）由（1）知：OB＝2m，， ∴m． ∴围墙AB的高度为． 23．解：（1）FC∥DE， 则△BFC∽△BED， 则， 即， ∴BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 24．解：由题意可知∠ECF＝∠ACB，∠ABC＝∠EFC＝90°， ∴△EFC∽△ABC． ∴． 又∵∠ABC＝∠GHD＝90°，∠GDH＝∠ADB， ∴△GHD∽△ABD， ∴． ∵GH＝EF， ∴． ∵CF＝1.8米，DH＝3.8米，CD＝12米， 设BC的长为x米，则BD的长为（x+12）米， ∴， 解得x＝10.8． ∵且EF的长为1.6米， ∴， 解得AB＝9.6． 答：树AB的高为9.6米． 25．解：作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． 则四边形BFDE是矩形， ∴BE＝DF， ∵DC＝6m，∠DCF＝30°， ∴DF＝3m， ∴BE＝DF＝3m， CF3m， ∴ED＝BF＝BC+CF＝（16+3）m． ∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， ∴光线与水平线的夹角相等， 又∵标竿与影长构成的角为直角，AE与ED构成的角为直角， ∴AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ∴， 解得AE＝（8）m， ∴AB＝AE+BE＝（11）m． 答：AB的长为（11）m． 26．解：∵CD⊥BF，EF⊥BF， ∴CD∥EF， ∴△BDC∽△BFE， ∴， ∴， ∴BD＝18， ∵AB⊥BF， ∴CD∥AB， ∴△HDC∽△GBA， ∴， ∴， ∴AB＝19， 答：文昌阁的高度AB为19米． 27．解：由题意得：DC⊥NF，BA⊥NF，MN⊥NF， ∴∠MNF＝∠BAE＝∠DCF＝90°， ∵∠F＝∠F， ∴△DCF∽△MNF， ∴， ∴， ∵∠BEA＝∠BEA， ∴△BAE∽△MNE， ∴， ∴， ∴， 解得：AN＝38， ∴， 解得：MN＝32， ∴永宁门吊桥门楼MN的高度为32米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/19 23:52:46；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $