专题01 数与式中的计算与化简求值问题（专项训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 专题01 数与式中的计算与化简求值问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；常考： 2、一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3、， 4、实数的混合运算通常还会涉及到特殊角的三角函数值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 1．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 2．（2024·广东·模拟预测）计算：． 3．（2024·广东·模拟预测）计算： ． 4．（2024·广东·二模）计算： 5．（2024·广东·模拟预测）计算：． 考点二：整式的混合运算 解｜题｜技｜巧 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 6．（2025·山西·一模）化简：． 7．（2022·江苏镇江·模拟预测）计算． (1)； (2)； (3)． 8．（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 9．（2025·陕西咸阳·二模）计算： 10．（2024·贵州贵阳·一模）已知多项式 ， (1)求； (2)求． 考点三：分式的混合运算 易｜混｜易｜错 1、同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用符号表示为： 2、异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用符号表示为： ★注意：分式的运算最易错最难的地方的就是分式的通分。 3、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用符号表示为： 4、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 用符号表示为： 11．（2024·广东揭阳·模拟预测）计算与化简：． 12．（2024·广东·模拟预测）（1）化简：； （2）计算：． 13．（2024·广东·模拟预测）计算．． 14．（2024·广东汕头·一模）化简：． 15．（2024九年级上·广东·专题练习）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式    第一步     第二步     第三步      第四步     第五步 【任务一】填空： ①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______； ②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____； ③第_____步开始出现错误． 【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____． 考点四：因式分解 易｜混｜易｜错 1、因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解。 2、因式分解的基本方法： ▋提取公因式法： ▋运用公式法： 常用公式：平方差公式：.完全平方公式： 3、因式分解的一般步骤： 一，提取公因式；二运用公式；三检查分解因式是否彻底。 ★注意：因式分解问题一定要检查分解是否彻底，尤其是解答题中涉及到的因式分解问题。 16．（2025·广东茂名·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2024·广东揭阳·一模）分解因式： ． 19．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 20．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③． (1)把这三个多项式因式分解； (2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系． A．；B．； 考点五：判断计算过程中的错误问题 21．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务． （1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式． 任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”） 任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案． 任务三：计算：． 22．（2024·广东江门·三模）下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（    ） A．分式的基本性质    B．等式的性质    C．乘法分配律 ②第 步开始出现错误，错误的原因是： 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果： 23．（2025·广东深圳·模拟预测）老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下． 甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误． (1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因； (2)请重新写出此题完整的正确解答过程． 24．（2025·广东中山·一模）计算： (1) (2)下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式=第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【任务一】填空： 第 步开始出现错误． 【任务二】请直接写出正确的化简结果： ． 25．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程． 考点六：二次根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 要先对二次根式进行化简，注意化简的格式一定要变成最简形式，然后代入值计算时要检查结果； 26．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 27．（2024·广东江门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 28．（2024·广东云浮·一模）先化简，再求值：，其中． 29．（2023·广东深圳·模拟预测）先化简，后求值：，其中，是的小数部分（即，） 30．（2021·广东珠海·一模）先化简，再求值：，其中． 考点七：数与式运算的规律问题 易｜混｜易｜错 数与式的规律计算，是考查我们对常见的规律题型的认识，如常用的做题方法：错位相减和裂项相消法等； 31．（2023·广东东莞·一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据图中规律，写出的展开式； (2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数； (3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值 32．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 33．（2022·广东佛山·一模）观察下列各式： ，，，，，，，…，用你发现的规律判断的末位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 34．（2025·陕西西安·一模）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第6个图形需要 根小木棒． 35．（2022·广东梅州·二模）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则 ． 考点八：数与式的新定义运算 解｜题｜技｜巧 新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度. 36．（2023·广东深圳·模拟预测）定义：任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若，，并比较b，c的大小，b c． 37．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 38．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 39．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 40．（2025·安徽马鞍山·三模）数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． (1)老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． (2)兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 考点九：整式的化简求值 易｜混｜易｜错 1、重视两个乘法公式和整式的乘法法则： 平方差公式：(a+b)(a-b)=-；完全平方公式：; 2、整式的化简后求值方法通常有两种： ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 41．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 42．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）已知：，． (1)求的值（化简后结果用含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求的值． 43．（2023·广东广州·三模）已知． (1)化简； (2)若是一元二次方程的解，求的值． 44．（2022·广东东莞·一模）先化简，再求值：，其中． 45．（2021·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中，． 考点十：分式的化简求值 易｜混｜易｜错 1、分式的化简通常涉及到因式分解和通分，其中通分是最难的一步，也是错误最多的一步，通分时必然会用到下面的公式：一定要牢记 平方差公式：-=(a+b)(a-b). 完全平方公式：=； 2、分式的化简后求值方法通常有两种：（这一步与整式的化简求值类似） ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 46．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 47．（2021·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 48．（2024·广东广州·二模）先化简，再求值：，在（x为整数）中，选取一个满足条件的数，使得分式既有意义，也不等于0． 49．（2023·广东茂名·模拟预测）先化简，再求值：．其中，． 50．（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 3．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 4．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 5．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 6．（2025·辽宁·中考真题）计算： (1)； (2)． 1．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 2．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 专题01 数与式中的计算与化简求值问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；常考： 2、一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3、， 4、实数的混合运算通常还会涉及到特殊角的三角函数值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 1．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 2．（2024·广东·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用绝对值，特殊角的三角函数、零指数幂进行计算即可． 【详解】解： 3．（2024·广东·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，掌握相关运算法则是解决问题的关键．先算零次幂，算术平方根，特殊角三角函数值，化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 4．（2024·广东·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先按乘方、零指数幂、特殊角三角函数、负指数幂进行运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 5．（2024·广东·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先根据零指数幂，绝对值的性质，有理数的乘方分别计算出各值，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 考点二：整式的混合运算 解｜题｜技｜巧 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 6．（2025·山西·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．（2022·江苏镇江·模拟预测）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； （3）根据平方差公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8．（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 9．（2025·陕西咸阳·二模）计算： 【答案】 【分析】先去括号，后合并同类项解答即可. 本题考查了整式的加减，去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键. 【详解】解：                                          10．（2024·贵州贵阳·一模）已知多项式 ， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加法运算法则计算即可． （2）根据整式的减法法则计算即可． 【详解】（1）                  ； （2）    ． 考点三：分式的混合运算 易｜混｜易｜错 1、同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用符号表示为： 2、异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用符号表示为： ★注意：分式的运算最易错最难的地方的就是分式的通分。 3、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用符号表示为： 4、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 用符号表示为： 11．（2024·广东揭阳·模拟预测）计算与化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先算括号内的减法，再算除法即可． 【详解】解：， = 12．（2024·广东·模拟预测）（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简即可得到答案； （2）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简后，再由整式乘法运算求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的化简，涉及异分母分式减法运算、通分、分式乘除运算、因式分解及整式乘法运算等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键． 13．（2024·广东·模拟预测）计算．． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先算乘法再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 14．（2024·广东汕头·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15．（2024九年级上·广东·专题练习）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式    第一步     第二步     第三步      第四步     第五步 【任务一】填空： ①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______； ②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____； ③第_____步开始出现错误． 【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____． 【答案】任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二： 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 根据分式混合运算法则逐步分析即可． 【详解】解：任务一：①第一步变形使用的方法是公式法分解因式； ②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； ③第四步开始出现错误； 任务二： 原式＝ ． 故答案为：任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二：． 考点四：因式分解 易｜混｜易｜错 1、因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解。 2、因式分解的基本方法： ▋提取公因式法： ▋运用公式法： 常用公式：平方差公式：.完全平方公式： 3、因式分解的一般步骤： 一，提取公因式；二运用公式；三检查分解因式是否彻底。 ★注意：因式分解问题一定要检查分解是否彻底，尤其是解答题中涉及到的因式分解问题。 16．（2025·广东茂名·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 利用提公因式法和公式法分解因式，对选项一一进行分析，即可得出结论． 【详解】解：A、不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意； C、，因式分解正确，符合题意； D、，故原写法错误，不符合题意； 故选：C． 17．（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 18．（2024·广东揭阳·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提公因式，再用公式法分解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 19．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式与公式法综合因式分解，先提取公因式再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 20．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③． (1)把这三个多项式因式分解； (2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系． A．；B．； 【答案】(1)①．②，③ (2)见详解 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可． 【详解】（1）解：①． ②， ③； （2）， ， 即． 因式分解得：， 或 解得：或； ， 即 因式分解得：， 或 解得：或． 考点五：判断计算过程中的错误问题 21．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务． （1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式． 任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”） 任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案． 任务三：计算：． 【答案】任务一：平方差公式；任务二：不正确，；任务三：． 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算和掌握平方差公式是解题的关键． 任务一：根据解题过程，可以判断①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式； 任务二：式子不符合平方差公式，用多项式乘多项式计算即可求解； 任务三：利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式； 故答案为：平方差公式； 任务二：小华（2）的解答是不正确， ； 任务三： ． 22．（2024·广东江门·三模）下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（    ） A．分式的基本性质    B．等式的性质    C．乘法分配律 ②第 步开始出现错误，错误的原因是： 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果： 【答案】任务一：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变；任务二： 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号规则即可作出判断； （2）根据分式的混合运算法则解答即可 【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是：分式的基本性质； ②第三步开始出现错误，错误的原因是：去括号时运算符号未改变； 故答案为：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变 任务二： 故答案为： 23．（2025·广东深圳·模拟预测）老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下． 甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误． (1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因； (2)请重新写出此题完整的正确解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 本题考查了分式的异分母的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析： 该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算； 或选择乙同学的解答过程进行分析： 该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了． （2）解： ． 24．（2025·广东中山·一模）计算： (1) (2)下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式=第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【任务一】填空： 第 步开始出现错误． 【任务二】请直接写出正确的化简结果： ． 【答案】(1)5 (2)四； 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，分式的减法运算： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）任务一：第四步分子相减时，没有变号，出现错误；任务二：通分化为同分母，再根据同分母的分式的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）任务一 第四步开始出现错误； 故答案为：四 任务二： 解：原式 ． 25．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】二，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键． 逐一检查每一步，发现错误，根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】第二步出现错误，原因是分子相减时未变号， ． 考点六：二次根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 要先对二次根式进行化简，注意化简的格式一定要变成最简形式，然后代入值计算时要检查结果； 26．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算进行化简即可； （2）根据解析式，确定，代入求A的值即可． 本题考查了分式的化简求值，整体思想求代数式的值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 【详解】（1）解：A• • ； （2）解：∵， ∴， ∴A． 27．（2024·广东江门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先将原式除法转换为乘法，约分后再通分计算得到最简结果后代入求值即可 【详解】解： ； 当时，原式． 28．（2024·广东云浮·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式 ． 29．（2023·广东深圳·模拟预测）先化简，后求值：，其中，是的小数部分（即，） 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可． 【详解】解： = =               =．    当时，原式=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 30．（2021·广东珠海·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解法后约分即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练进行分式的通分，因式分解，约分，乘法与除法的转化是解题的关键． 考点七：数与式运算的规律问题 易｜混｜易｜错 数与式的规律计算，是考查我们对常见的规律题型的认识，如常用的做题方法：错位相减和裂项相消法等； 31．（2023·广东东莞·一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据图中规律，写出的展开式； (2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数； (3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值 【答案】(1) (2)15 (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式； （2）根据表中的数字，可以得到多项式的展开式是一个几次几项式，再根据表中第三项系数的变化特点，可以得到多项式的第三项系数； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， ； （2）解：由图可知， 多项式的展开式是一个n次项式， ∵的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为； （3）解：∵的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， …， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：的第三项系数为 ， 解得（负值已舍）． 32．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． 设中间的数为x，则五个数的和，根据选项判断即可得出结论； 【详解】解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为、、、， ∴十字框中五个数的和是． ∵为偶数， ，，，， 故选：D． 33．（2022·广东佛山·一模）观察下列各式： ，，，，，，，…，用你发现的规律判断的末位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】此题考查了数字类变化规律．设n为自然数，根据题意找到个位数字的变化规律，进行解答即可． 【详解】解：设n为自然数， ∵，，，，，，，…， 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是1． 故选：D． 34．（2025·陕西西安·一模）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第6个图形需要 根小木棒． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，总结出规律是解题的关键．通过观察找到规律即可得到答案． 【详解】解：第一个图形中木棒的根数为：， 第二个图形中木棒的根数为：， 第三个图形中木棒的根数为：， 第图形中木棒的根数为：， 第6个图形需要， 故答案为：． 35．（2022·广东梅州·二模）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则 ． 【答案】 【分析】由题意得： ， ， ，根据题，可得，，由此可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， …… ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 考点八：数与式的新定义运算 解｜题｜技｜巧 新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度. 36．（2023·广东深圳·模拟预测）定义：任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若，，并比较b，c的大小，b c． 【答案】 【分析】根据定义用x表示出c，再利用减法比较b、c的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式加减法的应用，解题关键是根据定义求出c，掌握利用减法比较两个数大小． 37．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有4的倍数（4除外） ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数” （3）∵， ∴24“智慧数”， 故答案为：； （4）， 这个直角三角形纸片的周长是或 故答案为：24或40 38．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查对新定义阶乘的理解，归纳法的运用，裂项法的运用； （1）按照阶乘的定义展开等式的左右两边，即可发现左右两边是完全一样的算式； （2）运用归纳法从算式中归纳出规律从而得出结果； （3）这种分数形式的加法首先考虑裂项相消的方法，由题意得，然后将原式扩大得到，然后即可裂项相消，得出，所以. 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）解：∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴. 故答案为：. （3）解：∵ ∴ ∵ ∵ ∴ 综上所述 ∴. 故答案为：1. 39．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】(1)5，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 40．（2025·安徽马鞍山·三模）数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． (1)老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． (2)兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 【答案】(1)（ⅰ）11，16，19，17 ；（ⅱ）287 (2)过程见解析，， 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法计算，整式的加法计算等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）（i）根据题干即可求解； （ii）按照同样分式构造，那么第四次构造后的数，再相加即可； （2）仔细观察，整体代入，替换求解即可． 【详解】（1）解：（i）， 故答案为：11，16，19，17 ； （ii）第三次构造后的数为：2，11，9，16，7，19，12，17，5， 按照同样分式构造，那么第四次构造后的数为：2，13，11，20，9，25，16，23，7，26，19，31，12，29，17，22，5， ∴第四次构造后， 故答案为：287； （2）解：假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 ， ∴． 考点九：整式的化简求值 易｜混｜易｜错 1、重视两个乘法公式和整式的乘法法则： 平方差公式：(a+b)(a-b)=-；完全平方公式：; 2、整式的化简后求值方法通常有两种： ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 41．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 【答案】，34 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握单项式乘多项式法则、完全平方公式等是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，再把，的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 42．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）已知：，． (1)求的值（化简后结果用含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值． （1）先化简，再代入数据，去括号，合并同类项即可求解； （2）把方程整理得，再代入，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴． 43．（2023·广东广州·三模）已知． (1)化简； (2)若是一元二次方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）分别计算单项式乘多项式、完全平方，然后进行加减运算即可； （2）由题意知，即，根据，计算求解即可 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， ∴； ∴的值为13． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的根，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 44．（2022·广东东莞·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】根据平方差公式和多项式的乘法可以化简题目中的式子，然后再将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了平方差公式、多项式的乘法，以及特殊角的三角函数值． 45．（2021·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】利用完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 考点十：分式的化简求值 易｜混｜易｜错 1、分式的化简通常涉及到因式分解和通分，其中通分是最难的一步，也是错误最多的一步，通分时必然会用到下面的公式：一定要牢记 平方差公式：-=(a+b)(a-b). 完全平方公式：=； 2、分式的化简后求值方法通常有两种：（这一步与整式的化简求值类似） ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 46．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元二次方程的解法是解题的关键；由题意可先对分式进行化简，然后再求解方程，进而代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 方程因式分解得：， 解得：， ∵是方程的一个根，且， ∴， ∴代入得：原式． 47．（2021·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 48．（2024·广东广州·二模）先化简，再求值：，在（x为整数）中，选取一个满足条件的数，使得分式既有意义，也不等于0． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，可知且，即，代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵分式既有意义，也不等于0， ∴且， ∴且， ∵（x为整数）， ∴， ∴原式． 49．（2023·广东茂名·模拟预测）先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决此题的关键．原式利用因式分解，乘法分配律，约分等知识进行化简，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式    ， 当，时，原式． 50．（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】任务一：①B；②四；任务二：过程见解析， 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 任务一：①根据分解因式的定义求解；②根据去括号法则进行判断； 任务二：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：任务一： ①第一步将原式这一项变形为，属于分子分母因式分解； 故选：B； ②第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四； 任务二： 原式 = = = = ， 且且， 可以取2， 当时，原式， 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 2．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 4．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 6．（2025·辽宁·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算； （2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 2．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $