精品解析：湖北省黄石市有色中学 2025-2026学年上学期 12月月考八年级 数学试题

2025-2026有色中学八年级12月数学检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（    ） A. B. 1 C. 7 D. 3 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 12 D. 10 9. 如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：=__________． 12. 若是一个完全平方式，则_____． 13. 已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为_________ 14. 如图，在四边形中，，点为的中点，，，则______． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： （1） （2） （3） 17. 先化简后求值：，其中． 18. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 19. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上找出点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹） 21. 已知：如图，在等边三角形中，为的中点，，交于点G，E为延长线上一点，且，交于点F． （1）求证： （2）求证： 22. 阅读理解以下材料内容： 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展； （2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 23. 已知为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，点D在直线上，连接． （1）若点D在线段上，如图1，求证：； （2）若D在延长线上，如图2，其他条件不变，线段、、有怎样的关系？说明理由； （3）若D在CB的反向延长线上，如图3，其他条件不变，写出线段、、的关系并证明． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． （1）则______，______； （2）如图1，若点，于点，交于点，点是线段上一点，且，求的长； （3）如图2，点，点在轴上，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026有色中学八年级12月数学检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】A.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意； B.是整式的乘法，故不符合题意； C.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意； D.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的概念：把一个多项式写成几个因式的积，熟练进行因式分解是解题的关键． 3. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（    ） A. B. 1 C. 7 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解a和b，再计算即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称， ，， 解得：，， ． 故选：A． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7. 如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 8. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．在上截取，连接交于点E，得出的最小值，证明是等边三角形，求出结论即可． 【详解】解：在上截取，连接交于点E， ∵是等边三角形，D为中点， ∴点P和关于对称，， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为13， 故选：B． 9. 如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 平分， ， ， ， 解得，， 故选：D． 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：=__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式除以单项式，正确计算是解题关键． 12. 若是一个完全平方式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，能根据完全平方式得出是解此题的关键．先根据完全平方式得出，再求出答案即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：． 故答案为：． 13. 已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为_________ 【答案】22或24 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式、非负数的性质以及三角形三边关系等知识．已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出三角形周长． 【详解】解：已知等式变形得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∵c为最长边， ∴，即， ∵c为奇数， ∴c为9或11， 则这个三角形的周长为或． 故答案为：22或24． 14. 如图，在四边形中，，点为的中点，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，延长到K， 使，连接，过作交延长线于，再证明，再利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K， 使，连接，过作交延长线于点， ∴； ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在同一条直线上时，为最小，即为最小， 当点在同一条直线上时，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 当为最小时，， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）将看作一个整体，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （3）利用分组分解法分解因式即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 先化简后求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）易得垂直平分，得到，三线合一求出的度数，中垂线的性质推出，三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的周长公式，求出的长，根据中垂线的性质，推出，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵周长为，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上找出点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示，△即为所求，点的坐标为； （2）4； （3）如图所示，点即为所求，其坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）用割补法求面积即可； （3）作出点B关于x轴的对称点，再连接，与x轴的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【小问3详解】 略 21. 已知：如图，在等边三角形中，为的中点，，交于点G，E为延长线上一点，且，交于点F． （1）求证： （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由（1）已得：是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，是等边三角形，则可得，然后根据角的和差可得，最后根据三角形全等的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 阅读理解以下材料内容： 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展； （2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，将变形为，即可求解； （2）设，可得，，，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，理解并掌握完全平方公式的变形，几何图形面积与完全平方公式的计算是解题的关键． 23. 已知为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，点D在直线上，连接． （1）若点D在线段上，如图1，求证：； （2）若D在延长线上，如图2，其他条件不变，线段、、有怎样的关系？说明理由； （3）若D在CB的反向延长线上，如图3，其他条件不变，写出线段、、的关系并证明． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）根据等腰直角三角形的定义，得到，即得，再证明，可得，即可证明结论； （2）类似于（1）的思路证明即可； （3）类似于（1）的思路证明即可． 【小问1详解】 证明：和都是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：； 理由： 和都是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：． 理由： 和都是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． （1）则______，______； （2）如图1，若点，于点，交于点，点是线段上一点，且，求的长； （3）如图2，点，点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，算术平方根的非负性，直角三角形的两锐角互余，坐标与图形，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据算术平方根和完全平方式的非负性求解； （2）过点B作轴交延长线于点M，先证明，再证明，即可求解； （3）在轴上取点，连接，作交延长线于点，作轴于点，连接，先证明，再证明，最后根据面积关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作轴交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在轴上取点，连接，作交延长线于点，作轴于点，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $